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[专升本(地方)考试密押题库与答案解析]贵州省专升本考试高等数学模拟28[专升本(地方)考试密押题库与答案解析]贵州省专升本考试高等数学模拟28贵州省专升本考试高等数学模拟28第Ⅰ卷 客观题一、单项选择题问题:1. 下列极限存在的有______ A． B． C． D． 答案:B[解析] 显然只有其他三个都不存在，故应选B．问题:2. =______A.eB.e2C.e3D.e4答案:B[解析] 故应选B．问题:3. 当x→0时，f(x)与1-cosx等价，则______ A．0 B． C．1 D．∞ 答案:B[解析] 由题意可知，f(x)与1-cosx等价，则 问题:4. f(x)=(x-x0)φ(x)，其中φ(x)可导，则f(x0)=______A.0B.φ(x0)C.φ(x0)D.∞答案:B[解析] f(x)=φ(x)+(x-x0)φ(x)，则f(x0)=φ(x0)，故应选B．问题:5. 设函数f(x)具有任意阶导数，且f(x)=[f(x)]2，则f(n)(x)=______A.n![f(x)]n+1B.n[f(x)]n+1C.(n+1)[f(x)]n+1D.(n+1)![f(x)]n+1答案:A[解析] 因为f(x)=[f(x)]2，所以 f"(x)=2f(x)f(x)=2[f(x)]3， f(x)=23[f(x)]2f(x)=23[f(x)]4， f(4)(x)=234[f(x)]3f(x)=4![f(x)]5， … f(n)(x)=n![f(x)]n+1， 故应选A． 问题:6. 曲线在点(0，1)处的切线斜率是______A.0B.1C.2D.3答案:B[解析] x=0为函数的分段点，故在该点的导数需要分别求左导数和右导数．f-(0)=故f(0)=1，则函数在点(0，1)处的切线斜率为1．问题:7. 设函数f(x)有连续的二阶导数，且f(0)=0，则______A.f(0)是函数的极小值B.f(0)是函数的极大值C.(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D.f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是曲线的拐点答案:A[解析] 因为f(x)具有连续的二阶导数，从而由局部保号性知在x=0的去心邻域内有f"(x)＞0，故在x的邻域内f(x)单调递增，又f(0)=0，所以在x=0的左侧邻域f(x)＜0，在x=0的右侧邻域f(x)＞0，故f(0)是函数的极小值．故应选A．问题:8. 设y=cos(sinx)，则dy=______A.-sin(sinx)cosxdxB.-sin(sinx)dxC.-cos(sinx)cosxdxD.-cos(sinx)dx答案:A[解析] dy=d[cos(sinx)]=-sin(sinx)cosxdx．问题:9. =______A.0B.2C.-2D.不存在答案:D[解析] 积分值不存在，故应选D．问题:10. 函数f(x)=ex-e-x的一个原函数是______A.F(x)=ex-e-xB.F(x)=ex+e-xC.F(x)=e-x-exD.F(x)=-ex-e-x答案:B[解析] ∫f(x)dx=∫(ex-e-x)dx=∫exdx+∫e-xd(-x)=ex+e-x+C，结合选项可知B正确．二、填空题问题:1. 若其中f(x)为连续可导函数，则f(3)=______．答案:[解析] 因为f(x)是连续可导函数，故f(x)在x=3处连续，所以有=f(3)， 又存在，故故f(3)=4．则 解得f(3)= 问题:2. 已知若函数f(x)在x=1处连续，则a=______．答案:1[解析] 由f(x)在x=1连续，得1-a=0，即a=1．问题:3. 设函数则f(ln2)=______．答案:4[解析] 由于所以f(ln2)=e2ln2=4．问题:4.答案:1[解析]问题:5. 函数在区间______内是凸的．答案:(-1，1)[解析] 令y"＜0，得x2-1＜0，即-1＜x＜1． 问题:6. 设函数f(x)=log2x(x＞0)，则答案:[解析]问题:7. 如果f(x)的一个原函数是xlnx，那么∫x2f"(x)dx=______．答案:-x+C[解析]问题:8. 定积分答案:7+2ln2[解析] 设x=t2，dx=2tdt， 当x=9时t=3；当x=4时，t=9． 则 问题:9. 设F(x)是f(x)的一个原函数，C为任意实数，则∫f(2x)dx=______．答案:[解析]问题:10.答案:[解析] 该定积分可看作圆x2+y2=1位于第一象限部分与坐标轴围成的图形的面积，即为圆面积的四分之一，所以第Ⅱ卷 主观题三、计算题(前一小题6分，后三小题各8分。

共30分)问题:1. 求由方程x2+2xy-y2-2x=0确定的隐函数y=y(x)的导数．答案:两边对x求导，得2x+2(y+xy)-2yy-2=0，整理得问题:2. 讨论函数的单调性．答案:函数的定义域为(-∞，+∞)，因为y=x4-x2=x2(x-1)(x+1)，所以，令y=0，得驻点x1=-1，x2=0，x3=1．列表讨论如下： x (-∞，-1) -1 (-1，0) 0 (0，1) 1 (1，+∞) y + 0 - 0 - 0 + y ↗ ↘ ↘ ↗ 所以，函数f(x)在区间(-∞，-1)与(1，+∞)上单调增加，在区间(-1，1)上单调减少． 问题:3. 求定积分答案:过坐标原点作曲线y=ex的切线l，切线l与曲线y=ex及y轴围成的平面图形记为G．求：4. 切线l的方程；答案:设切点的坐标为(x0，y0)，则y0=ex0，y=ex， ∴切线z的方程为：y-y0=ex0(x-x0)，即y-ex0=ex0(x-x0)， 又因该切线经过原点，故0-ex0=ex0(0-x0)，解之得x0=1， ∴切点为(1，e)，故切线方程为y=ex； 5. G的面积；答案:6. G绕x轴旋转所得旋转体体积．答案:四、应用题(共12分)问题:1. 将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积最大?答案:设矩形的一边长为x，则另一边长为p-x， 设矩形绕长为p-x的一边旋转，则圆柱体的体积为 V=πx2(p-x)，(0＜x＜p) V=2πx(p-x)-πx2=πx(2p-3x)， 令V=0，解得驻点为 由于驻点唯一，且圆柱体一定存在最大体积，所以当矩形的边长为时，且绕短边旋转所得圆柱体积最大． 五、证明题(共8分)问题:1. 设e＜a＜b＜e2，证明ln2b-ln2a＞答案:证明：令f(x)=ln2x，因e＜a＜b＜e2，f(x)在[a，b]上满足拉格朗日中值定理条件，且 故存在ξ∈(a，b)，使得 令在x∈[e，e2]上g(x)≤0， 故g(x)单调减少，g(x)在[e，e2]上最小值为 由于ξ∈(e，e2)，所以 即 10 / 10。