湖南师范大学高等数学24隐函数和由.ppt

§2.4隐函数和由参数方程所确定的隐函数和由参数方程所确定的函数的导数函数的导数 相关变化率相关变化率 2.4.1隐函数的导数隐函数的导数 2.4.2由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数 2.4. 3 相关变化率相关变化率 基本内容基本内容基本要求基本要求1.1.会求隐函数的导数会求隐函数的导数 2.2.掌握对数求导法掌握对数求导法 3.3.会求参数方程所确定的函数的导数会求参数方程所确定的函数的导数 4.了解相关变化率的概念，会求相关变化率了解相关变化率的概念，会求相关变化率2.4.1隐函数的导数隐函数的导数用用复合函数求导法则复合函数求导法则直接对方程两边求导直接对方程两边求导.隐函数求导法则：隐函数求导法则：求求的的步骤步骤为为: 利用复合函数求导法则，在等式两边同时对利用复合函数求导法则，在等式两边同时对 求求导导 ，，然后从中解出然后从中解出把等式把等式的函数，的函数，中的中的看成看成设方程设方程确定了隐函数确定了隐函数例例1求由方程求由方程所确定的隐函数所确定的隐函数解得解得在在处的导数处的导数解解 方程两边对方程两边对求导求导, ,得得，所以，所以因为当因为当时，由原方程得时，由原方程得例例2 求由方程求由方程的二阶导数的二阶导数 所确定的隐藏函数所确定的隐藏函数解解 应用隐函数的求导方法，得应用隐函数的求导方法，得于是于是 上式两边再对上式两边再对求导，得求导，得处的切线方程处的切线方程.例例3 求曲线求曲线在点在点解解 方程两边分别对方程两边分别对x求导，得求导，得解得解得于是所求切线方程为于是所求切线方程为即即对数求导法对数求导法先将方程先将方程两边取对数，然后再两边取对数，然后再利用利用例例4 求求 的导数。

的导数解解 方程两边取对数，得方程两边取对数，得于是于是的导数隐函数的求导方法隐函数的求导方法求出求出上式两边对上式两边对求导，得求导，得另解另解对一般形式的幂指函数对一般形式的幂指函数 可利用对数求导法求导数：可利用对数求导法求导数： 两边求导两边求导法法1：取对数：取对数解得解得按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:直接求导得直接求导得 将幂指函数表示为将幂指函数表示为 法法2：：对数求导法对数求导法同时适用于同时适用于积与商积与商的函数求导数：的函数求导数：例例5 求求的导数解解 两边取对数，得两边取对数，得于是于是两边对两边对求导，得求导，得2.4.2由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数若参数方程若参数方程为由参数方程所确定的函数为由参数方程所确定的函数确定确定的函数，则称此函数关系所表达的函数的函数，则称此函数关系所表达的函数为为如果函数如果函数具有单调连续反函数具有单调连续反函数且此反函数能与函数且此反函数能与函数构成复合函数构成复合函数下面求下面求即即或或上式也可写成上式也可写成 假设函数假设函数都可导，且都可导，且由复合函数的求导法则与反函数的导数公式，得由复合函数的求导法则与反函数的导数公式，得则则或由新的参数方程组或由新的参数方程组及上述及上述求导求导公式，得公式，得.例例7 设设求求解解例例8 已知椭圆的参数方程为已知椭圆的参数方程为求椭圆在相应的点求椭圆在相应的点处的切线方程处的切线方程.解解 当当的坐标是：的坐标是：时时,椭圆上的相应点椭圆上的相应点或或曲线在曲线在的切线斜率为：的切线斜率为：即得椭圆在即得椭圆在点的切线方程点的切线方程处的切线方程。

处的切线方程 解解 曲线的参数方程为曲线的参数方程为例例9 求心形线求心形线在在对应点对应点提示：提示：先将曲线的极坐标方程写成参数方程形式，先将曲线的极坐标方程写成参数方程形式，再按例再按例8的方法求之的方法求之得所求切线的斜率为得所求切线的斜率为于是所求切线方程为于是所求切线方程为即即由由2.4. 3 相关变化率相关变化率 两个相互依赖的变化率两个相互依赖的变化率 与与 称为称为相关变化率相关变化率 设设而变量而变量都是可导函数，都是可导函数，及及与与间存在某种关系，间存在某种关系，时时, 其水面上升速率是多少？其水面上升速率是多少？解解 如图所示如图所示,设在时刻设在时刻t t容器中水深为容器中水深为 ，水，水 或或从而得从而得 例例9 设正圆锥形容器高设正圆锥形容器高,顶面直径亦为顶面直径亦为现以每分钟现以每分钟4的速率将水注入的速率将水注入,问当水深为问当水深为0h8，则，则面半经为面半经为,锥内水的体积为锥内水的体积为已知已知 代入上式得代入上式得 两边对两边对 求导，得求导，得故当水深为故当水深为时时, 其水面上升速率是其水面上升速率是作业作业 p85一、隐函数一、隐函数1.(1)(4); 2.(3)(4); 3.二、对数法二、对数法 4.(1)(2)(4); 三、参数方程式三、参数方程式5.(3)(4); 6.(3)(4); 四、相关变化率四、相关变化率7.。