高考数学(理数)一轮复习学案13．2《不等式选讲》(含详解).doc

13．2　不等式选讲1．基本不等式及其推广(1)a2＋b2≥__________(a，b∈R)，当且仅当__________时，等号成立．(2)≥__________(a，b>0)，当且仅当__________时，等号成立．(3)≥__________(a，b，c>0)，当且仅当________时，等号成立．(4)≥______________(ai>0，i＝1，2，…，n)，当且仅当__________________时，等号成立．2．绝对值不等式(1)定理1：如果a，b是实数，那么≤__________，当且仅当__________时，等号成立．(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么≤__________，当且仅当____________时，等号成立．(3)a⇔______________．3．证明不等式的方法(1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小；(2)综合法；(3)分析法；(4)反证法；(5)放缩法：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法；(6)数学归纳法．自查自纠：1．(1)2ab　a＝b　(2)　a＝b　(3)　 a＝b＝c(4)　a1＝a2＝…＝an2．(1)＋　ab≥0(2)＋　(a－b)(b－c)≥0(3)－aa3．(1)作差　作商　(5)放大　缩小 ()设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)． ()设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．解：(1)f(x)＝y＝f(x)的图象如图所示．(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值为5.类型一　绝对值不等式　()已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|，当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解；当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞)．点　拨：解决绝对值不等式的基本方法有：公式法、零点分段法、平方法、几何法、构造法等，本例(1)利用等价不等式|h(x)|≤a(a＞0)⇔－a≤h(x)≤a，进而通过解不等式可求得；根据条件可首先将题(2)转化为求解f(x)＋g(x)的最小值，再根据恒成立的意义建立简单的关于a的不等式；另外，对于含参问题，要注意分离参数及适时分类讨论．　()已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①当x＜－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，得－1≤x≤1；当x＞1时，①式化为x2＋x－4≤0，得1＜x≤.所以f(x)≥g(x)的解集为.(2)当x∈[－1，1]时，g(x)＝2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]等价于当x∈[－1，1]时f(x)≥2.又f(x)在[－1，1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2得－1≤a≤1.所以a的取值范围为[－1，1]．　设函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋1|(a>0)，g(x)＝x＋2.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≤g(x)的解集；(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1时，原不等式等价于|2x－1|＋|2x＋1|≤x＋2.等价于或或解得x∈∅或0≤x<或≤x≤，所以不等式的解集为.(2)方法一：|2x－a|＋|2x＋1|≥x＋2等价于|2x－a|＋|2x＋1|－x－2≥0，令h(x)＝|2x－a|＋|2x＋1|－x－2，因为a＞0，所以h(x)＝易得h(x)min＝h＝－1，令－1≥0，得a≥2.故a的取值范围是[2，＋∞)．方法二：f(x)≥g(x)恒成立即|2x－a|≥x＋2－|2x＋1|恒成立．令h(x)＝x＋2－|2x＋1|＝作出y＝h(x)的图象如图所示．要使|2x－a|≥h(x)恒成立，则函数y＝|2x－a|的图象应恒在函数y＝h(x)的图象的上方，由a＞0及数形结合可得≥1，则a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞)．点　拨：绝对值不等式中含参数时，通常要进行分类，注意分类要做到不重不漏；对于含参数的绝对值不等式在某区间内的恒成立问题，一般采用分离参数法或数形结合法求范围．　　　()已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|(a>1)．(1)若不等式f(x)≥2的解集为{x|x≤或x≥}，求a的值；(2)对任意x∈R，f(x)＋|x－1|≥1恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)f(x)＝|x－1|＋|x－a|＝当x≥a时，由2x－a－1≥2得x≥；当x<1时，由－2x＋a＋1≥2得x≤＝，解得a＝2.经检验，a＝2满足题意．(2)方法一：由对任意x∈R，f(x)＋|x－1|≥1恒成立，可得2|x－1|＋|x－a|≥1恒成立．令g(x)＝2|x－1|＋|x－a|，因为a＞1，所以g(x)＝易知g(x)min＝g(1)＝a－1，只需a－1≥1，即a≥2.综上，实数a的取值范围为[2，＋∞)．方法二：f(x)＋|x－1|≥1恒成立，即|x－a|≥1－2|x－1|恒成立．令g(x)＝1－2|x－1|＝作出y＝g(x)的图象如图所示，要使|x－a|≥g(x)恒成立，则需函数y＝|x－a|的图象恒在y＝g(x)图象的上方，由a＞1及数形结合可得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞)．　()已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．解：(1)f(x)＝当x＜－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，由f(x)≥1得，2x－1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，由f(x)≥1解得x＞2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．(2)由f(x)≥x2－x＋m得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－＋≤，且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.故m的取值范围为.点　拨：分离参数后，不等式化为了m≤g(x)解集非空，再利用存在成立问题的等价转化，转化为m≤g(x)max.　　　()已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|；(1)求不等式f(x)≤6的解集；(2)若对任意x∈，不等式f(x)≥|2x＋a|－4恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)当x≤－时，－2x－1－2x＋3≤6⇒x≥－1，所以－1≤x≤－.当－0，b>0，求证：＋≥a＋b.证法一：左边－右边＝－(＋)＝＝＝≥0，所以原不等式成立．证法二：因为不等式左边>0，右边>0，所以＝＝≥＝1.所以原不等式成立．点　拨：用比较法证明不等式，一般有作差(或商)、变形、判断三个步骤，利用作商法时要注意前提条件．变形的主要手段是通分、因式分解或配方．在变形过程中，也可以利用基本不等式放缩，如证法二．(2)()已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．证法一：因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)，①＋＋≥3(abc)－，所以≥9(abc)－.②故a2＋b2＋c2＋≥3(abc)＋9(abc)－.又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6，③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)＝9(a。