2.6矩阵的逆及其求法PPT课件.ppt

一、逆矩阵的概念一、逆矩阵的概念二、方阵可逆的判别定理二、方阵可逆的判别定理第六节矩阵逆及其求法 第二章 三、逆矩阵的基本性质三、逆矩阵的基本性质四、用矩阵的初等变换求逆矩阵四、用矩阵的初等变换求逆矩阵1设设 n 元线性方程组元线性方程组线性方程组的矩阵表示法线性方程组的矩阵表示法（2）2则求（则求（1）的解的问题归结为求）的解的问题归结为求(2)的解矢量问题，的解矢量问题，而后者即求而后者即求中未知矩阵中未知矩阵X的问题这需要用到这需要用到逆矩阵的问题逆矩阵的问题代数方程代数方程的解的解问问矩阵方程矩阵方程的解是否为的解是否为?若可以，那么若可以，那么的含义是什么呢？的含义是什么呢？3定义定义1 设设 A 为为 n 阶阶方阵方阵，如有，如有 n 阶方阵阶方阵 B ，使，使AB = BA = E .则称则称 A 为可逆阵，为可逆阵，B 为为 A 的逆阵，记作的逆阵，记作 又称可逆阵为非奇异阵，不可逆阵为奇异阵又称可逆阵为非奇异阵，不可逆阵为奇异阵 .例例设设因为因为 AB = BA = E .所以所以 B 是是 A 的一个逆矩阵的一个逆矩阵一、逆矩阵的概念一、逆矩阵的概念4n 若方阵若方阵若方阵若方阵 A A 可逆，则其逆矩阵唯一可逆，则其逆矩阵唯一可逆，则其逆矩阵唯一可逆，则其逆矩阵唯一 . .证明证明证明证明设设 B 和和 C 都是都是 A 的逆矩阵，则由定义的逆矩阵，则由定义有有 AB = BA = E，，AC = CA = E，，B = BE = B( AC )= ( BA )C = EC = C . 所以逆矩阵唯一所以逆矩阵唯一.Ø单位矩阵的逆为其本身。

单位矩阵的逆为其本身Ø对角矩阵的逆为（如果它可逆的话）对角矩阵的逆为（如果它可逆的话）5u方阵的可逆满足性质：方阵的可逆满足性质：方阵的可逆满足性质：方阵的可逆满足性质：(3) A、、B 均是同阶可逆阵，则均是同阶可逆阵，则 (3) (AB)(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 =AEA-1 =AA-1= E.(4) AT(A-1)T = (A-1A)T = (E)T = E, 证明证明证明证明 只证只证 (3) 和和 (4) .6u 矩阵可逆的条件：矩阵可逆的条件：矩阵可逆的条件：矩阵可逆的条件：设设设设 矩阵矩阵矩阵矩阵中元素中元素中元素中元素 a aij ij 的代数余子式的代数余子式的代数余子式的代数余子式 A Aij ij ，，，，定义定义定义定义称为称为称为称为 A A 的的的的伴随矩阵伴随矩阵伴随矩阵伴随矩阵. . . .7例例 2.16求二阶方阵求二阶方阵的伴随矩阵的伴随矩阵.解解所以所以8定理定理2.1证明：证明：由第一章行列式展开定理及其推论知由第一章行列式展开定理及其推论知类似有类似有9u定理定理2. 2　矩　矩阵阵 A 可逆充分必要条件是可逆充分必要条件是且当且当时时，， 证明证明：： 必要性．必要性． 设设 A 可逆，可逆， 于是有于是有两边取行列式有，两边取行列式有， 因此因此充分性．充分性． 设设由定理由定理 2.1 知知故有故有10由逆矩阵定义知，由逆矩阵定义知，A 可逆，且其逆为可逆，且其逆为定理定理 2.2 不仅给出了判断矩阵可逆的方法，不仅给出了判断矩阵可逆的方法，还给出了求解逆矩阵的一种方法还给出了求解逆矩阵的一种方法 .A A可逆可逆A A是非奇异矩阵是非奇异矩阵•A A是满秩矩阵是满秩矩阵11逆矩阵的求法一：伴随矩阵法逆矩阵的求法一：伴随矩阵法例例 2.15 设设判断判断 A 是否可逆，如果可逆，求出其逆矩阵是否可逆，如果可逆，求出其逆矩阵 .解解因为因为故故 A 可逆，可逆， 且且12推论推论 若方阵若方阵 A、、B 有有 AB = E，则，则 A、、B 均可逆均可逆.证明证明因为因为故故于是于是 A、、B 均可逆均可逆 .13例例 2.17 求解线性方程组求解线性方程组解解方法一方法一 ( Cramer 法则法则 )由于由于于是有于是有14方法二方法二 ( 逆阵法逆阵法 )因为方程可写成矩阵形式因为方程可写成矩阵形式 Ax = b，其中，其中由于由于故故 A 可逆，可逆，因此因此其中其中15于是于是16利用方阵的逆矩阵及矩阵的乘法给出了求解变量利用方阵的逆矩阵及矩阵的乘法给出了求解变量个数等于方程个数的一种方法个数等于方程个数的一种方法 ( 第一章给出了行列式第一章给出了行列式法法 ) ，但对于，但对于 n 较大时，两种方法都不适用较大时，两种方法都不适用 .我们将我们将在余下的章节讨论第三种方法在余下的章节讨论第三种方法 .17例例 2.18 设设求求 A + B .解解由于由于 AB = A + B ，于是，于是 ( A – E ) B = A ,又又于是于是而而18所以所以故故19例例 2.19 设设 A 为为 3 阶矩阵，且阶矩阵，且求求解解 由于由于于是于是20解：解：例例621二、逆矩阵求解方法二二、逆矩阵求解方法二——初等变换法初等变换法初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，为了初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，为了充分发挥其作用，充分发挥其作用， 有必要对它进一步探讨。

有必要对它进一步探讨 定理定理3 A可逆可逆方法方法 ：： 求求 22例例7 求下列矩阵的逆矩阵求下列矩阵的逆矩阵解解 ：2324解解 2不存在25设设A、、B为为n 阶方阵，且阶方阵，且A可逆，则可逆，则（A|B）(E|A-1B)定理定理3 326例例8 求解下列矩阵方程解解27 设 ， ， ，例例10 求 X 解解 ， ， ， ， ，28 ， ，29例例1212 已知已知求解解30例例131331例例14若若，判别判别可逆，可逆，及及并求其逆并求其逆解解可逆可逆且且可逆，且(1)(2)32=，，则则设A,B分别是m阶, n阶可逆矩阵，，求解解，D可逆，设可逆，设例例1533，设•关于分块对角矩阵有下列运算性质：关于分块对角矩阵有下列运算性质： 4、 秩（A）=秩5、可逆时，可逆时，则则A可逆，且可逆，且34定理定理4 4： 方阵方阵A A可逆的充分必要条件是它能表示可逆的充分必要条件是它能表示 成一些初等矩阵的乘积：成一些初等矩阵的乘积： 定理定理5 设设A，，B是是矩阵，矩阵， 则以下三个条件等价则以下三个条件等价（（1）） A与与B等价；等价；(3) 存在存在 m阶可逆矩阵阶可逆矩阵P与与n阶可逆矩阵阶可逆矩阵Q ，使，使矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。

矩阵的初等变换不改变矩阵的秩35作业作业P129 1 2 1 ，2， 3 1，3 436。