习题再现8203人教课标教材八年级下册第122页复习19拓广探索第15题（推荐人江西黄泽富）.doc

习题再现 复习19 拓广探索 第15题四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于F求证：AE＝EF提示：取AB的中点G，连结EG中考链接 （2009年广西南宁）如图13-1，在边长为5的正方形中，点、分别是、边上的点，且，.（1）求∶的值；（2）延长交正方形外角平分线（如图13-2），试判断的大小关系，并说明理由；（3）在图13-2的边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．图13-1ADCBE图13-2BCEDAFPF【答案】解：（1）四边形ABCD为正方形FADCBE132四边形是平行四边形．（备注：作平行四边形，并计算出或的长度，但没有证明点在边上的扣1分）解法：在边上存在一点，使四边形是平行四边形证明：在边上取一点，使，连接、、．四边形为平行四边形（备注：此小题若有其他的证明方法，只要证出判定平行四边形的一个条件，即可得1分）BCEDAFP541M变式练习：1.（2009年临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．ADFCGEB图1ADFCGEB图2ADFCGEB图32.（2009年四川绵阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．（1）若m = n时，如图，求证：EF = AE；（2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．xOEBAyCFxOEBAyCFxOEBAyCF（3）若m = tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF =（t + 1）AE成立？并求出点E的坐标．附答案1.【答案】解：（1）正确．ADFCGEBM证明：在上取一点，使，连接．．，．是外角平分线，，．．，，．（ASA）．．（2）正确．ADFCGEBN证明：在的延长线上取一点．使，连接．．．四边形是正方形，．．．（ASA）．．2.【答案】（1）由题意得m = n时，AOBC是正方形．如图，在OA上取点C，使AG = BE，则OG = OE．∴ ∠EGO = 45°，从而 ∠AGE = 135°．由BF是外角平分线，得 ∠EBF = 135°，∴ ∠AGE =∠EBF．∵ ∠AEF = 90°，∴ ∠FEB +∠AEO = 90°．在Rt△AEO中，∵ ∠EAO +∠AEO = 90°，∴ ∠EAO =∠FEB，∴ △AGE≌△EBF，EF = AE．（2）假设存在点E，使EF = AE．设E（a，0）．作FH⊥x轴于H，如图．由（1）知∠EAO =∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．∴ FH = OE，EH = OA．∴ 点F的纵坐标为a，即 FH = a．由BF是外角平分线，知∠FBH = 45°，∴ BH = FH = a．又由C（m，n）有OB = m，∴ BE = OB－OE = m－a，xOEBAyCFG∴ EH = m－a + a = m．又EH = OA = n， ∴ m = n，这与已知m≠n相矛盾．因此在边OB上不存在点E，使EF = AE成立．（3）如（2）图，设E（a，0），FH = h，则EH = OH－OE = h + m－a．由 ∠AEF = 90°，∠EAO =∠FEH，得 △AOE∽△EHF，HxOEBAyCF∴ EF =（t + 1）AE等价于 FH =（t + 1）OE，即h =（t + 1）a，且，即，整理得 nh = ah + am－a2，∴ ．把h =（t + 1）a 代入得 ，即 m－a =（t + 1）（n－a）．而 m = tn，因此 tn－a =（t + 1）（n－a）．化简得 ta = n，解得．∵ t＞1， ∴ ＜n＜m，故E在OB边上．∴当E在OB边上且离原点距离为处时满足条件，此时E（，0）．。