2021年高考数学压轴题100题精选含题含答案解析.pptx

2021 年高考数学压轴题 100 题精选含答案 一、立体几何多项选择题 1如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD ABCD 中，M 为 BC 边的中点，以下结论正确的有 ,10 AM 与 DB 所成角的余弦值为 10 9 过三点A 、 M 、 D的正方体 ABCD ABCD 的截面面积为 2 四面体 ACBD 的内切球的外表积为 3 D 正方体 ABCD ABCD 中，点 P 在底面 ABCD 所在的平面 上运动并且使 MAC PAC，那么点 P 的轨迹是椭圆 【答案】AB 【分析】,构建空间直角坐标系，由异面直线方向向量的夹角,AM DB,cos AM , DB ,| AM | DB | 为 AM 与,DB 所成角的余弦值判断 A 的正误；同样设 P(x, y, 0) 结合向量夹角的坐标表示，且由等角的余弦,5,2 y 215,x2 y2 4 3,值相等可得，进而判断 P 的轨迹知 D 的正误；由立方体的截面为梯形，,分别求 MN , AD, AM , DN ，进而得到梯形的高即可求面积，判断 B 的正误；由四面体的体积与 内切球半径及侧面面积的关系求内切球半径 r，进而求内切球外表积，判断C 的正误. 【详解】 A：构建如以下图所示的空间直角坐标系：,那么有： A(0, 0, 2), M (1, 2, 2), B(0, 2, 0), D(2, 0, 0) ， AM (1, 2, 0), DB (2, 2, 0) ，,AM DB2,10,cos AM , DB ,| AM | DB |5 810,，故正确.,B：假设 N 为CC 的中点，连接 MN，那么有 MN / AD ，如以下图示，,而 MN 2, AD 2 2, AM DN ,5 ，可得梯形的高为,梯形 AMND为过三点A 、 M 、 D的正方体 ABCD ABCD 的截面， 3 2,2,，,梯形的面积为,S 1 3 2 3 22,2 9 2 ，故正确.,C：如以下图知：四面体 ACBD 的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积，,V 8 4 1 1 8 8 323,， 而 四 面 体,的 棱 长 都 为,2 2,， 有 外 表 积 为,S 4 1 2 2 2 2 sin 8 3 23,，,3 3 ，所以内切球的外表积为,3,4 r2 4,1 8 3 r 8r 假设其内切圆半径为r ，那么有 33 ， 即 故错误.,.,D：正方体 ABCD ABCD 中，点 P 在底面 ABCD,所在的平面上运动且MAC PAC，,即 P 的轨迹为面 ABCD 截以 AM、AP 为母线，AC为轴的圆锥体侧面所得曲线，如以下图曲线 GPK ，,构建如下空间直角坐标系，,2 , 3,A(0, 0, 2), M (,22,2 , 2), C(0, 2 2, 0),，假设 P(x, y, 0) ，那么,2 , 3,22,AM (,2 , 0), AC (0, 2 2, 2), AP (x, y, 2),，,AM AC6,15,cos MAC ,5,| AM | AC |5 12,，,AP AC2 y 2,cos PAC ,| AP | AC |,， 即,2 y 2,15,5,x2 y2 4 3x2 y2 4 3,， 整 理 得,( y 10,2)2 9x2 216( y 0) ，即轨迹为双曲线的一支，故错误.,应选：AB 【点睛】 关键点点睛：应用向量的坐标表示求异面直线的夹角，并结合等角的余弦值相等及向量数量积的坐 标表示求动点的轨迹，综合立方体的性质求截面面积，分割几何体应用等体积法求内切球半径，进 而求内切球的外表积. 2如下图，正三角形 ABC 中，D，E 分别为边 AB，AC 的中点，其中 AB8，把ADE 沿着 DE 翻折 至 ADE 位置，使得二面角 A-DE-B 为 60，那么以下选项中正确的选项是 ,D四棱锥 A-BCED 的外接球半径为,点 A到平面 BCED 的距离为 3 5 直线 AD 与直线 CE 所成的角的余弦值为 8 CADBD 2 37,3,【答案】ABD,【分析】 作AM平面AMN,利用面面垂直的判定定理与性质定理得到 A 到平面面BCED 的高AH,并根据二 面角的平面角，在直角三角形中计算求得 AH 的值，从而判定 A;根据异面直线所成角的定义找到 ADN 就是直线 AD 与 CE 所成的角，利用余弦定理计算即可判定 B;利用勾股定理检验可以否认 C;先证明底面的外接圆的圆心为 N,在利用外接球的球心的性质进行得到四棱锥 A-BCED 的外接球 的球心为 O,那么 ON平面 BCED,且 OA=OC,经过计算求解可得半径从而判定 D. 【详解】 如下图，作 AMDE，交 DE 于 M,延长 AM 交 BC 于 N,连接 AM,AN. 那么 AMDE,MNDE, , A M MN=M,CD平面 AMN, 又CD平面 ABDC,平面 AMN平面 ABDC, 在平面 AMN 中作 AHMN,那么 AH平面 BCED, 二面角 A-DE-B 为 60，AEF=60， 正三角形 ABC 中，AB=8,AN= 4 3 ,AM=2 3 ,AH=AMsin60=3，故A 正确； 连接 DN,易得 DNEC,DN=EC=4, ADN 就是直线 AD 与 CE 所成的角， DN=DA=4,AN=AM=2 3 , 42 42 12 5,cosADN=,2 4 4,8 ,故B 正确；,AD=DB=4,AB=,AN 2 BN 2 12 16 2,7 , AD2 DB2 AB2 ,AD 与 BD 不垂直，故 C 错误 易得 NB=NC=ND=NG=4，N 为底面梯形 BCED 的外接圆的圆心， 设四棱锥 A-BCED 的外接球的球心为 O,那么 ON平面 BCED,且 OA=OC, 假设 O 在平面 BCED 上方，入图所示： 设 ON=x,外接球的半径为 R,过 O 作 AH 的垂线，垂足为 P,42 x2 3 x2 3 2 R2,那么 HP=x,易得,解得,x 2 3 ,舍去；,故 O 在平面 BCED 下方，如图所示： 设 ON=x,外接球的半径为 R,过 O 作 AH 的垂线，垂足为 P,那么 HP=x,易得,42 x2 3 x2 3 2 R2,x 2 , 解得3 ,99,37,3,R2 16 4 4 37 R 2,故 D 正确.,应选:ABD.,【点睛】 此题考查立体几何中的折叠问题，涉及二面角问题，异面直线所成的角，用到线面、面面垂直的判 定与性质及外接球的球心的性质和有关计算，余弦定理等，属综合性较强的题目，关键是利用线面 垂直，面面垂直的判定和性质进行空间关系和结构的判定，注意球心在四棱锥的底面上方和下方的 讨论与验证. 在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，P 为底面 ABCD 内含边界一点 假设 A1P 3 ，那么满足条件的 P 点有且只有一个 假设 A1P 2 ，那么点 P 的轨迹是一段圆弧,C假设 A1P/ 平面 B1D1C ，那么 A1P 长的最小值为,2,2 D假设 A1P 2 且 A1P/ 平面 B1D1C ，那么平面 A1PC1 截正方体外接球所得截面的面积为 3 【答案】ABD,【分析】 选项A，B 可利用球的截面小圆的半径来判断；由平面 A1BD/ 平面 B1D1C ，知满足 A1P/ 平面 B1D1C,1,A P,的点 P 在 BD 上，长的最大值为 2 ；结合以上条件点 P 与 B 或 D 重合，利用,A1P,2r ,sin 60 ，求,6 3,r ,出，进而求出面积.,【详解】 对 A 选项，如以下图：由 A1P 3 ，知点 P 在以 A1 为球心，半径为 3 的球上，又因为 P 在底面 ABCD 内含边界，底面截球可得一个小圆，由 A1 A 底面 ABCD，知点 P 的轨迹是在底面上以 A,为圆心的小圆圆弧，半径为,r A P2 A A2 2 11,，那么只有唯一一点C 满足，故 A 正确；,对 B 选项，同理可得点 P 在以 A 为圆心，半径为,r A P2 A A2 1 11,的小圆圆弧上，在底面 ABCD,内含边界中，可得点P 轨迹为四分之一圆弧 BD .故B 正确；,对 C 选项，移动点 P 可得两相交的动直线与平面 B1D1C 平行，那么点 P 必在过 A1 且与平面 B1D1C 平 行的平面内，由平面 A1BD/ 平面 B1D1C ，知满足 A1P/ 平面 B1D1C 的点 P 在 BD 上，那么 A1P 长 的最大值为 A1B 2 ，那么 C 不正确； 对选项 D，由以上推理可知，点 P 既在以 A 为圆心，半径为 1 的小圆圆弧上，又段 BD 上，即 与 B 或 D 重合，不妨取点 B，那么平面 A1PC1 截正方体外接球所得截面为VA1BC1 的外接圆，利用,2r ,3,A1B 2,6 ,r 6 , S r2 2,sin 603,3 .故 D 正确.,应选：ABD 【点睛】 1平面截球所得截面为圆面，且满足 R2 =r 2 d 2 其中 R 为球半径， r 为小圆半径， d 为球心 到小圆距离； 2过定点 A 的动直线平行一平面 ，那么这些动直线都在过 A 且与 平行的平面内. 4如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 ，中， E 为棱CC1 上的中点， F 为棱 AA1 上的 点，且满足 A1F : FA 1: 2 ，点 F ， B ， E ， G ， H 为过三点 B ， E ， F 的平面 BMN 与正方 体 ABCD A1B1C1D1 的棱的交点，那么以下说法正确的选项是 ,A HF /BE B三棱锥的体积VB1 BMN 4 C直线 MN 与平面 A1B1BA 所成的角为45 D D1G : GC1 1: 3 【答案】ABD 【分析】 面面平行性质定理可得出 A 正确；等体积法求得 B 正确；直线 MN 与平面 A1B1BA 所成的角为 B1MN ，求其正切值不等于 1 即可得出 C 错误；利用面面平行性质定理和中位线求出 D1G, GC1 长 度即可得出D 正确.,【详解】 ABCD A1B1C1D1 中平面 ADA1D1 / 平面 BCB1C1 ，,又平面 ADA1D1,平面 BMN HF ，平面 BCB1C1 平面 BMN BE ，,有平面与平面平行的性质定理可得 HF /BE ，故正确；,A1F : FA 1: 2 ，所以,11 1,2,B M 3 A B 3,，,又 E 为棱CC1 上的中点，所以 B1 N 4 ,所以,3,VB BMN VN B BM 11, 1 1 2 3 4 4, 2,，故正确；,MN 与平面 A1B1BA 所成的角为B1MN ，,结合 B 选项可得,1,1,BM3,tan B MN B1N 4 1,，故错误；,GC1 /B1M ，,CC,1,CB N,因为 E 为棱1 上的中点， 1 为棱上的中点，所以,1,2,GC1 =B1M ,3 2,所以,1,D G= 1,2 ，所以 D1G : GC1 1: 3 ，故正确.,应选：ABD 【点睛】 求体积的常用方法： 1直接法：对于规那么的几何体，利用相关公式直接计算； 2等体积法：选择适宜的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一 个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换； 3割补法：首先把不规那么的几何体分割成规那么的几何体，然后进行体积计算；或者把不规 那么的几何体补成规那么的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算. 正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，点 O 为 A1D1 的中点，假设以O 为球心， 6 为半径的球 面与正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱有四个交点E，F，G，H，那么以下结论正确的选项是 A1D1 / 平面 EFGH A1C 平面 EFGH A1B1 与平面 EFGH 所成的角的大小为 45,D平面 EFGH 将正方体 ABCD A1B1C1D1 分成两局部的体积的比为1: 7 【答案】ACD 【分析】 如图，计。