贵州省人教版高三数学一轮复习教案：利用空间向量求空间角.doc

利用空间向量求空间角备课人：龙朝芬 授课人：龙朝芬授课时间：2016 年 11 月 28 日一、高考考纲要求：能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用．二、命题趋势：在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、 面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多.三、教学目标知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向 量法在研究立体几何问题中的应用； 过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空 间想象能力和几何直观能力； 情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角 坐标系，方向向量，法向量的魅力.四、教学重难点重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角； 难点：将立体几何问题转化为向量问题.五、教学过程（一）空间角公式1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线 ，的方向向量分别为,,异面直线 ，lmabl所成的角为，则.mcoscos, a ba ba bmbal2、线面角公式：设直线 为平面的斜线，为 的方向向量，为平面的法向量，laln为 与所成的角，则.lsincos, a n a n a n  O O O3、面面角公式：设，分别为平面、的法向量，二面角为，则或1n2n12,n n （需要根据具体情况判断相等或互补） ，其中.12,n n 12 12 12cos,n nn nn n （二）典例分析如图，已知：在直角梯形中，，，面，且OABC//OA BC90AOCSO OABC.求：1,2OSOCBCOA（1）异面直线和所成的角的余弦值；SAOB （2）与面所成角的正弦值；OSSAB （3）二面角的余弦值.BASOOABCSna解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，(0,0,0)O(2,0,0)A(1,1,0)B(0,1,0)C，于是我们有，，，，(0,0,1)S(2,0, 1)SA  ( 1,1,0)AB    (1,1,0)OB   (0,0,1)OS  （1），210cos,552SA OBSA OB SA OB       所以异面直线和所成的角的余弦值为.SAOB10 5（2）设平面的法向量，SAB( , , )nx y z则，即0,0,n ABn SA   0,20.xyxz  取，则，，所以，1x 1y 2z (1,1,2)n .26sincos,316OS nOS n OS n       （3）由（2）知平面的法向量，SAB1(1,1,2)n 又平面，是平面的法向量，OC AOSOC AOS令，则有.2(0,1,0)nOC  12 121216cos,66 1n nn n n n       ∴二面角的余弦值为.BASO6 6（三）巩固练习1、在长方体中，，，点、分别，1111ABCDABC D2AB 11BCAAEF11AC的中点，求：1AD（1）异面直线和所成的角的余弦值；（2）与平面所成角的正弦值；EFCD11DC11ABC（3）平面与平面所成的锐二面角的余弦值.11ABCABCD解析：以为原点，分别以射线，，，为轴、轴、轴的非负半轴建立DDADC1DDxyz空间直角坐标系，由于，，所以，，Dxyz2AB 11BCAA(0,0,0)D(0,2,0)C，，，，，，则1( ,1,1)2E11( ,0, )22F1(1,0,1)A(1,2,0)B1(0,2,1)C1(0,0,1)D，，，，.1(0, 1,)2EF    (0,2,0)DC 11( 1,2,0)AC  1( 1,0,1)BC   11(0,2,0)DC （1），2 5cos,5EF DCEF DC EF DC        ∴异面直线和所成的角余弦值为；EFCD2 5 5（2）设平面的法向量，则有11ABC( , , )nx y z则，即1110,0,n ACn BC   20,0.xyxz   令，则，，所以，2x 1y 2z (2,1,2)n 又设与平面所成的角为，11DC11ABC则.11 111121sincos,2 33DC nDC n DC n    （3）由（2）知平面的法向量，11ABC1(2,1,2)n 又平面，是平面的法向量，1DD ABCD1DD  ABCD令，则.21(0,0,1)nDD   12 121222cos,3 13n nn n n n       故所成的锐二面角的余弦值为.2 3 2、如图所示，四棱锥，为边长为的正三角形，PABCDABC2，，垂直于平面于，为的中点，，求：3CD 1AD POABCDOOAC1PO （1）异面直线与所成角的余弦值；ABPC（2）平面与平面所成二面角的余弦值.PABPCD解：（Ⅰ）如图，以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A−xyz，因为 AD=1，CD=，AC=2，3所以 AD⊥CD，∠DAC=，π 3∴ADBC．∥，，，，(0 0 0)A ，，( 31 0)B，，( 3 1 0)C，，(0 1 0)D ，，，， 则，， 31022O ，，31122P ，，( 31 0)AB  ，，31122CP  ，，∴，12cos4||||22AB CPAB CPABCP       A  ，∴异面直线 AB 与 PC 所成角的余弦值为．2 4（Ⅱ）设平面 PAB 法向量为=(x1，y1，z1)，1n可得1111131022 30xyzxy ，，令，则，11x 1(133)n ，，又，311( 3 0 0)22DPDC ，，，，，设平面 PCD 法向量为，2222()nxyz，，可得222231022 30xyzx ，，令，则=，则21y 2n10 12，，．12 12 12105cos==| |||35n nnnn n A ，∴平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值为． 105 35（四）课堂小结1．用向量来求空间角，都需将各类角转化成对应向量的夹角来计算，问题的关键在于确定对应线段的向量．2．合理建立空间直角坐标系(1)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点．(2)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系．[易错防范] 1．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定 义、范围不同． 2．求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角． （五）课后作业 三维设计——课时跟踪检测（四十八）。