高考数学压轴小题3：平面向量.docx

挑战满分】压轴小题3：平面向量一、单选题1．设向量，，满足，，，则的最大值等于（ ）A．1 B． C． D．22．已如平面向量、、，满足，，，，则的最大值为（ ）A． B． C． D．3．已知直线上有两点，且.已知满足，若，则这样的点个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．44．已知P是函数（）图象上的动点，点，，O为坐标原点，若存在实数，使得成立，则的最小值是（ ）A．1 B． C． D．5．在平面内，定点，，，满足，，动点，满足，，则的最大值是（ ）．A．12 B．6 C． D．6．如图梯形，且，，段上，，则的最小值为A． B． C． D．7．若，且，，则的取值范围是(　　)A． B．C． D．8．已知平面向量满足：，且，则的最大值是（ ）A．9 B．10 C．12 D．149．已知，是半径为的圆上的动点，线段是圆的直径，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．10．已知平面向量，，，对任意实数x，y都有，成立．若，则的最大值是（ ）A． B． C． D．11．在中，，，，若点为边所在直线上的一个动点，则的最小值为（ ）A． B． C． D．12．梯形中平行于,，为腰所在直线上任意一点，则的最小值是（ ）A． B． C． D．13．已知、是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则A． B．4 C．3 D．114．如图，在等腰梯形中，，，高为，为的中点，为折线段上的动点，设的最小值为，若关于的方程有两不等实根，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．15．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A．x21 B．C． D．16．已知单位向量，满足，若存在向量，使得，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．17．记在中，为斜边上一动点．设，则当取最小值时，（ ）A． B． C． D．18．已知单位向量，且，若，则的最小值为（ ）A． B． C． D．119．在中，分别为的对边，为的外心，且有，，若，，则A． B． C． D．20．已知向量，满足，，且对任意的，的最小值为1，向量满足，记，，则下列说法正确的是（ ）．A．存在，使得 B．存在，使得C．对任意的，恒有 D．对任意的，恒有21．已知中，，，，是的平分线上一点，且.若内（不包含边界）的一点满足，则实数的取值范围是A． B． C． D．22．定义域为的函数的图象的两个端点为､，是的图象上任意一点，其中，()，向量，若不等式恒成立，则称函数在上“阶线性近似”.若函数在上“阶线性近似”，则实数的取值范围为A． B． C． D．23．已知、、分别是的三边、、上的点，且满足，，，，则（ ）A． B． C． D．24．已知，是非零向量，若对任意的实数，有，则（ ）A． B． C． D．25．设圆，圆的半径分别为1，2，且两圆外切于点，点，分别是圆，圆上的两动点，则的取值范围是（ ）A． B．C． D．26．已知，，，(m，).存在，，对于任意实数m，n，不等式恒成立，则实数T的取值范围为A． B． C． D．27．在三角形中，、分别是边、的中点，点段上（不含端点），且，则代数式的最大值为（ ）A． B． C． D．28．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为A． B． C． D．29．已知单位向量，向量，满足，且，其中，当取到最小时，A．0 B．1 C． D．30．已知是函数图象上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（ ）A． B． C．0 D．二、多选题31．下列说法正确的是（ ）A．若非零向量，且，则为等边三角形B．已知，且四边形为平行四边形，则C．已知正三角形的边长为，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则的最大值为1D．已知向量，则与夹角的范围是32．在中，，，、的交点为，过作动直线分别交线段、于、两点，若，，则的不可能取到的值为（ ）A． B． C． D．33．如图，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），若，则的取值可能是（ ） A． B．1 C．5 D．934．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是(　　) A． B．C． D．三、填空题35．半径为的圆上有三点、、满足，点是圆内一点，则的取值范围为______36．已知，若存在，使得与夹角为，且，则的最小值为___________.37．已知是边长为的正三角形，平面上两动点、满足（且、、）．若，则的最大值为__________．38．在中，，，，M是所在平面上的动点，则的最小值为________．39．已知，是平面内两个夹角为的单位向量，若，则的最小值为________.40．已知三点到点的距离都是它到直线的距离的倍且，当直线与的斜率之积为（其中为坐标原 点）时，则点与点的距离之和的值为____________41．已知平面向量满足：.若对满足条件的任意，的最小值恰为.设，则的最大值为_______________________.42．已知平面向量，，，满足，，，若平面向量（且），则的最小值是______.43．已知非零向量、不共线，设，定义点集，若对于任意的，当、且不在直线上时，不等式恒成立，则实数的取值范围为________.44．圆的方程为，圆的方程为，过圆上任意一点作圆的两条切线、，切点分别为、，则的最小值为__________.45．在平面凸四边形ABCD中，，点M，N分别是边AD，BC的中点，且，若，，则的值为________.46．给出以下几个结论：①若，，则；②如果且都不为，则，；③若，是夹角为的两个单位向量，则，的夹角为；④在中，三内角所对的边分别为，则；其中正确结论的序号为______．47．在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边，交于，若，其中，则的最小值是_____．48．如图，在中，，点段上移动（不含端点），若，则的取值范围是_____．49．在平面内,定点满足，动点满足则的最大值为________.50．在△中，，，点为△内（包括边界）任意一点，若，则的取值范围为________63 / 75【挑战满分】压轴小题3：平面向量答案解析1．D【分析】由题设知，的夹角为，又，若，则四点共圆或在以O为圆心的圆上，求两种情况下的最值，再确定其最大值即可.【解析】由，知：，的夹角为，又，∴若，即，，1、如上图，当四点共圆，而，设圆的半径为R，则，即∴当且仅当OC为圆的直径时，有最大值.2、如上图，当在以O为圆心的圆上，此时，综上：的最大值为2.故选：D.【小结】将平面向量转化为点共圆，根据，的夹角为，又，讨论位置关系，进而应用圆的性质确定的最大值.2．B【分析】作，，，取的中点，连接，分析出为等边三角形，可求得，计算得出，利用圆的几何性质求出面积的最大值，即可得出结果.【解析】如下图所示，作，，，取的中点，连接，以点为圆心，为半径作圆，，，，所以，为等边三角形，为的中点，，所以，的底边上的高为，，，所以，，所以，，由圆的几何性质可知，当、、三点共线且为线段上的点时，的面积取得最大值，此时，的底边上的高取最大值，即，则，因此，的最大值为.故选：B.【小结】结论小结：已知圆心到直线的距离为，且圆的半径为，则圆上一点到直线距离的最大值为.3．D【分析】根据题设中的等式可得或，所以外接圆的半径，故的个数记为圆心的个数，根据到直线的距离可判断出圆上存在4个不同的点到直线的距离为1，故可得正确答案.【解析】因为，故，故，故，而，故或.因为，故外接圆的半径满足，故.故外接圆的圆心在圆，设外接圆的圆心为，则为直线与圆的两个交点，故的个数即为圆心的个数.因为，故圆心到直线的距离，因为到直线的距离为，而，故圆上存在4个不同的点到直线的距离为1，故这样的点个数为4个.故选：D.【小结】关键小结：根据向量数量积的坐标形式构建向量的等式关系，从而计算出三角形的外接圆的半径，再根据定弦长把点的存在性问题归结为外接圆的圆心的存在性问题.4．D【分析】设，由把用表示出来，则得出关于的函数，再利用导数的知识求得其最小值．【解析】解析：设，由得，解得，，记，则，所以单调递减，所以.故选：D．【小结】本题考查向量共线的坐标表示，考查用导数求函数的最值．解题关键是由向量线性运算把表示为的函数．5．A【分析】可证明点是△的垂心，又点是△的外心，可知△是正三角形，则，进而建立直角坐标系，可求得，进而可求出最大值.【解析】，即，所以，同理可得，，所以点是△的垂心.又，所以点是△的外心，故△是正三角形，且，建立如图所示的直角坐标系，，所以，则，，，设，由，可设，，因为，所以为的中点，所以，则，，所以，所以当时，取得最大值12，即的最大值为12.故选：A.【小结】本题考查平面向量数量积的基本运算，考查平面向量在解决几何问题中的运用，考查学生的计算求解能力，属于难题.6．B【分析】先建系解得坐标，再设坐标，根据向量数量积列函数关系式，最后根据二次函数性质求最值.【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，因此，因此，设所以当时，最小值为选B.【小结】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.7．D【解析】如图所示：，，，∵，∴点C在劣弧AB上运动，表示C、D两点间的距离．的最大值是，最小值为.故选D8．C【分析】设，且，构造图形如图所示，根据数量积的运算化简可得结果.【解析】设，且，如图所示：则，且等号可以取到.故选：C. 【小结】本题考查几何法解决向量的运算，考查数量积的运算，考查数形结合的能力，属于难题.9．C【分析】建立直角坐标系，设出坐标，求出，然后化简，利用三角函数知识即可求解出它的范围.【解析】解：如图建立平面直角坐标系.设，，则，.，其中，，从而.的最大值为：，最小值为：.当时，取最大值.，当时，取最小值.故的取值范围是为.故选：.【小结】本题考查向量数量积的应用，考查转化思想和运算能力，建立直角坐标系，利用坐标运算时解答本题的关键，属于中档题.10．A【分析】设, ,，由题意可得点在以为直径的圆周上，设圆。