第八讲曲线积分ppt课件.ppt

第八讲 曲线积分一、对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分二、对坐标的曲线积分二、对坐标的曲线积分三、格林公式及其应用三、格林公式及其应用设  是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数, 都存在,上对弧长的曲线积分,记作若通过对  的任意分割局部的任意取点, 1.定义定义以下“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，  称为积分弧段 .曲线形构件的质量和对机动 目录 上页 下页 返回 完毕 一、对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分假如 L 是 xoy 面上的曲线弧 ,假如 L 是闭曲线 , 则记为则定义对弧长的曲线积分为机动 目录 上页 下页 返回 完毕 考虑考虑:若在 L 上 f (x, y)≡1, 2. 性质性质（k 为常数)(  由 组成) ( l 为曲线弧  的长度)机动 目录 上页 下页 返回 完毕 3、对弧长的曲线积分的计算法、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分转 化定理定理:且上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 说明说明:积分限必须满足如果曲线 L 的方程为则有如果方程为极坐标形式:那么推广推广: 设空间曲线弧的参数方程设空间曲线弧的参数方程为为那么机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1. 计算计算其中 L 是抛物线与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解:上点 O (0,0)机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例2.圆弧圆弧 L的半径为的半径为 R ,中心角为中心角为，求解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图, 那么 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例3. 计算曲线积分计算曲线积分 其中为螺旋的一段弧.解解: 线机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例4. 设设 C 是由极坐标系下曲线是由极坐标系下曲线及所围区域的边界, 求解解: 分段积分分段积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二、二、 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分1. 定义定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑弧弧,都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分. 其中,L 称为积分弧段 或 积分曲线 .称为被积函数 , 在L 上定义了一个向量函数记作机动 目录 上页 下页 返回 完毕 把L任意分成 n 个小弧段,假设假设 为空间曲线弧 , 记称为对 x 的曲线积分;称为对 y 的曲线积分.若记, 对坐标的曲线积分也可写作类似地, 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2. 物理意义：物理意义：设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 那么变力所作的功机动 目录 上页 下页 返回 完毕 3. 性质性质(1) 假设 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 那么那么说明说明: :• 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !机动 目录 上页 下页 返回 完毕 4、对坐标的曲线积分的计算法、对坐标的曲线积分的计算法定理定理:在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,说明说明:存在, 且有机动 目录 上页 下页 返回 完毕 特别是, 假如 L 的方程为那么对空间光滑曲线弧 :类似有定理 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1. 计算计算其中L 为沿抛物线解法解法1 取取 x 为参数为参数, 那么那么解法解法2 取取 y 为参数为参数, 那那么么从点的一段. 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例2. 计算计算其中 L 为(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ). 解解: (1) 取取L的参数方程为的参数方程为(2) 取 L 的方程为那么那么机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例3. 计算计算其中L为(1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线 解解: (1) 原原式式(2) 原式(3) 原式机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例4. 设在力设在力作用下, 质点由沿移动到解解: (1)(2)  的参数方程为试求力对质点所作的功.其中为机动 目录 上页 下页 返回 完毕 考虑：知考虑：知为折线 ABCOA(如图), 计算提示提示:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 区域 D 分类单连通区域 ( 无“洞〞区域 )多连通区域 ( 有“洞〞区域 )域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左定理定理1. 设区域设区域 D 是由分段光滑正向曲线是由分段光滑正向曲线 L 围成围成,则有( 格林公式 )函数在 D 上具有连续一阶偏导数,三、三、 格林公式格林公式机动 目录 上页 下页 返回 完毕 推论推论: 正向闭曲线正向闭曲线 L 所围区域所围区域 D 的面积的面积格林公式格林公式例如例如, 椭圆椭圆所围面积定理1 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1. 1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明证证: 令令那么利用格林公式 , 得机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例2. 计算计算其中L 是 圆周 ，取逆时针方向。

解解: 那么机动 目录 上页 下页 返回 完毕 设L 所围成的区域为D由格林公式有：原式例例3. 计算计算其中L为三顶点分别为(0,0),(3,0),(3,2)三角形正向边界解解: 设 L 所围区域为D,由格林公式知机动 目录 上页 下页 返回 完毕 四、平面上曲线积分与路径无关的等价条件四、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2. 设设D 是单连通域是单连通域 ,在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)(4) 在 D 内每一点都有与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例6. 验证验证是某个函数的全微分, 并求出这个函数. 证证: 设设那么由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使机动 目录 上页 下页 返回 完毕 。