特征向量和特征值的实际应用-线性代数课程论文#.docx

成绩　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 线性代数课程论文 题 目：特征向量和特征值的实际应用特征向量和特征值的实际应用[摘要]特征值和特征向量在现代科学中有这十分重要的应用本文基于笔者性代数课程的学习中的理解和收获以及课外资料中习得的知识，简要介绍特征向量和特征值的意义以及其在生活中的实际应用，主要介绍了PCA技术在图像压缩和声音、信号降噪领域的应用[关键词] 特征值 特征向量 实际应用目录1、 特征值与特征向量……………………………………31.1特征值和特征向量是什么…………………………31.2特征值和特征向量的几何意义……………………32、特征向量的实际应用……………………………………52.1、PCA方法图像压缩中的应用…………………52.2、信号降噪和声音降噪上的应用………………6结语…………………………………………………………71、特征性和特征向量1.1特征值和特征向量是什么 特征值、特征向量，顾名思义，从本质上说，特征值与特征向量反映了矩阵的特征 其定义如下：“ 设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。

那他们有什么具体的含义呢？ 假设矩阵为A ，特征向量为X，特征值为λ,则根据上文中的表述，有如下理解，对于特征向量X，在经过变换到新的坐标系之后，其坐标向量的方向没有改变，但是其坐标向量与之前存在一个λ倍的关系1.2特征值和特征向量的几何意义 从定义来理解特征向量的话，就是经过一个矩阵变换后，空间沿着特征向量的方向上相当于只发生了缩放 在《线性代数的几何意义》中有如下描述：“矩阵乘法对应了一个变换，是把任意一个向量变成另一个方向或长度都大多不同的新向量在这个变换的过程中，原向量主要发生旋转、伸缩的变化如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转的效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值 对于其几何意义在实际中的应用，笔者了解到PCA算法图一图三下文中会有具体的介绍，在此仅阐明其概念：图二 注：图片为笔者制作 将三个图像中的相应线段向下进行投影，在图中可以看出，对于同一方向下投影出的图形，其离散程度有所差别，图1的数据离散性最高，图3较低，图2数据离散性是最低的数据离散性越大，代表数据在所投影的维度上具有越高的区分度，这个区分度就是信息量。

在对数据进行处理的时候，可视作将二维平面压缩到一维的直线上，那么，在一维的直线上进行删减处理，数据的离散程度越小，对数据的保存就越有利，而如果我们将图一的图形通过旋转变化到图三之中，对于数据的储存可谓大大有利，于是，通过矩阵来实现旋转变化，找到能够使特征值最集中的特征向量的方向，这种方法就是PCA算法的主要思想来源2、特征向量的实际应用2.1、PCA方法图像压缩中的应用其方法简要解释为：在图像中，选取L列作为训练样本，进行PCA降维，假设原始数据为N维，降维到M维先理解降维的含义：在一个样本之中，有很多庸余的信息，有很多关键的信息，而能够表述图像关键信息的那些特征，我们就可以当做其“特征值”现在，我们对所有的值进行划分类别，再通过一协方差矩阵对其进行特征性大小的排列，找出图像的特征值，删去图像庸余的信息，即可实现图像的压缩 化为图形的语言，就是降维再介绍降维的方法： 将所有的样本数据 xixi （列向量）拼成一个矩阵 {x1,x2,...,xi,...,xKx1,x2,...,xi,...,xK}第一步是预处理，要保证数据的均值为0存在 再求取其协方差矩阵：然后求出矩阵ΣΣ对应的特征向量和特征值。

将特征值按从大到小排列{a1,a2,...,aK}此后，我们删除一些次要的特征向量，也可以理解为将此方向的图像删除假设我们保留的矩阵为{a1，a2，...，an}（且n

3、 在图像降噪领域，通常采用LPG-PCA算法，其中较为突出的特点是同时应用LPG（局部像素分组）与PCA（主成分分析），首先对于像素进行分块处理，再进行分块降噪，而在PCA处理信号降噪和声音降噪时通常采用连续降噪或者大区间的分块以达到处理效果的连续和优化结语 通过线性代数课程的学习和本次论文的写作，我更深入了解了特征向量和特征值的本质，了解了PCA方法在图像压缩和信号、声音降噪领域的实际应用，心中也油然而生出一种切实的将书本知识和实际生活应用联系在一起的感觉参考文献[1]曲良辉.矩阵特征值的应用研究[J].中国西部科技,2015,14(05):91-92. [2]周琴.矩阵特征值和特征向量在实际中的应用及其实现[J].高师理科学刊,2019,39(07):8-10.[3]吴耀文,邢传玺,岳露露,万兴举.基于鲁棒主成分分析的低频水声信号降噪方法[J].云南民族大学学报(自然科学版),2020,29(01):70-77. 7 / 7。