定积分基本公式(共4页).doc

精选优质文档-----倾情为你奉上定积分基本公式定积分是高等数学中一个重要的基本概念，在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念，讨论定积分性质和计算方法，举例说明定积分在实际问题中的具体运用等.第二节 微积分基本公式一、变上限的定积分y=f(x)bxyaφ(x)x设函数在[] 上连续,，于是积分是一个定数，这种写法有一个不方便之处，就是既表示积分上限，又表示积分变量.为避免混淆，我们把积分变量改写成 ，于是这个积分就写成了.当在上变动时，对应于每一个 值,积分就有一个确定的值，因此是变上限 的一个函数，记作 =（ ≤≤ ）通常称函数 为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示.定理1 如果函数在区间上连续，则变上限积分=在上可导，且其导数是 （ ≤≤ ）.推论 连续函数的原函数一定存在. 且函数=即为其原函数.例1 计算=在=0 ,处的导数.解 因为=,故；.例2 求下列函数的导数： (1)；解 这里是的复合函数，其中中间变量，所以按复合函数求导法则，有 .(2).解 .二、-（Newton-Leibniz）公式 定理2 设函数在闭区间上连续，又 是的任一个原函数，则有.证 由定理1知，变上限积分 也是的一个原函数，于是知, 为一常数, 即 .我们来确定常数 的值，为此，令 ，有，得.因此有 .再令，得所求积分为 .因此积分值与积分变量的记号无关，仍用x表示积分变量，即得 ,其中.上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式.为计算方便，该公式常采用下面的格式： .例1 求定积分： (1)；（2）；（3）.解 （1）.（2）.（3）在上写成分段函数的形式 于是.例2 计算.解 因为 时,,故本题属 型未定式,可以用洛必达法则来求.这里是 的复合函数,其中,所以,于是有 . 思考题1.若，2.在牛顿-莱布尼茨公式中，要求被积函数在积分区间上连续. 问当在区间上有第一类间断点时，还能否用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分？并计算 其中 专心---专注---专业。