(浙江专版)2019-2020高中数学第二章圆锥曲线与方程疑难规律方法学案新人教A版选修2-1.pdf

第二章 圆锥曲线与方程 1 利用椭圆的定义解题 椭圆定义反映了椭圆的本质特征 揭示了曲线存在的几何性质 有些问题 如果恰当运用定 义来解决 可以起到事半功倍的效果 下面通过几个例子进行说明 1 求最值 例 1 线段 AB 4 PA PB 6 M是AB的中点 当P点在同一平面内运动时 PM的 长度的最小值是 A 2B 2C 5D 5 解析由于 PA PB 6 4 AB 故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为原点 A B为焦 点的椭圆 且a 3 c 2 b a 2 c2 5 于是PM的长度的最小值是b 5 答案C 2 求动点坐标 例 2 椭圆 x 2 9 y 2 25 1 上到两个焦点 F1 F2的距离之积最大的点的坐标是 解析设椭圆上的动点为P 由椭圆的定义可知 PF1 PF2 2a 10 所以 PF1 PF2 PF1 PF2 2 2 10 2 2 25 当且仅当 PF1 PF2 时取等号 由 PF1 PF2 10 PF1 PF2 解得 PF1 PF2 5 a 此时点P恰好是椭圆短轴的两端点 即所求点的坐标为 3 0 答案 3 0 点评由椭圆的定义可得 PF1 PF2 10 即两个正数 PF1 PF2 的和为定值 结合 基本不等式可求 PF1 PF2 积的最大值 结合图形可得所求点P的坐标 3 求焦点三角形面积 例 3 如图所示 已知椭圆的方程为 x 2 4 y 2 3 1 若点P在第二象限 且 PF1F2 120 求 PF1F2的面积 解由已知 得a 2 b 3 所以c a 2 b 2 1 F1F2 2c 2 在 PF1F2中 由余弦定理 得 PF2 2 PF1 2 F1F2 2 2 PF1 F1F2 cos120 即 PF2 2 PF1 2 4 2 PF1 由椭圆定义 得 PF1 PF2 4 即 PF2 4 PF1 将 代入 得 PF1 6 5 所以 12 PF F SV 1 2 PF1 F1F2 sin120 1 2 6 5 2 3 2 3 3 5 即 PF1F2的面积是 33 5 点评在 PF1F2中 由椭圆的定义及余弦定理可得关于 PF1 PF2 的方程组 消去 PF2 可求 PF1 从以上问题 我们不难发现 凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题 我们应首先考虑利用椭 圆的定义求解 2 如何求椭圆的离心率 1 由椭圆的定义求离心率 例 1 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆 交椭圆于4 个不同的点 顺次连接这四个点和 两个焦点恰好组成一个正六边形 那么这个椭圆的离心率为 解析如图所示 设椭圆的方程为 x 2 a 2 y 2 b 2 1 a b 0 半焦距为c 由题意知 F1AF2 90 AF2F1 60 AF2 c AF1 2c sin60 3c AF1 AF2 2a 3 1 c e c a 2 3 1 3 1 答案3 1 点评本题利用了圆及正六边形的几何性质 并结合椭圆的定义 化难为易 使问题简单解 决 2 解方程 组 求离心率 例 2 椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1 a b 0 的左焦点为F1 c 0 A a 0 B 0 b 是两个顶点 如果 F1到直线AB的距离为 b 7 则椭圆的离心率e 解析如图所示 直线AB的方程为 x a y b 1 即bx ay ab 0 点F1 c 0 到直线AB的距离为 b 7 b 7 bc ab a 2 b 2 7 a c a 2 b2 即 7a2 14 ac 7c 2 a 2 b 2 又 b 2 a 2 c 2 整理得 5a2 14ac 8c2 0 两边同除以a 2 并由e c a 知 8e 2 14e 5 0 解得e 1 2或 e 5 4 舍去 答案 1 2 3 利用数形结合求离心率 例 3 在平面直角坐标系中 已知椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1 a b 0 圆O的半径为a 过点P a 2 c 0 作 圆O的两条切线 且这两条切线互相垂直 则离心率e 解析如图所示 切线PA PB互相垂直 PA PB 又OA PA OB PB OA OB 则四边形OAPB是正方形 故 OP 2 OA 即a 2 c 2a e c a 2 2 答案 2 2 4 综合类 例 4 设M为椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1 上一点 F1 F2为椭圆的左 右焦点 如果 MF1F2 75 MF2F1 15 求椭圆的离心率 解由正弦定理得 2c sin90 MF1 sin15 MF2 sin75 MF1 MF2 sin15 sin75 2a sin15 sin75 e c a 1 sin15 cos15 1 2sin60 6 3 点评此题可推广为若 MF1F2 MF2F1 则椭圆的离心率e cos 2 cos 2 3 活用双曲线定义妙解题 在解双曲线中的有关求动点轨迹 离心率 最值等问题时 若能灵活应用双曲线的定义 能 把大题化为小题 起到事半功倍的作用 下面举例说明 1 求动点轨迹 例 1 一动圆C与两定圆C1 x 2 y 5 2 1 和圆 C2 x 2 y 5 2 16 都外切 求动圆圆心 C的轨迹方程 解设动圆圆心为C x y 半径为r 因为动圆C与两定圆相外切 所以 CC1 r 1 CC2 r 4 即 CC2 CC1 3 C1C2 10 所以点C的轨迹是以C1 0 5 C2 0 5 为焦点的双曲线的上支 且a 3 2 c 5 所以b 2 91 4 故动圆圆心C的轨迹方程为 4y 2 9 4x 2 91 1 y 3 2 点评依据动圆与两定圆外切建立关系式 易得到 CC2 CC1 30 b 0 的左 右焦点分别为F1 F2 点P在双曲线的右支上 且 PF1 4 PF2 试求该双曲线离心率的取值范围 解因为 PF1 4 PF2 点P在双曲线的右支上 所以设 PF2 m 则 PF1 4m 由双曲线的定义 则 PF1 PF2 4m m 2a 所以m 2 3a 又 PF1 PF2 F1F2 即 4m m 2c 所以m 2 5c 即 2 3a 2 5c 所以e c a 5 3 又e 1 所以双曲线离心率的取值范围为10 过焦点F的一条弦 设A xA yA B xB yB AB的中点M x0 y0 过A M B分别向抛物线的准线l作垂线 垂足分别为A1 M1 B1 则有以下重要结论 1 以AB为直径的圆必与准线相切 2 AB 2x0 p 2 焦点弦长与中点坐标的关系 3 AB x1 x2 p 4 A B两点的横坐标之积 纵坐标之积为定值 即x1x2 p 2 4 y1y2 p 2 5 A1F B1F 6 A O B1三点共线 7 1 FA 1 FB 2 p 以下以第 7 条结论为例证明 证明当直线AB的斜率不存在 即与x轴垂直时 FA FB p 1 FA 1 FB 1 p 1 p 2 p 当直线AB的斜率存在时 设直线AB的方程为 y k x p 2 并代入y 2 2px kx kp 2 2 2px 即k 2x2 p 2 k 2 x k 2p2 4 0 由A xA yA B xB yB 则xA xB p k 2 2 k 2 xAxB p 2 4 FA xA p 2 FB xB p 2 FA FB xA xB p FA FB xA p 2 xB p 2 xAxB p 2 xA xB p 2 4 p 2 xA xB p FA FB FA FB 2 p 即 1 FA 1 FB 2 p 点评该结论是抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质 解题时 不可忽视AB x轴的情 况 例 2 设F为抛物线y 2 4x 的焦点 A B C为该抛物线上三点 若FA FB FC 0 则 FA FB FC 解析设A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 又F 1 0 由FA FB FC 0 知 x1 1 x2 1 x3 1 0 即x1 x2 x3 3 FA FB FC x1 x2 x3 3 2p 6 答案6 5 求曲线方程的常用方法 曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考点 求曲线方程时 应根据曲线的不同 背景 不同的结构特征 选用不同的思路和方法 才能简捷明快地解决问题 下面对其求法 进行探究 1 定义法 求曲线方程时 如果动点轨迹满足已知曲线的定义 则可根据题设条件和图形的特点 恰当 运用平面几何的知识去寻求其数量关系 再由曲线定义直接写出方程 这种方法叫做定义法 例 1 如图 点A为圆形纸片内不同于圆心C的定点 动点M在圆周上 将纸片折起 使点 M与点A重合 设折痕m交线段CM于点N 现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy中 设圆 C x 1 2 y2 4a2 a 1 A 1 0 记点N的轨迹为曲线E 1 证明曲线E是椭圆 并写出当a 2 时该椭圆的标准方程 2 设直线l过点C和椭圆E的上顶点B 点A关于直线l的对称点为点Q 若椭圆E的离心 率e 1 2 3 2 求点Q的纵坐标的取值范围 解 1 依题意 直线m为线段AM的垂直平分线 NA NM NC NA NC NM CM 2a 2 N的轨迹是以C A为焦点 长轴长为2a 焦距为 2 的椭圆 当a 2 时 长轴长为2a 4 焦距为2c 2 b 2 a 2 c 2 3 椭圆的标准方程为 x 2 4 y 2 3 1 2 设椭圆的标准方程为 x 2 a 2 y 2 b 2 1 a b 0 由 1 知 a 2 b2 1 又 C 1 0 B 0 b 直线l的方程为 x 1 y b 1 即 bx y b 0 设Q x y 点Q与点A 1 0 关于直线l对称 y x 1 b 1 b x 1 2 y 2 b 0 消去x得y 4b b 2 1 离心率e 1 2 3 2 1 4 e 2 3 4 即1 4 1 a 2 3 4 4 3 a 2 4 4 3 b 2 1 4 即 3 3 b 3 y 4b b 2 1 4 b 1 b 2 当且仅当b 1 时取等号 又当b 3时 y 3 当b 3 3 时 y 3 3 y 2 点Q的纵坐标的取值范围是 3 2 2 直接法 若题设条件有明显的等量关系 或者可运用平面几何的知识推导出等量关系 则可通过 建 系 设点 列式 化简 检验 五个步骤直接求出动点的轨迹方程 这种 五步法 可称为 直接法 例 2 已知直线l1 2x 3y 2 0 l2 3x 2y 3 0 有一动圆M 圆心和半径都在变动 与 l1 l2都相交 并且l1 l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26 24 求圆心M的轨迹 方程 解如图 设M x y 圆半径为r M到l1 l2的距离分别是d1 d2 则d 2 1 13 2 r 2 d 2 2 12 2 r 2 d 2 2 d 2 1 25 即 3x 2y 3 13 2 2x 3y 2 13 2 25 化简得圆心 M的轨迹方程是 x 1 2 y 2 65 点评若动点运动的规律是一些几何量的等量关系 则常用直接法求解 即将这些关系直接 转化成含有动点坐标x y的方程即可 3 待定系数法 若已知曲线 轨迹 的形状 求曲线 轨迹 的方程时 可由待定系数法求解 例 3 已知椭圆的对称轴为坐标轴 O为坐标原点 F是一个焦点 A是一个顶点 若椭圆的 长轴长是6 且 cos OFA 2 3 求椭圆的方程 解椭圆的长轴长为6 cos OFA 2 3 所以点A不是长轴的顶点 是短轴的顶点 所以 OF c AF OA 2 OF 2 b 2 c 2 a 3 c 3 2 3 所以 c 2 b 2 32 22 5 故椭圆的方程为 x 2 9 y 2 5 1 或 x 2 5 y 2 9 1 4 相关点法 或代入法 如果点P的运动轨迹或所在的曲线已知 又点P与点Q的坐标之间可以建立某种关系 借助 于点P的运动轨迹便可得到点Q的运动轨迹 例 4 如图所示 从双曲线x 2 y 2 1 上一点 Q引直线l x y 2的垂线 垂足为N 求线 段QN的中点P的轨迹方程 分析设P x y 因为P是QN的中点 为此需用P点的坐标表示Q点的坐标 然后代入 双曲线方程即可 解设P点坐标为 x y 双曲线上点Q的坐标为 x0 y0 点P是线段QN的中点 N点的坐标为 2x。