数字信号处理第一章差分方程、抽样.ppt

§ §1.3  离散时间系统的时域描述离散时间系统的时域描述––––差分方程差分方程一、常系数线性差分方程的一般表达式一、常系数线性差分方程的一般表达式或或其中其中ak，，br都是常数都是常数连续时间系系统————用用微微分分方方程程描描述述系系统输出出输入入之之间的关系离离散散时间系系统————用用差差分分方方程程描描述述或或研研究究输出出输入入之之间的关系说明：说明： 1）常系数：）常系数：是指是指ak，，br都是常数，不含变数都是常数，不含变数n n 2）阶数：）阶数： 差分方程的阶数是由方程差分方程的阶数是由方程y(n-k)项中的项中的k取值取值最大与最小之差确定的最大与最小之差确定的 3）线性：）线性：y（（n−k）和）和x(n −r)项都只有一次幂且不存在项都只有一次幂且不存在相乘项 二、差分方程的求解二、差分方程的求解u时域域经典法：典法：类似于解微分方程，即求似于解微分方程，即求齐次解和特解，次解和特解，过程繁程繁琐，，应用很少，但物理概念比用很少，但物理概念比较清楚u迭代法迭代法(递推法推法)：：比比较简单，且适合于，且适合于计算机求解，但算机求解，但不能直接不能直接给出一个完整的解析式作出一个完整的解析式作为解答（也称解答（也称闭合形合形式解答）。

式解答）u卷卷积法：法：适用于系适用于系统起始状起始状态为零零时的求解u变换域域方方法法：：类似似于于连续时间系系统的的拉拉普普拉拉斯斯变换，，这里里采采用用Z变换法法来来求求解解差差分分方方程程，，这在在实际使使用用上上是是最最简单有效的方法有效的方法例例题：：解：解：（（1）令）令x(n)=δ(n)，， y(n)= h(n)=0，， n<0 根据初始条件可根据初始条件可递推如下推如下￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿y(0)=ay(-1)+δ(0)=1 y(1)=ay(0)+δ(1)=a y(2)=ay(1)+δ(2)=a2 …… y(n)=ay(n-1)=an 因此，因此，h(n)=y(n)=anu(n)，，该系系统是因果系是因果系统若系若系统用差分方程用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，描述，输入序列入序列x(n)=δ(n)，求初始条件分，求初始条件分别为：（：（1））h(n)=0，，n<0；；（（2））h(n)=0，，n>0时的的单位脉冲响位脉冲响应h(n)。

δ(n)作用下，作用下，输出出y(n)就是就是 h(n) 已知：已知：y(n)=ay(n-1)+x(n)，求，求h(n)=0，，n>0时的的h(n)（（2））将差分方程改写成将差分方程改写成y(n-1)= a-1[y(n)-x(n)] 根据初始条件可根据初始条件可递推如下推如下 y(0)=a-1[y(1)-δ(1)]=0 y(-1)= a-1[y(0)-δ(0)]=- a-1 …… y(n)=ay(n-1)=-an 因此，因此，h(n)=y(n)=-anu(-n-1)，是非因果系，是非因果系统以上以上结果果说明：明：（（1 1）一个常系数）一个常系数线性差分方程不一定代表一个因果系性差分方程不一定代表一个因果系统2 2）一个常系数）一个常系数线性差分方程，如果没有附加的起始条件，性差分方程，如果没有附加的起始条件，不能唯一的确定一个系不能唯一的确定一个系统的的输入入输出关系，并且只有当起出关系，并且只有当起始条件始条件选择合适合适时，才相当于一个，才相当于一个线性性时不不变系系统。

在在以以下下的的讨讨论论中中，，除除非非特特别别声声明明，，我我们们都都假假设设常常系系数数线线性性差差分分方方程程所所表表示示的的系系统统都都是是指指线线性性时时不不变变系系统统，，并并且且多多数数是指因果系统是指因果系统Z Z-1-1a ax(n)x(n)y(n)y(n)采用差分方程描述系统简便，容易得到系统的运算结构采用差分方程描述系统简便，容易得到系统的运算结构差分方程差分方程        系统结构系统结构 该式说明，系统在该式说明，系统在某时刻某时刻n的输出值的输出值y(n)不仅与不仅与该该时刻时刻的输入的输入x(n) 有关，还与有关，还与该时刻以前该时刻以前的输出值的输出值y(n-1)，，y(n-2)等有关 §1.4 §1.4 连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样前置预前置预滤波器滤波器A/D变换器变换器数字信号数字信号处理器处理器D/A变换器变换器模拟模拟滤波器滤波器模拟模拟xa(t)PrFADCDSPDACPoF模拟模拟ya(t)采采样采采样恢复恢复一、采一、采样的基本概念的基本概念          采采样的原理框的原理框图采样器采样器连续信号连续信号采样脉冲采样脉冲采样信号采样信号所所谓“采采样”，，就就是是利利用用采采样脉脉冲冲序序列列从从连续时间信信号号中中抽抽取取一一系系列列的的离离散散样值，，由由此此得得到到的的离离散散时间信信号号通通常称常称为采采样信号，以信号，以 表示。

表示 两种采样方式两种采样方式（（a）实际采样）实际采样 （（b）理想采样）理想采样  Ø采采样前后信号前后信号频谱的的变化？化？研究研究讨论：：Ø什什么么条条件件下下，，可可以以从从采采样信信号号 不不失失真真地地恢恢复复出原信号？出原信号？二、理想采二、理想采样 1.时域分析域分析 数学模型数学模型 采采样脉冲：脉冲： 理想采理想采样输出出:2.频域分析域分析 映射 时域相乘域相乘 频域卷域卷积 （模（模拟系系统））￿￿￿￿￿￿￿￿ 2.频域分析域分析（（1)冲激函数序列冲激函数序列δT(t)的的频谱 可求解出可求解出: : 因为因为   （（2）理想采）理想采样信号信号￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿的的频谱   （（2）理想采）理想采样信号信号￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿的的频谱上式表明：上式表明： （（1））频谱产生周期延拓生周期延拓。

即采即采样信号的信号的频谱是是频率的周率的周期函数，其周期期函数，其周期为Ωs￿￿￿￿￿￿（（2））频谱的幅度是的幅度是Xa(jΩ)的的1/T倍三、三、时域采域采样定理定理 如果信号如果信号xa(t)是是带限信号，且最高限信号，且最高频率不超率不超过Ωs/2，即，即 那么采那么采样频谱中，中，基基带频谱以及以及各次各次谐波波频谱彼此是不彼此是不重叠的用一个重叠的用一个带宽为Ωs/2的理想低通的理想低通滤波器，可以不波器，可以不失真的失真的还原出原来的原出原来的连续信号 ￿￿￿￿￿￿￿￿频谱混叠混叠现象：象： 如果信号最高如果信号最高频率超率超过Ωs/2，那么在采，那么在采样频谱中，各中，各次次调制制频谱就会相互交叠起来就会相互交叠起来折叠折叠频率：率：Ωs/2 或或 fs/2采采样信号的信号的频谱图奈奎斯特采奈奎斯特采样定理定理：： 若原始信号是若原始信号是带限信号，限信号，为使采使采样后能不失真的后能不失真的还原出原出原信号，抽原信号，抽样频率必率必须大于两倍信号最高大于两倍信号最高频率，即率，即 为避避免免混混叠叠，，一一般般在在抽抽样器器前前加加入入一一个个保保护性性的的前前置置低通低通滤波器，将高于折叠波器，将高于折叠频率的分量率的分量滤除掉。

除掉 工程上一般取工程上一般取四、采四、采样的恢复（内插）的恢复（内插） 1.频域分析域分析2.时域分析域分析 把把输出看成是出看成是 与理想低通与理想低通单位冲激响位冲激响应h(t)的卷的卷积 理想低通理想低通H(jΩ)的冲激响的冲激响应为：： 根据卷根据卷积公式，低通公式，低通滤波器的波器的输出出为：：采样内插公式采样内插公式 内插函数内插函数权内插公式内内插插函函数数有有一一个个重重要要特特点点：：在在抽抽样样点点nT上上函函数数值值为为1，，在其余抽样点上函数值都为在其余抽样点上函数值都为0 内插内插结果使得被恢复的信号在果使得被恢复的信号在采采样点的点的值就等于就等于xa(nT)，，采采样点之点之间的信号的信号则是由是由各采各采样值内插函数的波形延伸内插函数的波形延伸叠加叠加而成的  采采样内插公式内插公式说明，只要采明，只要采样频率高于两倍信号最率高于两倍信号最高高频率，率，则整个整个连续信号就可以完全用它的采信号就可以完全用它的采样值来代来代表，而不会表，而不会丢掉任何信息。

掉任何信息这就是就是奈奎斯特定理的意奈奎斯特定理的意义奈奎斯特定理的意义奈奎斯特定理的意义五、五、实际抽抽样抽样脉冲抽样脉冲不是冲激函数，而是一定宽度的矩形周期脉冲不是冲激函数，而是一定宽度的矩形周期脉冲其中系数其中系数Ck随随k变化变化抽样信号频谱抽样信号频谱Ø抽抽样信号的信号的频谱是是连续信号信号频谱的周期延拓，周期的周期延拓，周期为ΩsØ若若满足奈奎斯特抽足奈奎斯特抽样定理，定理，则不不产生生频谱混叠失真混叠失真Ø抽抽样后后频谱幅度随着幅度随着频率的增加而下降率的增加而下降Ø幅度幅度变化并不影响信号化并不影响信号恢复恢复                        例例：模：模拟信号信号 ，其中，其中￿￿￿￿￿￿￿￿1）求）求xa(t)的周期，采的周期，采样频率率应为多少？采多少？采样间隔隔应为多少？多少？ 2）若）若选采采样频率率fs=200Hz，采，采样间隔隔为多少？写出采多少？写出采样信号信号 的表达式的表达式 3）画出）画出对应 的的时域离散信号域离散信号x(n)的波形，并求出的波形，并求出x(n)的周期。

的周期        解：解：1））由由 ，可得，可得 2）） ，由，由 ，可得，可得                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       3）） 的周期的周期为N=4。