考研数学(一)真题（1987-2018）.pdf

2018 全国研究生考试数学(一)真题 完整版 第 1 页第 2 页第 3 页第 4 页历年考研数学一真题 1987-2017 （答案 +解析）最近三年（ 2015-2017 ）2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学 (一) 试卷一、选择题18 小题每小题4 分，共 32 分设函数()f x在(,)上连续，其二阶导数()fx的图形如右图所示，则曲线( )yfx在(,)的拐点个数为（ A）0（B）1（C）2（D）3【详解 】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0 x但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C）2 设21123()xxyexe是 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程xyaybyce的一个特解，则（A）321,abc（B）321,abc（C）321,abc（D）321,abc【详解】线性微分方程的特征方程为20rarb，由特解可知12r一定是 特 征 方 程 的 一 个 实 根 如 果21r不 是 特 征 方 程 的 实 根 ， 则 对 应 于()xf xce的特解的形式应该为( )xQ x e， 其中()Q x应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以21r也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得2132 12(),ab，同时*xyxe是原来方程的一个解，代入可得1c应该选（ A）若级数1nna条件收敛，则33,xx依次为级数11()nnnnax的（）收敛点，收敛点（）收敛点，发散点(）发散点，收敛点（）发散点，发散点【详解 】 注意条件级数1nna条件收敛等价于幂级数1nnna x在1x处条件收敛， 也就是这个幂级数的收敛为1，即11limnnnaa，所以11()nnnnax的收敛半径111lim()nnnnaRna， 绝对收敛域为0 2( , )， 显然33,xx依次为收敛点、发散点，应该选（B）第 5 页设 D 是第一象限中由曲线21 41,xyxy与直线3,yx yx所围成的平面区域，函数( ,)f x y在 D 上连续，则( ,)Dfx y dxdy（）（）1321422sinsin( cos , sin )df rrrdr（）1231422sinsin( cos ,sin )df rrrdr（）1321422sinsin( cos , sin )df rrdr（）1231422sinsin( cos ,sin )df rrdr【详解 】积分区域如图所示，化成极坐标方程：2211212122sincossinsinxyrrr221141412222sincossinsinxyrrr也就是 D：43112sinsinr所以(,)Df x y dxdy1231422sinsin( cos ,sin )df rrrdr， 所以应该选 （B） 5设矩阵2211111214,Aabdad，若集合1 2,，则线性方程组Axb有无穷多解的充分必要条件是（A）,ad（B）,ad（C）,ad（D）,ad【详解 】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：2222111111111111201110111403110012(, )()()BA badadaadadaa方 程 组 无 穷 解 的 充 分 必 要 条 件 是3()(, )r Ar A b， 也 就 是120120()(),()()aadd同时成立，当然应该选（D） 6设二次型123(,)f x xx在正交变换xPy下的标准形为2221232yyy，其中123,Pe e e，若132,Qee e，则123(,)f x x x在xQy下的标第 6 页准形为（ A）2221232yyy（B）2221232yyy（ C）2221232yyy（ D）2221232yyy【 详 解 】132123100100001001010010,Qee ee e eP，100001010TTQP211TTTTfx Axy PAPyyy所以10001010TTQ AQP AP故选择（ A） 7若,A B为任意两个随机事件，则（）（A）()()()P ABP A P B（ B）()()()P ABP A P B（C）2()()()P AP BP AB（D）2()()()P AP BP AB【详解】()(),()(),P AP ABP BP AB所以2()()()P AP BP AB故选择（ C） 8 设 随 机 变 量,X Y不 相 关 ， 且213,EXEYDX， 则2() )EXXY（）（A）3（B）3（C）5（D）5【详解】222225()()()()E X XYE XE XYEXDXEXEXEYEX故应该选择（D） 二、填空题 （本题共 6 小题， 每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）920ln(cos)limxxx【详解】200122ln(cos)tanlimlimxxxxxx10221sincosxx dxx【详解 】只要注意1sincosxx为奇函数，在对称区间上积分为零，所以22202214sin.cosxx dxxdxx11 若 函 数(,)zz xy是 由 方 程2c o szex y zxx确 定 ， 则0 1( , )|dz【详解 】设2( , , )coszF x y zexyzxx，则第 7 页1( , )sin,( , ),( , , )zxyzFx y zyzx Fx y zxz Fx y zexy且当01,xy时，0z，所以0101010010100 1 00 1 0( , )( , )( , , )( , , )|,|,( , , )( , , )yxzzFFzzxyFF也就得到0 1( , )|dz.dx12设是由平面1xyz和三个坐标面围成的空间区域，则23()dxdydzxyz【详解 】注意在积分区域内，三个变量,x y z具有轮换对称性，也就是dxdydzdxdydzdxdydzxyz1120012366314()dxdydzdxdydz()zDxyzzzdzdxdyzzdz13n阶行列式2002120200220012【详解 】按照第一行展开，得1111212122()()nnnnnDDD，有1222()nnDD由于1226,DD，得11122222()nnnDD14 设 二 维 随 机 变 量(,)X Y服 从 正 态 分 布1 0 1 1 0( , ; , ; )N， 则0PX YY【 详 解 】 由 于 相 关 系 数 等 于 零 ， 所 以X ， Y都 服 从 正 态 分 布 ，110 1( , ),( , )XNYN，且相互独立则10 1( , )XN010010010(),PXYYP Y XP YXP YX三、解答题15 （本题满分10 分）设函数1()ln()sinf xxaxbxx，3( )g xkx在0 x时为等价无穷小，求常数, ,a b k的取值【详解 】当0 x时，把函数1()ln()sinf xxaxbxx展开到三阶的马克劳林公式，得233332331236123( )()()()()()()xxf xxa xo xbx xxo xaaa xb xxo x由于当0 x时，( ),( )fxg x是等价无穷小，则有10023aabak，解得，11123,.abk第 8 页16 （本题满分10 分）设函数)(xfy在定义域I上的导数大于零，若对任意的0 xI，曲线)(xfy在点00(,()xf x处的切线与直线0 xx及x轴所围成区域的面积恒为 4，且02( )f，求()f x的表达式【详解】)( xfy在点00(,()xf x处的切线方程为000()()()yfxxxf x令0y，得000()()f xxxfx曲线)(xfy在点00(,()xf x处的切线与直线0 xx及x轴所围成区域的面积为00000142()()()()f xSf xxxfx整理，得218yy，解方程，得118Cxy，由于02( )f，得12C所求曲线方程为84.yx17 （本题满分10 分）设函数(,)fx yxyxy，曲线223:Cxyxy，求( , )f x y在曲线C上的最大方向导数【详解 】显然11,ffyxxy( ,)f x yxyxy在( ,)x y处的梯度11,ffgradfyxxy(,)f x y在( ,)x y处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模2211()()gradfyx所以此题转化为求函数2211( ,)()()F x yxy在条件223:Cxyxy下的条件极值用拉格朗日乘子法求解如下：令2222113( , ,)()()()L x yxyxyxy解 方 程 组222 1202 1203()()xyFxxyFyyxxyxy， 得 几 个 可 能 的 极 值 点1 111211 2,(,),( ,),(, )，进行比较，可得，在点21,xy或12,xy处，方向导数取到最大，为93.18 （本题满分10 分）（1 ）设函数() ,(uxvx都可导，利用导数定义证明( ( ) ( )() ()( )()u x v xux v xu x v x；（ 2）设函数12( ),( ),( )nu x uxux都可导，12( )( )( )( )nf xu x uxux，写出()fx的求导公式第 9 页【详解 】 （1）证明：设)()(xvxuy)()()()(xvxuxxvxxuy() ()( ) ()() ()() ( )u xx v xxu x v xxu x v xxu x v xvxuxxuv)()(xuxuxxvxuxy)()(由导数的定义和可导与连续的关系00limlim()()() ()() ()xxyuuyv xxu xux v xu x vxxxx（2）12( )( )( )( )nf xu x uxux1121212( )( )( )( )( )( )( )( )()( )( )nnnfxu x u x uxuxu x uxuxu x uxux19 （本题满分10 分）已 知 曲 线L的 方 程 为222zxyzx， 起 点 为02 0( , )A， 终 点 为02 0( , )B，计算曲线积分2222()()()Lyz dxzxy dyxydz【详解 】曲线 L 的参数方程为2cossin ,cosxtytzt起点02 0( , )A对应2t，终点为02 0( , )B对应2t22222222222()()()(sincos ) (cos )(cos ) (cos )(cos ) cosLyz dxzxy dyxy dztt dtt dtt dt22022 22sin.tdt20 （本题满分11 分）设向量组123,为向量空间3R的一组基，113223332221,()kk（1）证明：向量组123,为向量空间3R的一组基；（2）当k为何值时， 存在非零向量，使得在基123,和基123,下的坐标相同，并求出所有的非零向量.【详解 】 （1）123123201020201(,),kk，因为2012102024021201kkkk，且123,显然线性无关， 所以123,是线性无关的，当然是向量空间3R的一组基（2）设非零向量在两组基下的坐标都是123(,)xxx，则由条件112233112233xxxxxx可整理得：1132231320()()xkxxk，所以条件转化为线性方第 10 页程组1321320,kkx存在非零解从而系数行列式应该等于零，也就是12312310110101001002020(,)(,kkkk由于123,显然线性无关，所以101010020kk，也就是0k此时方程组化为112121312230,()xxxxxx，由于12,线性无关，所以13200 xxx，通解为1230 xCxxC，其中C为任意常数所以满足条件的0CC其中C为。