球面距离的计算.doc

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对于地球上过A、B两点大圆的劣弧长由球心角AOB的大小确定，一般地是先求弦长AB，然后在等腰△AOB中求∠AOB下面我们运用坐标法来推导地球上两点球面距离的一个公式地球球面上的点的位置由经度、纬度确定，我们引入有向角度概念与经度、纬度记法：规定东经为正，西经为负；北纬为正，南纬为负（如西经30º为经度α=-30º，南纬40º为纬度β=-40º ），这样简单自然，记球面上一点A的球面坐标为A（经度α，纬度β），两标定点，清晰直观设地球半径为R，球面上两点A、B的球面坐标为A（α1，β1），B（α2，β2），α1、α2∈[-π，π]，β1、β2∈[-，]，如图，设过地球O的球面上A处的经线与赤道交于C点，过B的经线与赤道交于D点设地球半径为R；∠AOC=β1，∠BOD=β2，∠DOC=θ=α1-α2另外，以O为原点，以OC所在直线为X轴，地轴所在直线ON为Z轴建立坐标系O-XYZ（如图）则A（Rcosβ1,0,Rsinβ1）,B(Rcosβ2cos（α1-α2）,Rcosβ2sin（α1-α2）,Rsinβ2)cos∠AOB =cos〈OA，OB〉=cosβ1cosβ2cos（α1-α2）+sinβ1sinβ2 ∠AOB=arcos[cosβ1cosβ2cos（α1-α2）+sinβ1sinβ2]其中反余弦的单位为弧度。

于是由弧长公式，得地球上两点球面距离公式：=R·arcos[cosβ1cosβ2cos（α1-α2）+sinβ1sinβ2] （I）上述公式推导中只需写出A，B两点的球面坐标，运用向量的夹角公式、弧长公式就能得出结论，简单明了，易于理解，公式特征明显.从公式的推导中我们体会到坐标法在解决立几问题的不凡表现由公式（I）知，求地球上两点的球面距离，不需求弦AB，只需两点的经纬度即可公式对求地球上任意两点球面距离都适用,特别地，A、B两点的经度或纬度相同时，有：1、β1=β2=β，则球面距离公式为： =R·arcos[cos2βcos（α1-α2）+sin2β] （II）2、α1-α2=α，则球面距离公式为：=R·arcos（cosβ1cosβ2+sinβ1sinβ2）=R·arcoscos（β1-β2） （III）例1、 设地球半径为R，地球上A、B两点都在北纬45º的纬线上，A、B两点的球面距离是R，A在东经20º，求B点的位置分析：α1=20º，β1=β2=45º，由公式（II）得：R= R·arcos[cos245ºcos（20º-α2）+sin245º]cos= cos（20º-α2）+∴cos（20º-α2）=0, 20º-α2=±90º即：α2=110º或α2=-70º所以B点在北纬45º，东经110º或西经70º例2、 （2002年第六届北京高中数学知识应用竞赛试题）北京时间2002年9月27日14点，国航CA981航班从首都国际机场准时起飞，当地时间9月27日15点30分，该航班正点平稳降落在纽约肯尼迪机场；北京时间10月1日19点14分，CA982航班在经过13个小时的飞行后，准点降落在北京首都国际机场，至此国航北京--纽约直飞首航成功完成。

这是中国承运人第一次经极地经营北京--纽约直飞航线从北京至纽约原来的航线飞经上海（北纬31 ，东经122 ）东京（北纬36 ，东经140 ）和旧金山（北纬37 ，西经123 ）等处，如果飞机飞行的高度为10千米，并假设地球是半径为6371千米的球体，试分析计算新航线的空中航程较原航线缩短了多少解：本题应计算以北京、纽约为端点的大圆劣弧长，再计算北京到上海、上海到东京、东京到旧金山、旧金山到纽约各段大圆劣弧长度和，然后求它们的差 球 1．一个球的内接正方体（正方体的顶点都在球面上）的表面积为6，则球的体积为________．由已知得正方体棱长为1，因球的直径等于正方体的对角线长，所以直径，∴ ．球体积2．在赤道上，东径140°与西径130°的海面上有两点A、B，A、B的球面距离是________（设地球半径为R）．　．设球心为O，∵ A、B在赤道这个大圆上，∴ ∠AOB＝（180°－140°）+（180°－130°）＝90°，∴ ，∴ A、B的球面距离为．3．设正方体的全面积为，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（　）．　　A． p B． p C． p D． p 　　A．由正方体全面积为，则棱长为2cm，内切于正方体的球的直径为2cm，则球的半径为1，其体积为4．一个正方体的顶点都在球面上，其棱长为2cm，则球的表面积为（　）．　　A．8p B．12p C．16p D．20p 　　．B．球的直径与正方体的对角线长相等，∴ ，∴ ，球表面积5．设地球半径为R，在北纬60°圈上有A、B两地，它们在纬度圈上的弧长是，则这两地的球面距离是（　）．　　A． B． C． D．　　．B．如图答9-70，设北纬60°圈的圆心为，球心为O，则，∵ A、B在纬度圈上的弧长为，则，∴ A、、B三点共线，∵ OA＝OB，，∴ △AOB是正三角形，∴ ，∴ A、B的球面距离等于．6．一个正方体的内切球与它的外接球的体积比是（　）．　　A．1∶ B．1∶ C．1∶ D．1∶　．A．设正方体的棱长为2a，则其内切球半径为a，外接球半径为，二球体积比为7．球面上有A、B、C三点，AB＝BC＝2cm，，球心O到截面ABC的距离等于球半径的一半，求球的体积．．∵ A、B、C是球面上三点，∴ OA＝OB＝OC．设截面圆圆心为，则⊥平面ABC，∴ ，∴ 是△ABC的外接圆圆心．　　∵ AB＝BC＝2，，∴ ，∴ ∠ABC是直角．在△中，，，，OA＝R，∴ 有，解得，，球体积8．半径为1的球面上有三点A、B、C，其中A和B、A和C的球面距离为，B和C的球面距离为，求球心到平面ABC的距离．3．设球心为O，由球面距离的定义可知，，．∵ OA⊥OB，OA⊥OC，∴ OA⊥平面BOC．∴ 三棱锥O－ABC的体积．在△ABC中，, ,BC＝1，取BC中点M，则AM⊥BC，，．设点O到平面ABC的距离为h，∵ ，∴ ，∴ ．即点O到平面ABC的距离为． 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：，（计算公式） （3）球的截面是圆面： 球的大圆：球面被经过球心的平面截得的圆。

9. 已知倒立的圆锥形容器的轴截面是一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半经为r的一个球，此时，水面恰好与球相切，求取出球后水面的高度 解：如图所示，圆锥轴截面为正三角形ABP，设球心为O，PC为圆锥的高，取出球后，水面为EF，其高度为PH，连结OC、OA 则 ∴ ∵∵， ∴ 又∵ ∴ 故取出球后水面高为10. 在北纬45°的纬度圈上有A、B两点，它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球的半径为R，求A、B两点的球面距离 分析：要求A、B两点间球面距离，要把它放到△AOB中去分析，只要求得∠AOB的度数，AB的长度，就可求球面距离 解：设北纬45°圈的圆心为O'，地球中心 为O，则∠AO'B=160°－70°=90° ∠OBO'=45°，OB=R ∴ 则 ∴ 故A、B两点间球面的距离为11．已知地球的半径为 ，球面上 两点都在北纬45°圈上，它们的球面距离为 ， 点在东经30°上，求 点的位置及 两点所在其纬线圈上所对应的劣弧的长度． 　　分析：求点 的位置，如图就是求 的大小，只需求出弦 的长度．对于 应把它放在 中求解，根据球面距离概念计算即可．　　解：如图，设球心为 ，北纬45°圈的中心为 ，　　由 两点的球面距离为 ，所以 = ，　　 为等边三角形．于是 ．　　由 ，　　 ．即 = ．　　又 点在东经30°上，故 的位置在东经120°，北纬45°或者西经60°，北纬45°．　　 两点在其纬线圈上所对应的劣弧 ．　　说明：此题主要目的在于明确经度和纬度概念，及利用球的截面的性质和圆的有关性质设计计算方案．12．自半径为 的球面上一点 ，引球的三条两两垂直的弦 ，求 的值．　　分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．　　解：以 为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥 补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．　　说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．　　*例7．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．　　分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．　　解：由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，　　则正四面体的高 ．　　而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为 ．13. 一个球的半径为R，A、B是球面上的两个点，如果A、B沿球面的最短距离为 解： 要使O到平面ABO’的距离最长（O’为过AB的圆的圆心），只须过A、B的小圆最小，即AB=2r14. 设A、B是地球北纬60o圈上两点，点A、B的经度分别是东经40o和西经20o，求A、B两点的球面距离。

解：设O’为北纬60o圈所在圆圆心，r为半径，地球半径为R 。