勾股定理与梯子问题.doc

勾股定理与梯子问题　例1　如图1，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，如图2，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米．　　析解：首先根据图1求出AC的长度，再由图2求出CE的长度即可得出答案．因在Rt△ABC中，AB＝2.5，BC＝1.5，根据勾股定理得．在Rt△DCE中，DE＝AB＝2.5，CD＝BC＋BD＝1.5＋0.5＝2．同样根据勾股定理可得．则AE＝AC－CE＝2－1.5＝0.5（米）．即梯子顶端A下落了0.5米到达点E．　　二、比较梯子沿墙壁滑行时其在墙壁和地面上滑行距离的大小关系　　例2　如图3，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至 B′，那么BB′　　①等于1米；②大于1米；③小于1米．　　其中正确结论的序号是________．　　析解：在Rt△ABO中，因，当其下滑到Rt△A′OB′位置时，有，又因A′O=3，则根据勾股定理可得　　，则，由此可知应选③．勾股定理中的思想方法勾股定理及其逆定理是中学阶段两个非常重要的结论，它是数与形结合的一个典范．在本章的学习中不仅体现了数形结合的思想，还包含了其他的数学思想方法，现列举如下，供大家参考： (1)面积法．教材中证明勾股定理的几种方法均采用了面积法，即用不同的方式表示同一个图形的面积，从而列出等式解决问题．例1已知 △ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5㎝．BC＝3㎝，CD⊥AB于点D，求CD的长．分析：由题意可知利用勾股定理可求得AC，然后用不同的方式表示△ABC的面积，进而求出CD的长．解：如图1 ，∵△ABC是直角三角形，∴AC2＋BC2＝AB2，即AC2＝52-32，∴AC=4（㎝），又S△ABC＝BC×AC＝AB×CD，∴ CD＝＝＝2.4（cm）． (2)构造法．本章利用勾股定理的前提是在直角三角形中，若题中不具备这个条件，可考虑添加辅助线构造直角三角形．例2 如图2，已知△ABC中， ∠B＝30°， ∠C＝45°， AB＝4， AC＝．求△ABC的面积．分析：要求面积需知道一边和这边上的高，题中不是直角三角形，不能用勾股定理来解决，可考虑作BC边上的高，构造直角三角形来解决． 解：过点A作ACD⊥BC，垂足为D，在Rt△ADB中，∵AB＝4， ∠B＝30°∴AD＝AB＝2，由勾股定理得，BD＝＝＝． 在Rt△ADC中，∵AC＝， ∠C＝45°由勾股定理得AD2＋CD2＝AC2，即2AD2＝() 2，∴AD＝CD＝2， ∴BC＝BD＋CD＝＋2，∴S△ABC＝BC×AD＝(＋2)·2＝＋2．(3)转化思想．勾股定理是从形到数的转化，其逆定理是从数到形的转化．本章题目中还有把四边形转化为三角形的问题，把立体图形转化为平面图形的问题．这些都体现了转化的数学思想．例3 如图3，已知四边形ABCD中，∠B＝90°， AB＝3， BC＝4，CD＝12，AD＝13．求四边形ABCD的面积．分析：由题意联想勾股数，可连接AC把四边形的问题转化为三角形的问题． 解：连接AC，在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25，∴AC＝5．在△ACD中，∵AC2＋CD2＝52＋122＝169， AD2＝132＝169，∴AC2＋CD2＝AD2， ∴∠ACD＝90°．∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝＋＝＋＝6＋30＝36．(4)分类讨论思想．在计算中遇到直角边和斜边不能确定的时候，要考虑分类讨论．例4 已知Rt△ABC中，其中两边的长分别是3，5，求第三边的长．分析：已知的两边可能是直角边，也可能一条是直角边而另一条是斜边，因此需要分类讨论．解：当已知两条边是直角边时，由勾股定理得第三条边的长为＝；当已知两条边中有一条是直角边而另一条是斜边时，则第三边长为＝4．∴第三边的长为或4．(5)方程思想．勾股定理中的直角三角形三边有，这本身就是一个等量关系，所以在有关的计算中设未知数列方程是我们解决问题的一种方法．例5 如图4，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，它们同时发现C处有一筐苹果，一只猴子从D往上爬到树顶A又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C．已知两只猴子所经路程都是15米．试求大树AB的高度．分析：由题意不妨设AD＝x，则AC＝15－x，又BD＝10米，所以BC＝15-10＝5米，Rt△ABC的三边满足购股定理，因此可列方程解得AD，进而求AB的长．解： 设AD＝x，则AC＝15－x，又BD＝10，所以BC＝15-10＝5(米)，在Rt△ABC中，根据勾股定理得AB2＋BC2＝AC2，∴，解得．∴大树AB的高度为10＋2＝12(米)．勾股数规律的探究在直角三角形中，斜边长为c，两条直角边长分别为a、b，那么a2+b2=c2，这个结论通常叫做勾股定理，因为在中国古代，称直角三角形较短的一条直角边为勾，较长的一条直角边为股，斜边为弦．使a2+b2=c2成立的任何三个自然数便组成勾股数，我们知道3，4，5；6，8，10；5，12，13都是勾股数，勾股数有没有规律可循呢？下面我们作一探究．如下表，其中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有的数的规律，把b、c用a的代数式表示出来，并写出①当a=2n（n为大于等于1的整数）时，b、c的值；②当n=20时，b、c的值．6，8，10 62+82=1028，15，17 82+152=17210，24，26 102+242=26212，35，37 122+352=372… …2n，b，c 2n2+b2=c2观察得出表中已有数的规律为①②由①得（b+c）（c-b）=a2 ③把②代入③得b=-1，c=+1当a=2n时，b=-1=n2-1c=+1=n2+1当a=20时，b=102-1=99，c=102+1=101规律：当a是偶数2n（n为大于等于1整数）时，b为n2-1，c为n2+1，不难看出c=b+2，即2n，n2-1，n2+1为勾股数．下面我们再来探究为a奇数2n+1（n为大于1的整数）时，勾股数的规律．我们知道3，4，5；5，12，13；7，24，25…都是第一个数为奇数的勾股数，观察得出已有数的规律为①②把②代入①得b= ③把③代入②得c=+1==当a=2n+1时，b=，c=规律：当a为奇数2n+1（n≥1的整数）时，b为，c为，不难看出c=b+1，即2n+1，，为勾股数，如25，312，313为勾股数．例 给出下列几组数：①6，7，8；②9，40，41；③11，264，266；④14，194，200，其中能组成直角三角形的三条边长的有 ．解：对于①∵6为偶数，8-7=1不等于2，所以①不能，对于②，因为9为奇数，181-180=1且40=，所以②能，对于③因为11为奇数，266-264=2不等于1，所以③不能，对于④因为14为偶数，200-194≠2，所以不能．故应填②．点评：由以上例题解答可以看出，利用勾股数的规律解答三边能否构成直角三角形问题比用a2+b2=c2简洁的多，望同学们掌握之．四、方程思想　　由于勾股定理反映了直角三角形三边的数量关系，所以在应用勾股定理解决问题时，要考虑应用定理列方程来求解．　　例2　如图2，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD．　　析解：设DC=x，则BD=14-x， 在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：（14-x）2+AD2=152，x2+AD2=132．两式相减得，解得x=5．在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=12．逆向思维的方法　　从课本上，我们学到了一个定理：如三角形三边长a，b，c有下面的关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形．这便是勾股定理的逆用．而且这种逆向思维的方法有着广泛的应用．　　例1　如图1，在△ABC中，D为BC边上一点，已 知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，那么DC＝_____．　　解：在△ABD中，因为AB＝13，AD＝12，BD＝5，　　所以AB2＝AD2＋BD2．　　根据勾股定理的逆用得∠ADB＝90°，从而∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，由勾股定理可得蚂蚁怎样走最近1、如图1—13所示。

有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面的A点相对的B点处的事物，需要爬行的最短路程是多少？（п的值取3）2.有一圆柱形油罐,如图所示,要以A点环绕油罐建旋梯,正好刘A点的正上方B点,问旋梯最短要多少米?（己知油罐周长是12米,高AB是5米）3. 如图所示,一块砖宽AN=5cm,长ND=10cm,CD上的点B距地面的高BD=8cm.地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食,要爬行的最短路线是多少?4、某工厂的大门如图所示,其中四边形ABCD是正方形,上部是以AB为直径的半圆, 其中AD=AB=2米,现有一辆装满货物的卡车,高2.5米,宽1.6米. 问这辆卡车能否通过厂门? 说明理由 。