第三节定积分的换元法和分部积分法介绍教学案例.pptx

定积分的换元法 上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简化，下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式先来看一个例子例1换元求不定积分 令则故为去掉根号令则 当 x 从0连续地增加到4时，t 相应地从1连续地增加到3于是尝试一下直接换元求定积分一、换元公式证应用换元公式时应注意:（1）（2）计算解1 由定积分的几何意义等于圆周的第一象限部分的面积解2 故o例2令解4令仍可得到上述结果解3解 令 例3 计算定积分的换元积分公式也可以反过来使用为方便计将换元公式的左、右两边对调同时把 x 换成 t ， t 换成 x这说明可用 引入新变量但须注意如明确引入新变量，则必须换限如没有明确引入新变量，而只是把整体视为新变量，则不必换限注例4 计算解例5 计算解原式例6 计算解一 令原式解二接解一对令则证即： 奇函数在对称区间上的积分等于0 偶函数在对称区间上的积分等于对称的 部分区间上积分的两倍 由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的例8 计算解原式偶函数奇函数四分之一单位圆的面积（1）设（2）设证另证 将上式改写为奇函数例10 设 f(x) 是以L为周期的连续函数，证明证明与 a 的值无关例11 设 f(x) 连续，常数 a 0 证明证明比较等式两边的被积函数知，例12 设 f ( x ) 连续解定积分的换元法几个特殊积分、定积分的几个等式 二、小结思考题解 令 思考题解答计算中第二步是错误的.正确解法是定积分的分部积分公式推导定积分的分部积分法一、分部积分公式解 令则 例1 计算例2 计算 解例3 计算解例4 设 求解为正偶数为大于1的正奇数证设 例5 证明定积分公式积分 关于下标的递推公式直到下标减到0或1为止于是设 f ( x ) 连续 证明证一记 则而故例6证二 注意到 是 f ( t ) 的一个原函数故定积分的分部积分公式（注意与不定积分分部积分法的区别）思考题应用公式的关键是选择 u , v ，次序仍然是： 反、对、幂、指、三 二、小结 思考题解答。