中考数学专题5：方程（组）应用探讨.pdf

2021年中考攻略】专题5:方程（组）应用探讨初中数学中列方程（组）解应用题是一项重要内容，也是中考中与不等式（组）的应用二选一（或同题）的必考内容初中阶段主要包括一元一次、二次方程，分式方程，二元一次方程组（有些地区还有无理方程和可化为二元一次方程的高次方程组）它们应用的基本步骤是相同的，基本步骤为：审（审题）；找（找出题中的已知显、未知懿和所涉及的基本数冕关系、相等关系）；设（设定未知数，包括直接未知数或间接未知数）；表（用所设的未知数的代数式表示其他的相关址）；列（列方程（组）；解（解方程（组）；包）验（检验解的有效性和实际意义的符合性）；答（回答题问）它们的应用包括（1 )行程间题；（2)工程问题；（3)溶度问题；（4)增长率问题；（5)销售利润和存贷问题；（6)比例和调配（分配）问题；（7)数字问题；（8)和差倍分问题；（9)几何问题；(10)分段问题；（11)规律探究问题；（12)不定方程问题；（13)在函数问题中的应用问题下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用一、行程问题解题指导：(l)基本量是：路程、速度和时间路程路程基本关系是：CD路程速度x时间；时间一；速度速度时间(2)基本类型：相遇问题；相背问题；追及问题；行船（风速）问题；环形跑道问题等。

3)解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题在不同的问题中，相等关系是灵活多变的如相遇问题中多以路程作相等关系，而对有先后顺序的问题却通常以时间作相等关系，在行船（风速）问题中很多时候还用速度作相等关系行船（风速）问题是行程问题中的一种特殊情况，其速度在不同的条件下会发生变化：CD顺水（风）速度静水（无风）速度水流速度（风速）；逆水（风）速度静水（无风）速度一水流速度（风速）由此可得到行船（风速）问题中一个重要等撇关系：顺水（风）速度水流速度（风速）逆水（风）速度水流速度（风速）静水（无风）速度典型例题：例1.(2020宁夏区3分）小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路她去学校共用了16分钟假设小颖上坡路的平均速度是3千米时，下坡路的平均速度是5千米时若设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为【3 5 3x+5y =l200 x+y = l.2 3x +5y= l.2 A x+y=16 B x60+y=f: c x + y=16 3 5 D而x石y=1200 X + y =16 【答案】B。

考点】由实际问题抽象出二元一次方程组分析】要列方程，酋先要根据题总找出存在的等旦关系本题等阰关系为：上坡用的时间X上坡的速度十下坡用的时侚x下坡速度1200,上坡用的时间十下坡用的时间163 5 x+y = l.2 把柜关数值代入（注总单位的迫一），得6060 x + y =l6 例2.(2020浙江台州4分）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为4 x千米时，则下面列出的方程中正确的是【A 40 3 40 . =-X x+20 4 x 【答案】A考点】方程的应用（行程问题）B. 40 3 40 =-xc 40 1 40 . +-= x 4 x+20 x+20 4 x D. 些二1X x+20 q 【分析】方程的应用解题关键是找出等植关系，列出方程求解本题只要列出方程即可由题设公共汽车的平均速度为x千米时，则根据出租车的平均速度比公共汽车多20千米时得出租车的平均速度为x+20千米时等扯关系为：回米时路卜所花时间比去时节省了，即4 回来时路上所花时间是去时路上所花时间的3 4 40 40 3 = x+20 x _4 故选A。

例3. (2020四川内江3分）甲车行驶30于米与乙车行驶40于米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x千米小时，依据题意列方程正确的是【30 40 A.= X X-15 30 40 B.-= X-15 X 30 40 C.-= x x+l5 30 40 D.-= x+15 X 【答案】C考点】由实际问题抽象出方程（行程问题）分析】？1中车的速度为x干米小时，则乙甲车的速度为x+15于米小时30 40 占甲车行驶30千米的时间为-，乙车行驶40千米的时间为一，x +l5 30 40 占根据甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同得一 x x + 15 例4(2Ol2四川砌儿4分）雅西雨速公路千2012年4月29日正式通车，西昌到成都全长420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出，经过2.5小时相遇，相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为x千米小时和y千米小时，则下列方程组正确的是oo 22 44 = yy 0505 7272 =+ II I yxyx +55 + x2x2 . AC 00 220 447 = yy 55 y 05 2 722 =+- yxx 55 x 5 x222 BD 答案） D.考点）由实际闭题抽象出二元一次方程组（行程闭题）分析）设小汽车和客车的平均速度分别为x千米小时和y千米小时，根据相遇时，小汽车比客车多行驶70千米可列方程25x-25产70:根据经过2.5小时相遇，西昌到成都全长420千米可列方程2.Sx+2.5y=420.故选D.例s.(2020江苏宿迁10分）某学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，先以60km/h的速度走平路，后又以30km/h的速度爬坡，共用了6.5h:原路返回时，汽车以40km/h的速度下坡，又以50km/h的速度走平路，共用了6h。

间平路和坡路各有多远？【答案】解：设平路有xkm,坡路有ykm,根据题意，得三：5解气言：0 答：平路有150km，坡路有120km考点】二元一次方程组的应用（行程问题）分析】方程（组）的应用解题关键是找出等址关系，列出方程求解本题等植关系为：(I)以60km/h的速度走平路的时间十以30km/h的速度爬坡的时间6.5h: (2)以40km/h的速度下坡的时间十以50km/h的速度走平路的时间6h例6.(2020辽宁丹东10分）暴雨过后，某地遭遇山体滑坡，武警总队派出一队武警战士前往抢险半小时后，第二队前去支援，平均速度是第一队的1.5倍，结果两队同时到达已知抢险队的出发地与灾区的距离为90千米，两队所行路线相同，问两队的平均速度分别是多少？【答案】解：设第一队的平均速度是x千米时，则第一队的平均速度是l.5x千米时90 90 l 根据题意，得：一，解这个方程，得x=60X l.5x 2 经检验，x=60是所列方程的根l.5x= I.5x60=90答：第一队的平均速度是60千米时，第二队的平均速度是90千米时考点】分式方程的应用分析】设第一队的平均速度是x千米刷，则第二队的平均速度是l.5x千米时根据半小时后，第二队前去支援，结果两队同时到达，即第一队与第二队所用时间的差是小时，即可列方程求解。

练习题：1. (2020辽宁本溪3分）随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为【8 8 8 8 8 1 8 8 8 1 A、+15=，B、=+15 C、+=D、=+ x 2.5x x 2.5x x 4 2.5x x 2.5x 4 2. (2020山东滨州3分）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时l5分钟他骑自行车的平均速度是250米分钟，步行的平均速度是80米分钟他家离学校的距离是2900米如果他骑车和步行的时间分别为y分钟，列出的方程是【A. ;+0yx0y = 2900 x+ y=l S B. 80 x+250y=2900 c 8xo+Xy=2900 x + y=l 5 D. 250 x+80y=2900 3. (2020辽宁鞍山3分）A、B两地相距l0千米，甲、乙二人同时从A地出发去B地，甲的速度是乙的速度的3倍，结果甲比乙早到小时设乙的速度为x千米时，可列方程为L_. 3 4. (2020湖北十堰8分）一辆汽车开往距离出发地180于米的目的地，按原计划的速度匀速行驶60千米后，再以原来速度的1.5倍匀速行驶，结果比原计划提前40分钟到达目的地，求原计划的行驶速度5. (2020辽宁锦州10分）某部队要进行一次急行军训练，路程为32km大部队先行，出发1小时后，由特种兵组成的突击小队才出发，结果比大部队提前20分钟到达目的地已知突击小队的行进速度是大部队的1.5倍，求大部队的行进速度（列方程解应用题）6. (2020山东青岛6分）小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家，她去时经过环湾高速公路，全程约84灼11,返回时经过跨海大桥，全程约45km.小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的1.2倍，所用时间却比返回时多20min.求小丽所乘汽车返回时的平均速度7. (2020广西桂林8分）李明到离家2.1干米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有42分钟，于是他立即匀速步行回家，在家拿道具用了1分钟，然后立即匀速骑自行车返回学校已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍(1)李明步行的速度（单位：米分）是多少？(2)李明能否在联欢会开始前赶到学校？8. (2019广西崇左2分）元代朱世杰所著算学启蒙里有这样一道题：“良马日行两百四十里，弩马日行一百五十里，弩马先行一十二日，问良马几何追及之？”,请你回答：良马. 天可以追上弩马，二、工程问题解题指导：( 1 )基本点是：工作昼、工作效率、工作时间。

工作量基本关系是：O工作械工作效率x工作时间；工作时间；工作效率工作量工作效率工作时间(2)基本类型：有工作总量和无工作总量3)在工程间题中，若工作总量给出了明确的数散，此时工作效率也即工作速度；若没有给出明确的数量，一般常将全部工作量看作整体l,如果完成全部工作的时间为t,则工作效率为常见的相等关系有两种：如果以工作楹作相等关系，部分工作楹之和总工作盐；如果以时间作相等关系，完成同一工作的时间差多用的时间典型例题：例1.(2020四川达州3分）为保证达万高速公路在2020年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用40天，如果甲、乙两队合作，可比规定时间提前14天完成任务若设规定的时间为x天，由题意列出的方程是1 l l A、十l 1 1 B、十X-lO x-40 x + l4 x + lO x +40 x-14 1 1 1 C、-= 1 1 1 D、十x+lO x+40 x-14 x-10 X +)4 x-40 【答案】B考点】由实际问题抽象出分式方程（工程问题）分析】设规定的时间为x天则甲队单独完成这项工程所需时间是(x+lO)天，乙队单独完成这项工程l 所面时间是(x+40)天甲队单独一天完成这项工程的，乙队单独一天完成这项T程的x +lO x +40 1 甲、乙两队合作一天完成这项丁程的一一一，则一-=一一一。

故选B.x - 14 x +lO x +40 x - 14 例2.(2020吉林省2分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同设原计划每天生产x台机器，则可列方程为【A. 600 450 = B. 600 450 = C. 600 450 = D. 600 450 = X X+50 X x -50 x +50 X X-50 X 【答案】C考点】由实际问题抽象出分式方程（工程问题）分析】因为原计。