态和力学量的表象.ppt

第四章 态和力学量的表象引入：三维空间中的一个矢量，可在直角坐标系OXYZ下表示为 （Ax，Ay，Az），其中Ai(i=x,y,z)是在三个坐标轴上的投影 同一个矢量也可以在另一个旋转角（绕Z 轴的）直角坐标系O下表示为（），二组投影分量之间 可以用矩阵或线性方程组进行变换 矢量也可在球坐标系下 为（Ar，A A ），与（Ax，Ay，Az)之间也可以作坐标变 换一个矢量可以在不同的坐标系下表示，即有许多等价 的表示方式，可根据解决问题的方便需要来选择量子力学的状态和力学量的具体表达方式称为表象（ repreenstation) 通过广义傅利叶变换，可以将（x）坐标表象的状态矢量变换为以 P,E等为变量的状态矢量，即变换到动量表象，能量表象，角动量 表象等Chapter 4.1 态的表象一，状态 用动量为变量的波函数描写:1,其中 （1）归一化：简记：c(p)=((2)(3)粒子动量值在中的几率实际上为同一状态在动量表象中的波函数2，具有确定动量值的的自由粒子的态：(4)则略去含时因子：:变量：确定值 简记：（5）或（6）是具有确定动量 的粒子的状态在动量表象中的表示。

3，具有确定坐标的粒子状态在坐标表象中的表示:(7)也是坐标表象中坐标算符 的本征值方程二，任意力学量 的表象中的状态 的表示1，分立谱，例如无限深势阱中电子 ，H原子中电子束缚态 ,谐振子,设力学量 的算符 具有分立的本征值：对应分立的本征函数：则可以用正交归一完全系 将 展开为级数：其中简记：归一化：即若 已归一化，则 也自然归一化 是在 所描写的态中测量力学量 所得结果为 的几率，而数列就是 所描写的态在 表象中的表示写为列矢量：其转置复共轭为：：dagger归一化：2,分立谱+连续谱例如，氢原子中电子能量 ：束缚态 ,电离态 连续；有限深方势阱，当为束缚态，分立 ，则连续， 也是又：完全连续谱例子：电子自由运动时的动量，动能，自由粒子的坐标 ，H原子中电子的坐标表象的波函数 用 算符的本征函数系 展开：例如 H基态的 表象波函数 即为状态 在 表象中的表示， 即测量力学量 数值为 的几率，而 即测量力学量 值的结果在 内的几率。

归一化：状态矢量：归一化：归纳：求力学量表象中波函数 即用 算符的本征函数的共轭 与坐标空间波函数相乘并积分:三，希尔伯特空间(Hibert space)1，状态 态矢量，选定一个 表象，即选定一特定的坐标系来描述 ， 的本征函数 系 即为这个表象中的基矢， 表象中的波函数 即态矢 量 在 表象中沿各基矢方向的分量量子力学中的 的本征函数有无限多，所以张成了描写态矢量的无限希尔伯特空间 2，表象常用：Chapter4.2算符的矩阵表示一 1，，算符以 左乘（3）并积分：即 其中为算符 在 表象中的表示分别为状态 和 在 表象中的表示即算符 在 表象中是一矩阵， 为其矩阵元简记为 2， 表象中的厄密算符（厄密性定义）转置并公厄：比较即厄密算符 在 表象中为厄密矩阵 在自身表象中的矩阵元可见:算符在自身表象中的矩阵元时一个对角矩阵，并且对角元素就是算符的本征值。

如 矩阵 ，一维无限深势阱，谐振子， 为本征值 4,如果 算符的本征值只构成连续谱，本征值 不可数，（如坐标 ，动量 ），则积分后 中无 ！如： 坐标表象积分后 中无！二，例题 1，求一维线性谐振子的坐标 动量 和哈密顿量 在能量表象中的矩阵表示 （ 分立谱） 解：以 表示线性谐振子 态的能量本征函数（ ）有公式 在自身表象中为对角矩阵本题矩阵元为分立值，写成可数的矩阵元，是由于谐振子能量本征值构成分立谱Chapter4.3 量子力学公式的矩阵表述一，平均值公式简记：在 表象中，以 算符的本征函数系 展开 ：简写：二，本征值方程简记：同上节步骤，写为有非0解，所以 称为久期方程解久期方程可得一组 值： 它们就是 的本征值。

把求得的 代入原方程，就 可以求出与 对应的本征矢： 其中三，薛定谔方程简记：其中是哈密顿算符 在 表象中的矩阵元§4.4 么正变换引入：量子力学中的表象的选取随所讨论的问题而定表象取得适当可使得问题的 讨论大为简化为此常需要将波函数和力学量从一个表象变换到另一个表象变换 的思路完全类同于将同一矢量 在两个正交坐标中用分量式表示，而求两组分量的 关系所不同的是，态矢量展开表示的两个“坐标系”（即表象）中的基矢分别为力学 量 和 的本征函数系 以下按曾谨言导论内容表述，以求简单明了注意 矩阵定义二者不同！ 一，平面矢量 在两个直角坐标系中的表示 1， 系：其中代表矢量 与两个基矢的标积（投影）2. 系：原系顺时针转 角，基矢 其中为矢量 在 系中的表示3，同一个矢量在两个坐标系中的表示有什么关系？对一式分别用 点乘（取标积）得：注意，由 表示 ，用 点乘将（2）改写成矩阵形式：记为为将 在两个坐标系中的表示 和 联系起来的变换矩阵。

实际上变换矩阵 的矩阵 元正是两个坐标系的基矢之间的标积描述基矢之间的关系由于矢量就均可表示成各 基矢的迭加，因而 可以变换不同坐标系中的同一矢量 的不同表示4，变换矩阵 的性质：转置满足（6）式得矩阵为么正矩阵一个矢量在两个坐标系中的表示由么正变换向 联系二，量子态的表象变换1，任何一个量子态（可归一化），可以可以看成抽象的希尔伯特空间的一个态 矢量，体系的任何一组力学量完全集 的共同本征态 （设为分立谱），可以用来 构成此态空间的一组正交归一完备的基矢（称为 表象）体系的任何一个状态 用 展开：展开系数 就是 态在 表象中的表示，它们分别是 与各基矢标积2，设有另外一组力学量完全集 ，共同的本征函数 （基矢）记为 ，量子态 也用 展开：展开系数 就是同一个量子态 在 表象中的表示3，两组表示 与 有何联系？描写同一 态式中是 表象基矢与 表象基矢的标积，类似于一（4）式中 。

12）式可写为 矩阵形式：简记为：从 ：已有 求 ， 用 去左乘 构成 14）式就是同一个量子态在 表象中的表示与它在 表象中表示的关系变换矩阵 为么阵矩阵：在 表象的表示与 表象表示之间为么阵变换4，证明 为么阵矩阵在 表象中为单位矩阵而单位矩阵在任何表象中均为单位矩阵与表象无关三，力学量的变换1，在 表象中（基矢 ），力学量 表示成设有另一表象 （基矢 ），则在 表象中 表示成（ ），利用 将 展开：用 展开将（20）,(21)带入（19）式可得：其中 为么正矩阵元，而 分别是力学量 在 表象和 表象的矩阵表示 是从 表象 表象的么阵变换矩阵注意，此处么阵变换与周书 相反：四，总结与比较和量子态力学量表象（基矢 ） 表象（基矢 ）其中是从 表象表象的么阵 变换矩阵其逆变换为。

实际上不需要逆变换，只需从新定义 么阵变换的两个重要性质1，么阵变换不改变算符的本征值：证：如果 是对角矩阵，即 表象是 自身的表象，那么 的对角元素就是 自身的表象，那么 的对角元就是 算符的本征值于是求算符本征值的问题归结为寻找一个么正变换把算符 从原来的表象变换到自身表象使 的矩阵表示对角化解定态薛定谔方程就是把坐标表象中的哈密顿量算符对角化，即有 表象变换到能量表象 2，么正变换不改变矩阵的迹矩阵在求逆运算下可依次轮换次序，迹不变。