再论小学数学教材中的分段函数问题.docx

    再论小学数学教材中的分段函数问题    笔者在2007年曾研究过小学数学教材中的分段函数问题（王凯成.小学数学教材中的分段函数问题（J），小学教学研究，2007年第7期）由于课标教材重新修订，更加注重渗透数学思想方法，各版本的小学数学教材都渗透了分段函数的内容，因此，重新挖掘研究小学数学教材中的分段函数问题很有必要例1（西南师大版小学数学教材五年级上册）蓝叔叔选择的上网收费标准是：每月缴30元可以上网50小时，超过50小时每小时收1.5元蓝叔叔这个月上网78小时，需要缴多少元上网费？解：蓝叔叔这个月上网78小时，78>50，按规定蓝叔叔上网的78小时中的50小时需缴费30元，剩余的78-50=28（小时）应缴费1.5×28=42（元）所以，蓝叔叔这个月上网78小时应缴30+42=72（元）的上网费例2（人教版小学数学教材五年级上册）某市自来水公司为鼓励节约用水，采取按月分段计费的方法收取水费12吨以内的每吨2.5元；超过12吨的部分，每吨3.8元1）小云家上个月的用水量为11吨，应缴水费多少元？（2）小可家上个月的用水量为17吨，应缴水费多少元？解：（1）小云家上个月的用水量为11吨，由于11<12，按规定应缴水费2.5×11=27.5（元）。

2）小可家上个月的用水量为17吨，17>12，按规定17吨中的12吨每吨缴费2.5元，12吨应缴2.5×12=30（元）；超出的17-12=5（吨）每吨缴费3.8元，5吨应缴3.8×5=19（元）所以小可家上个月应缴水费为30+19=49（元）例3（苏教版小学数学教材五年级上册）为了鼓励节约用电，某市电力公司规定了以下的电费计算方法：每月用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时，超过部分按每千瓦时0.6元收费小明家10月付电费64.6元，用电多少千瓦时？解：因为64.6>52，所以小明家10月的用电量超过了100千瓦时小明家10月用电量为：100+（64.6-52）÷0.6=121（千瓦时）小华：我家这个月用电170千瓦时，应付多少元？小青：我家这个月用电185千瓦时，应付多少元？例5（人教版小学数学教材四年级上册第105页例2，北师大版小学数学教材四年级下册第82页例题）每一次只能烙两张饼，每个饼的两面都要烙，每面3分钟如果要烙1张饼、2张饼、3张饼、4张饼……10张饼，怎样烙合理？你发现了什么？解：烙1张，有2面，每次烙1面，烙2次，需2×3=6（分钟）；烙2张，有4面，每次烙2面，烙2次，需2×3=6（分钟）；烙3张，有6面，每次烙2面，烙3次，需3×3=9（分钟）。

烙4张、5张、……10张饼，怎样烙合理？转化：（1）烙偶数张饼，不妨设为2n张，那么2张2张地烙，每2张需要6分钟，共n个2张，所以烙2n张饼需要6n=（2n）×3（分钟）2）烙大于1的奇数张饼，不妨设为2n+1张，那么先烙3张饼，需要9分钟，剩下的2n+1-3=2（n-1）张，2张2张地烙，烙2（n-1）张需要6（n-1）分钟所以烙2n+1（n是正整数）张饼需要9+6（n-1）=6n+3=（2n+1）×3（分钟）由（1）和（2）可见，烙x（x>1）张饼，无论x是奇数还是偶数，烙这x（x>1）张饼都需要3x分钟的时间一般地，设烙x张饼，需要的时间为f（x）分钟，那么f（x）是分段函数：当x=1时，f（x）=6；当x>1时，f（x）=3x例6（苏教版小学数学教材四年级下册）长阳动物园的门票价格规定如下表所示西街小学四年级同学去长阳动物园春游，一班有48人，二班有49人，三班有52人1）每个班分别购票，各需要多少元？（2）三个班合起来购票，一共需要多少元？解：（1）一班有48人购票，由于1<48<50，每人15元，一班购票需要15×48=720（元）；二班有49人购票，由于1<49<50，每人15元，二班购票需要15×49=735（元）；三班有52人购票，由于50<52<100，按规定52人中的50人购票每人15元，剩下52-50=2（人）购票每人13元，三班购票需要15×50+13×2=776（元）。

2）三个班合起来一共有48+49+52=149（人），149人购票，按规定149人中的50人购票每人15元，另外50人购票每人13元，剩下的149-50-50=49（人）购票每人10元，三个班合起来购票，一共需要15×50+13×50+10×49=1890（元）一般地，设x人在长阳动物园购票，购票费为f渊x冤元，那么f（x）是分段函数：例7（根据人教版小学数学教材五年級上册练习题改编）出租车收费规定：3km以内7元；超过3km，每千米1.5元（不足1km按1km计算）小李坐出租车6.3km，要付多少钱？解：6.3>3，6.3-3=3.3，3.3千米应按4千米收费，收费y=7+1.5×4=13（元）一般地，设行车里程为x千米，收费为f（x）元，那么f（x）是分段函数：当0例8（人教版小学数学教材五年级上册）某地打固定每次前3分钟内收费0.22元，超过3分钟每分钟收费0.11元（不足1分钟按1分钟收费）妈妈一次通话时间是8分29秒，她这一次通话的费用是多少？解：妈妈这次通话的时间是8分29秒，超过3分钟，按照收费规定，8分29秒中的前3分钟收费0.22元，剩下的5分29秒应按6分钟付费，且这6分钟每分钟付费0.11元。

所以，妈妈这一次的通话费用是：0.22+0.11×6=0.88（元）一般地，设某人的通话时间为x分钟，应付费为f（x）元，那么f（x）是分段函数：数学教育家李秉彝提出，数学教师应当上通数学，下达课堂上通数学就是要了解数学内容所渗透的数学思想方法，把具体的数学知识上升到更高的层次，用高观点来理解下达课堂就是要熟悉学生的知识水平与能力，在高观点的指导下，在学生现有知识水平上进行有效教学，而不是机械地照搬高观点上通数学，下达课堂应该成为每一位数学教师的自觉行动作者单位：陕西省小学教师培训中心）   -全文完-。