人教版数学九年级下册同步讲义第7课相似多边形及位似（教师版）.doc

第7课 相似多边形及位似目标导航课程标准1、掌握相似多边形的性质及应用；2、了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；3、了解黄金分割值及相关运算.知识精讲知识点01 相似多边形相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点诠释：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.知识点02 位似1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；　（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 　（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.要点诠释：（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4. 作位似图形的步骤　　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；　　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　　第四步：顺次连接各对应点. 要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.知识点02 黄金分割位似和黄金分割 定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．要点诠释：1.黄金分割值：设AB=1，AP=x，则BP= ∵∴ ∴ ∴(舍负)2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．能力拓展考法01 相似多边形【典例1】如图，矩形草坪长20m，宽16m,沿草坪四周有2m宽的环形小路，小路内外边缘所形成的两个矩形相似吗？为什么？ABCDEFGH【答案与解析】因为矩形的四个角都是直角，所以关键是看矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比是否相等.，而，∴∴矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比不相等，因而它们不相似.【总结升华】两个边数相同的多边形，必须同时满足“对应边的比都相等，对应角都相等”这两个条件才能相似，缺一不可.【即学即练1】如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a，宽BC=b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b=（　　）A. 2：1 B. ：1 C. 3： D. 3：2【答案】B.提示: ∵矩形纸片对折，折痕为EF，∴AF=AB=a，∵矩形AFED与矩形ABCD相似，∴=，即=，∴（）2=2，∴=．故选B．【典例2】如图，在长8cm，宽4cm 的矩形中截去一个矩形，使留下的矩形（阴影部分）与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为（ ）． A. 2cm B. 4cm C. 8cm D. 16cm【答案】C.【解析】设留下的矩形的宽为x，∵留下的矩形与原矩形相似，∴，∴x=2，∴留下的矩形的面积为：2×4=8（cm2）故答案为：8．故选C． 【总结升华】本题主要考查了相似多边形的性质，在解题时要能根据相似多边形的性质列出方程是本题的关键．考法02 位似【典例3】利用位似图形的方法把五边形ABCDE放大1.5倍.ABCDEA1B1C1D1E1【答案与解析】即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE相似且相似比为1.5. ABCDE 画法是： 1．在平面上任取一点O. 2．以O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE.3．在射线OA、OB、OC、OD、OE上分别取点A′、B′、C′、D′、E′，使OA′:OA＝ OB′:OB＝OC′:OC＝OD′:OD＝OE′:OE＝1.5. 4．连结A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′.这样：＝＝＝＝＝1.5. 则五边形A′B′C′D′E′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.【典例4】如图，矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（6，0），B（6，4），C（0，4）.画出以点O为位似中心，矩形OABC的位似图形OA ′ B ′ C ′ ，使它的面积等于矩形OABC面积的，并分别写出A′、B′、C′三点的坐标.【答案与解析】因为矩形OA′B′C′与矩形OABC是位似图形，面积比为1：4，所以它们的位似比为1：2. 连接OB，（1）分别取线段OA、OB、OC的中点A′、B′、C′，连接O A′、A′B′、B′C′、 C′O，矩形OA′B′C′就是所求的图形. A′，B′，C′三点的坐标分别为A′（3，0），B′（3，2），C′（0，2）.（2）分别段OA，OB，OC的反向延长线上截取O A″、O B″、O C″，使OA″=OA，OB″=OB，O C″=OC，连接 A″B″、B″C″，则矩形O A″B″C″为所求.A″、B″、C″三点的坐标分别为A″（-3，0），B″（-3，-2），C″（0，-2）. 【总结升华】平面直角坐标系内画位似图形，若没有明确指出只画一个，一定要把两种情况都画在坐标系内，并写出两种坐标.【即学即练2】在已知三角形内求作内接正方形．【答案】作法：（1）在AB上任取一点G′，作G′D′⊥BC；（2）以G′D′为边，在△ABC内作一正方形D′E′F′G′；（3）连接BF′，延长交AC于F；（4）作FG∥CB，交AB于G，从F、G分别作BC的垂线FE， GD；∴四边形DEFG即为所求．考法02 黄金分割【典例5】求做黄金矩形（写出具体做题步骤）并证明.【答案与解析】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．（心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．）黄金矩形的作法如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．即矩形DCEF为黄金矩形．证明：在正方形ABCD中，取，∵ N为BC的中点，ABCDEFMN∴ ． 在中，．又∵ ，∴ ．∴ ．故矩形DCEF为黄金矩形．【总结升华】要求熟练掌握多边形相似的比例关系．会利用相似比，求未知线段的长度或比值．【即学即练3】美是一种感觉，当人的肚脐是人的身高的黄金分割点时，人的下半身长与身高之比约为0.618，人的身段成为黄金比例，给人一种美感．某女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应穿高跟鞋的高度大约为（　　）A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm【答案】D.∵该女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60，∴此女士下半身长是165×0.60=99cm，设需要穿的高跟鞋是xcm，根据黄金分割的定义得： 0.618， 解得：x≈8． 故选D．目标导航题组A 基础过关练1.下面给出了相似的一些命题：（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相 似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【解析】（1）菱形的角不一定对应相等，故错误；（2）（3）（5）符合相似的定义，故正确；（4）对应边的比不一定相等．故错误． 故正确的是：（2）（3）（5）．故选B．2.下列说法错误的是（　　 ）. A.位似图形一定是相似图形.B.相似图形不一定是位似图形. C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.【答案】D.3.下列说法正确的是（　　 ） A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE 是ABC放大后的图形. B.两位似图形的面积之比等于相似比. C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比. D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.【答案】C.4.平面直角坐标系中，有一条“鱼，它有六个顶点”，则（　　 ） A.将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似. B.将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似. C.将各点横、纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似. D.将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到的鱼与原来的鱼位似.【答案】C.5.如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB=12，CD=15，A1B1=9，则边C1D1的长是（　　）A. 10 B. 12 C. D. 【答案】C． 【解析】∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∴=，∵AB=12，CD=15，A1B1=9，∴C1D1==．6．如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（　　）A. AB：AC=AC：BC B. AC= C.AB= D.BC≈0.618AB【答案】D.【解析】∵AC＞BC，∴AC是较长的线段， 根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，AC=, AB=AC≈0.618AB．故选D．7.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（　　）A. B. C. D.2【答案】B.【解析】∵AB=1，设AD=x，则FD=x-1，FE=1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴， ，解得,,（负值舍去），经检验是原方程的解．故选。