多元函数的极值及其求法76122.ppt

6.7 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法6.7.1 多元函数的极值多元函数的极值6.7.2 条件极值条件极值,Lagrange乘数法乘数法6.7 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法6.7.1 多元函数的极值多元函数的极值1 多元函数极值的定义多元函数极值的定义 （以二元函数为例）（以二元函数为例） 同理可定义同理可定义n元函数元函数u=f(x1，， x2，，… ，，xn)的极值(1)(2)(3)例例1 1例２例２例３例３2 2 多元函数取得极值的必要条件多元函数取得极值的必要条件证明证明 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点.　　　　注注 (1) (1) 函数的驻点不一定是极值点，例如，点函数的驻点不一定是极值点，例如，点(0，，0)是函数是函数z=xy的驻点，但函数在该点并无极值的驻点，但函数在该点并无极值 (2) (2) 函数的极值点不一定是驻点，偏导数不函数的极值点不一定是驻点，偏导数不存在的点仍可能为极值点存在的点仍可能为极值点。

3) (3) 可能极值点可能极值点 ( (i)i)驻点ii)ii)偏导数偏导数 不不存在的点存在的点4) 几何意义：若几何意义：若fx(x0 ,y0)= fy (x0 ,y0) =0, 且且(x0 ,y0)为极值点为极值点则曲面则曲面z=f(x,y)在在(x0 ,y0)处的切平面方程为：处的切平面方程为：z=z0即：极值点处的切平面平行于即：极值点处的切平面平行于xoy面问题问题：如何判定一个驻点是否为极值点？：如何判定一个驻点是否为极值点？3 极值的充分条件极值的充分条件 定定理理6.7.2 (充充分分条条件件)设设函函数数z=f (x，，y)在在点点(x0，，y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数， ( (3) ) AC－－B2 = 0时时可可能能有有极极值值，，也也可可能能没没有有极极值值，，还需要另作讨论还需要另作讨论 　　(1) AC－－B2 > 0时时具具有有极极值值，，且且当当A<0时时有有极极大大值值，，当当A > 0时有极小值；时有极小值；(2) AC－－B2 < 0时没有极大值时没有极大值又又fx(x0，，y0)=0，，fy(x0，，y0)=0，，令令 fxx(x0，，y0)=A，，fxy(x0，，y0)=B，， fyy(x0，，y0)=C，，则则f (x，，y)在在(x0，，y0)处处, ,则则4 求极值的步骤求极值的步骤 设设f (x，，y)的二阶偏导数连续。

的二阶偏导数连续 （（1）求驻点，即解方程组）求驻点，即解方程组fx(x，，y)=0，， fy(x，，y)=0；；（（3））依依 定理判断如偏导不存在，则通常用定义定理判断如偏导不存在，则通常用定义 判别 （（2））在每个驻点处求在每个驻点处求A，，B，，C；；例例1 求函数求函数f (x，，y)= x3－－y3+3x2+3y2－－9x的极值的极值 解解 先解方程组先解方程组求得驻点为求得驻点为( (1，，0),(),(1，，2),(),(－－3，，0),(),(－－3, ,2).). 再求出二阶偏导数再求出二阶偏导数 在点（在点（1，，0）处，）处，AC－－B2 = 12·6 > 0，，又又 A>0fxx(x，，y) = 6x+6，，fxy(x，，y)=0，，fyy(x，，y)=－－6y+6 所以函数在（所以函数在（1，，0）处有极小值）处有极小值f（（1，，0））=－－5；； 在点（－在点（－3，，0）处，）处，AC－－B2 =－－12·6<0，，在点在点( (－－3, ,2) )处处, ,AC－－B2 =－－12·(－－6)>0, ,又又 A < 0，，f（－（－3，，2））=31。

在点（在点（1，，2）处，）处，AC－－B2 = 12·(－－6)<0，，所以所以f（（1，，2））不是极值；不是极值； 所以所以f（－（－3，，0 ））不是极值；不是极值； 所以函数在（－所以函数在（－3，，2）处有极大值）处有极大值5 多元函数的最值多元函数的最值 依据依据: (1): (1)如果如果f (x，，y)在有界闭区域在有界闭区域D上连续，则上连续，则f (x，，y)在在D上必定能取得最大值和最小值上必定能取得最大值和最小值 一般方法一般方法: : 求求f (x，，y)在在D内的驻点，将内的驻点，将f (x，，y)在在所有驻点处的函数值及在所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小的边界上的最大值和最小值相比较，其中最大的就是值相比较，其中最大的就是f (x，，y)在在D上的最大值，上的最大值，最小的就是最小值最小的就是最小值 (2) (2)若函数在若函数在D上连续、在上连续、在D内可微分且只有有限内可微分且只有有限个驻点，这时如果函数在个驻点，这时如果函数在D的内部取得最大值（最的内部取得最大值（最小值），那末这个最大值（最小值）也是函数的极小值），那末这个最大值（最小值）也是函数的极大值（极小值）。

大值（极小值） 特特殊殊的的方方法法：： 在在通通常常遇遇到到的的实实际际问问题题中中，，如如果果根根据据问问题题的的性性质质，，知知道道函函数数f (x，，y)的的最最大大值值（（最最小小值值））一一定定在在D的的内内部部取取得得，，而而函函数数在在D内内只只有有唯唯一一驻驻点点，，那那末末可可以以肯肯定定该该驻驻点点处处的的函函数数值值就就是是函函数数f (x，，y)在在D上的最大值（最小值）上的最大值（最小值） 其中其中f(x，，y)在在D的边界上的最值通常可化为一元的边界上的最值通常可化为一元函数的最值问题（或化为条件极值问题）有时计算函数的最值问题（或化为条件极值问题）有时计算往往较复杂往往较复杂 解解 例例3 某厂要用铁板做成一个体积为某厂要用铁板做成一个体积为2m3的有盖长的有盖长方体水箱问长、宽、高各取怎么样的尺寸时，才方体水箱问长、宽、高各取怎么样的尺寸时，才能使用料最省能使用料最省 解解 设水箱的长为设水箱的长为xm，，宽为宽为ym，，则其高应为则其高应为 即即 可见材料面积可见材料面积A是是x和和y的二元函数，这就是目标函的二元函数，这就是目标函数，下面求使函数取得最小值的点数，下面求使函数取得最小值的点(x，，y)。

令令解这个方程组，得解这个方程组，得 此水箱所用材料的面积此水箱所用材料的面积 根据题意可知，水箱所用材料的最小值一定存根据题意可知，水箱所用材料的最小值一定存在，并在开区域在，并在开区域D：：x>0，，y>0内取得 又函数在又函数在D内只有唯一的驻点内只有唯一的驻点因此可断定当因此可断定当A取得最小值取得最小值水箱所用的材料最省水箱所用的材料最省当水箱的长为当水箱的长为宽为宽为高为高为 实实际际问问题题中中，，有有时时会会遇遇到到对对函函数数的的自自变变量量另另有有附件条件的极值问题，这类极值称为条件极值附件条件的极值问题，这类极值称为条件极值 1．引入．引入 上上面面讨讨论论的的极极值值问问题题，，对对于于函函数数的的自自变变量量，，除除了了要要限限制制在在函函数数的的定定义义域域内内以以外外并并无无其其他他条条件件，，所以也称为无条件极值所以也称为无条件极值例如例如 求表面积为求表面积为a2的体积最大的长方体的体积最大的长方体目标函数：目标函数：v=xyz；；附加条件：附加条件：2(xy+yz+zx)=a26.7.2 条件极值条件极值,Lagrange乘数法乘数法再代入目标函数得再代入目标函数得 则化成求上函数的无条件极值问题，进而可求解。

则化成求上函数的无条件极值问题，进而可求解 问题（问题（1）并不总是可化成无条件极值）并不总是可化成无条件极值（（2）即使化了，但这个无条件极值问题的）即使化了，但这个无条件极值问题的 求解可能困难求解可能困难 希望：能否找到一种直接求解条件极值，而不必希望：能否找到一种直接求解条件极值，而不必化为无条件极值问题的方法事实上拉格朗日乘数化为无条件极值问题的方法事实上拉格朗日乘数法就是解决这一问题的有效方法法就是解决这一问题的有效方法 由附加条件可解得由附加条件可解得 在条件在条件2 探求方法探求方法下取得极值的必要条件下取得极值的必要条件 我我们们假假定定在在(x0，，y0)的的某某一一邻邻域域内内f (x，，y)与与  (x,y) 均均有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数，，而而  y(x0 ,y0 )   0 由由隐隐函函数数存存在在定定理理可可知知，，方方程程（（2））确确定定一一个个单单值值可可导导且且具具有有连连续续导导数数的的函函数数 y= (x),将将其其代代入入（（1））式式，，结结果果得得到到一个自变量一个自变量x的函数的函数z=f[x, (x)]. (4)如果函数（如果函数（1）在）在(x0，，y0)取得所求的极值，取得所求的极值，寻求函数寻求函数 z=f (x，，y) (1)那末首先有那末首先有 于于是是函函数数（（1））在在(x0，，y0)取取得得所所求求的的极极值值，，也也就就是是相相当当于于函函数数（（4））在在x= x0取取得得极极值值。

由由一一元元函函数取得极值的必要条件知道数取得极值的必要条件知道而由（而由（2）用隐函数求导公式，有）用隐函数求导公式，有把上式代入（把上式代入（5）得）得 （（3）、（）、（6）两式就是函数（）两式就是函数（1）在条件（）在条件（2））下在下在(x0，，y0)取得极值的必要条件取得极值的必要条件 容易看出，（容易看出，（7）中的前两式的左端正是函数）中的前两式的左端正是函数的两个一阶偏导数在的两个一阶偏导数在(x0，，y0)的值，其中的值，其中λλ是一个是一个待定常数待定常数 由以上讨论，我们可得以下结论由以上讨论，我们可得以下结论:拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法:要找函数要找函数z=f (x，，y) (1)在附加条件在附加条件 (x,y)=0 (2) 下的可能极值点，下的可能极值点，　求其对　求其对x与与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与方的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程（程（2）联立起来：）联立起来：　由这方程组解出　由这方程组解出x，，y及及λ，，则其中则其中x，，y就是函数就是函数f (x，，y)在附加条件在附加条件 ( (x,y)=0)=0下的可能极值点的坐标。

下的可能极值点的坐标 其中其中λ为某一常数为某一常数可以先构成辅助函数可以先构成辅助函数 (1) 这方法还可以推广到自变量多于两个情况这方法还可以推广到自变量多于两个情况例如，要求函数例如，要求函数 u=f (x，，y，，z，，)在附加条件在附加条件3．推广．推广可以先构造辅助函数可以先构造辅助函数 　　(2)这这方方法法还还可可以以推推广广到到自自变变量量多多于于两两个个而而条条件件多多于于一一个个的的情情况况例例如如，，要要求求函函数数 u=f (x，，y，，z，，t)在在附加条件附加条件可以先构造辅助函数可以先构造辅助函数　　其中　　其中λ1，，λ2均为常数，求其一阶偏导数，并使之均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与（为零，然后与（9）中的两个方程联立起来求解，这）中的两个方程联立起来求解，这样得出的样得出的x、、y、、z、、t就是函数就是函数f(x，，y，，z，，t)在附加条在附加条件件(9)下的可能极值点下的可能极值点例例1 求表面积为求表面积为a2而体积为最大的长方形的体积而体积为最大的长方形的体积 解解：：设设长长方方形形的的三三棱棱长长为为x，，y，，z，，则则问问题题就就是是在在条件条件V = xyz (x>0，，y>0，，z>0)的最大值。

的最大值 构成辅助函数构成辅助函数求其对求其对x，，y，，z的偏导数，并使之为零，得到的偏导数，并使之为零，得到 F(x，，y，，z)= xyz+λλ(2xy+2yz+2xz－－a2)，， 再与（再与（10）联立求解联立求解因因x，，y，，z都不为零，所以由（都不为零，所以由（11）可得）可得由以上两式解得由以上两式解得 x = y = z将此代入（将此代入（10）式，便得）式，便得　这是唯一可能的极值点因为由问题本身可知最大　这是唯一可能的极值点因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得最大体积为最大体积为解解 设设M(x，，y，，z)是是所所求求长长方方体体在在第第一一卦卦限限的的顶顶 点的坐标，点的坐标，构造辅助函数构造辅助函数则问题化为求函数则问题化为求函数V = 8xyz 在条件在条件 ：：例例2求求其其对对x，，y，，z的的一一阶阶偏偏导导数数并并使使之之为为零零，，再再与与条条件件方方程程联立，有联立，有由其中的前由其中的前3个方程可推出个方程可推出（因为（因为λλ≠≠0，，否则否则xyz=0与题意不合），得与题意不合），得 而依题意知体积最大的内接长方形存在。

而依题意知体积最大的内接长方形存在故内接长方形最大体积为故内接长方形最大体积为是唯一的可能极值点，是唯一的可能极值点，例例3 求求z= x3+y3在在D：：x2+y2≤≤1上的最大值和最小值上的最大值和最小值 解解 函数函数z= x3+y3在有界闭区域在有界闭区域 x2+y2≤≤1上一定上一定可取得最大值和最小值可取得最大值和最小值 先求驻点先求驻点唯一驻点为唯一驻点为(0，，0)该点的函数值为该点的函数值为z(0，，0)=0 在在D的边界上求的边界上求z=x3+y3的极值的极值.这里用拉格朗日乘这里用拉格朗日乘数求解数求解 引入辅助函数引入辅助函数 得得 或或 计算这些点的函数值计算这些点的函数值: Z(1，，0)=Z(0，，1)=1，，Z(－－1，，0)=Z(0，－，－1)=－－1所以所以 最大值为最大值为1，最小值为－，最小值为－1小结小结 本本节节主主要要讨讨论论了了多多元元函函数数的的极极值值与与条条件件极极值值的的概念概念. 本本节节要要求求会会求求二二元元函函数数的的极极值值,会会用用Lagrange乘乘数数法法求求条条件件极极值值,会会求求多多元元函函数数的的最最值值,会会求求一一些些最值应用题．最值应用题．习题习题 6—6—7。