带电粒子在正交匀强电磁场中运动的轨迹和摆线(hao ).doc

带电粒子在正交匀强电磁场中运动的轨迹和摆线带电粒子在正交匀强电磁场中运动的轨迹和摆线陈升科 高中物理中介绍了速度选择器，速度选择器两极板间有正交的匀强电场和匀强磁 场，带电粒子在速度选择器中的运动实际上是在正交的匀强电场和匀强磁场中的 运动．带电粒子垂直匀强电场和匀强磁场方向进入速度选择器，且速度大小等于 电场强度Ｅ跟磁感强度Ｂ之比（Ｅ／Ｂ）（称（Ｅ／Ｂ）为选择速度，用ｖｅｂ 表示），将做匀速直线运动．如果带电粒子的速度大小不等于选择速度或偏离垂 直匀强电场和匀强磁场方向进入速度选择器，将做什么运动，其运动轨迹怎样? 一、带电粒子在正交的匀强电磁场中的运动方程 设空间有正交的匀强电场和匀强磁场（下称电磁场），电场强度矢量和磁感 强度矢量分别为Ｅ＝Ｅｊ，Ｂ＝Ｂｋ．有一个电量为ｑ、质量为ｍ的带电粒子从坐标原点以初速ｖ０射入电磁场 中．初速度矢量为ｖ０＝ｖ０ｘｉ＋ｖ０ｙｊ＋ｖ０ｚｋ，带电粒子射入电磁场后， 在某时刻的速度矢量为ｖ＝ｖｘｉ＋ｖｙｊ＋ｖｚｋ．带电粒子在此时刻受到的电场力矢量为Ｆ＝ｑＥ＝ｑＥｊ，受到的磁场力（洛伦 兹力）矢量为ｆ＝ｑｖ×Ｂ＝ｑ ｉ ｊ ｋ ｖｘ ｖｙ ｖｚ 0 0 Ｂ ＝ｑｖｙＢｉ－ｑｖｘＢｊ． 带电粒子在电磁场中的动力学方程为Ｆ＋ｆ＝ｍ ． 动力学方程的三个分量式分别为ｍｘ＝ｑＢｖｙ， ① ｍｙ＝ｑＥ－ｑＢｖｘ， ②ｍｚ＝0． ③ 令 ω＝（ｑＢ）／ｍ，由方程①得 ｖｙ＝（1／ω）ｘ． ④④式对时间ｔ微分得加速度的ｙ方向分量ｙ＝（1／ω）ｘ． 将上式代入②式，并令ｕｘ＝ｖｘ－（Ｅ／Ｂ）＝ｖｘ－ｖｅｂ， 得 ｘ＋ω２ｕｘ＝0．此微分方程的通解是ｕｘ＝－Ａｃｏｓ（ωｔ＋φ）， 它可改写为 ｖｘ＝－Ａｃｏｓ（ωｔ＋φ）＋ｖｅｂ． ⑤ ⑤式对时间ｔ微分得带电粒子在电磁场中运动时的加速度的ｘ方向的分量 ｘ＝Ａωｓｉｎ（ωｔ＋φ）， ⑥ 将⑥式代入④式得速度的ｙ方向的分量ｖｙ＝Ａｓｉｎ（ωｔ＋φ）， ⑦ ⑦式对时间ｔ微分得加速度的ｙ方向的分量ｙ＝Ａωｃｏｓ（ωｔ＋φ）， ⑧ ③式对时间ｔ积分得速度的ｚ方向的分量 ｖｚ＝Ｃ３． ⑨ ⑤、⑦、⑨式分别对时间ｔ积分得带电粒子在电磁场中运动的运动学方程的三个 分量 ｘ＝－（Ａ／ω）ｓｉｎ（ωｔ＋φ）＋ｖｅｂｔ＋Ｃ１， ⑩ ｙ＝－（Ａ／ω）ｃｏｓ（ωｔ＋φ）＋Ｃ２，  ⑾ ｚ＝Ｃ３ｔ＋Ｃ４．      ⑿ 以上三式中Ａ、φ、Ｃ１、Ｃ２、Ｃ３和Ｃ４均为积分常数，可用带电粒子射入电 磁场时的初始条件确定．由①、②两式得，带电粒子初始加速度在ｘ方向和ｙ方向的分量分别为０ｘ＝（ｑＢｖ０ｙ）／ｍ＝ωｖ０ｙ，０ｙ＝（ｑＥ－ｑＢｖ０ｘ）／ｍ＝ωｖｅｂ－ωｖ０ｘ．将以上两式分别代入⑥、⑧两式得 Ａｓｉｎφ＝ｖ０ｙ， Ａｃｏｓφ＝ｖｅｂ－ｖ０ｘ，解得积分常数Ａ＝． ⒀A 的大小等于带电粒子的初速度沿ｘ方向以选择速度ｖｅｂ做匀速直线运动 的相对速度的大小．称（Ａ／ω）为“幅”，称积分常数 φ 为初相，它有三种 情况若ｖ０ｘ＜ｖｅｂ，φ＝ｔｇ－１[ｖ０ｙ/（ｖｅｂ－ｖ０ｘ）]，若ｖ０ｘ＝ｖｅｂ，ｖ０ｙ＞0，φ＝（π／2）， ｖ０ｙ＜0，φ＝－（π／2），若ｖ０ｘ＞ｖｅｂ，φ＝π＋ｔｇ－１[ｖ０ｙ／（ｖｅｂ－ｖ０ｘ）． ⒁将带电粒子初速度分量ｖ０ｚ代入⑨式得积分常数Ｃ３＝ｖ０ｚ．将带电粒子射入电磁场时的初始坐标ｘ＝0，ｙ＝0，ｚ＝0． 代入⑩⑾⑿三式得积分常数C１＝ｖ０ｙ／ω，C２＝（Ａ／ω）ｃｏｓφ＝（1／ω）（ｖｅｂ－ｖ０ｘ），Ｃ４＝0．带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中运动的运动学方程为ｘ＝ｖｅｂｔ＋（ｖ０ｙ／ω）－（Ａ／ω）ｓｉｎ（ωｔ＋φ），⒂ｙ＝（1／ω）（ｖｅｂ－ｖ０ｘ）－（Ａ／ω）ｃｏｓ（ωｔ＋φ），⒃ｚ＝ｖ０ｚｔ． ⒄ 式中的 A 和 φ 由⒀、⒁两式确定．带正电的粒子原先静止在坐标原点，在电场力和磁场力作用下开始运动，带 电粒子初速度的三个分量都为零．由⒀、⒁式得Ａ＝ｖｅｂ，φ＝0．带电粒子运动轨迹的三个参量方程为ｘ＝ｖｅｂｔ－（ｖｅｂ／ω）ｓｉｎωｔ，ｙ＝（ｖｅｂ／ω）（1－ｃｏｓωｔ），ｚ＝0．二、带电粒子在正交的匀强电磁场中的运动图象带电粒子运动轨迹在ｘＯｙ平面内，如图 1 中“0”曲线．如果粒子带负电， ω＜0，参量方程ｘ不变，而参量方程ｙ的符号相反，带负电粒子的运动轨迹跟 带正电粒子运动轨迹关于ｘ轴对称．图 1带电粒子（以下只讨论带正电）由坐标原点，沿ｘ方向，以不同速度射入电 磁场．它们的入射初速度只有ｘ方向分量ｖ０ｘ．它们的幅（Ａ／ω）和初相 φ 的值如下表中所示．初速度 ｖｏｘ／ｖｅｂ－100．511．523幅 Ａω－１／ｖｅｂω －１210．500．512初相 φ0000πππ带电粒子入射初速度分量ｖ０ｘ的大小以选择速度ｖｅｂ对称（如 0．5ｖｅｖ 跟 1．5ｖｅｂ对称）时，它们的幅相等，初相差为π．它们的运动轨迹都在 ｘＯｙ平面，依次如图 1 中“－1”、“0”、“0．5”、“1”、“1．5”、“2”、“3”曲线所示．带电粒子由坐标原点射入，初速度既有ｘ方向分量，又有ｙ方向分量．设ｙ 方向分量等于 1 倍选择速度，ｖ０ｙ＝ｖｅｂ．它在电磁场中运动轨迹的参量方程 ｘ和ｙ如⒂、⒃两式，ｚ＝0．轨迹在ｘＯｙ平面内，如图 2 所示，图中“0”、 “1”、“2”分别表示ｖ０ｘ＝0、ｖ０ｘ＝ｖｅｂ、ｖ０ｘ＝2ｖｅｂ时粒子的运动轨 迹．带电粒子由坐标原点射入，初速度有三个方向的分量．它在电磁场中运动轨 迹的参量方程由⒂、⒃、⒄三式确定．运动轨迹在同一平面内，轨迹跟如图 1 和 如图 2 所示轨迹相似，只是轨迹平面绕ｙ轴向纸外或纸内转过 ｔｇ－１（ｖ０z／ｖ０ｘ）角度．图 2三、带电粒子在正交匀强电磁场中运动轨迹的分析⑩、⑾、⑿三式和⒂、⒃、⒄三式表明带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中的运动是以速度做匀速直线运动和以（Ａ／ω）为半径、ω 为 角速度的匀速圆周运动的合成．我们知道，一轮子在水平地面匀速滚动时，轮子 上各点的运动是轮心的匀速直线运动和绕轮心的匀速圆周运动的合成．轮子上各 点的运动轨迹是摆线，带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中的运动轨迹也应 是摆线．现有像火车轮那样的塔轮，大轮半径是小轮半径的两倍，如图 3 所示．小轮 在水平轨道Ｏｘ上匀速滚动．塔轮轮心Ｏ′做速度为ｖｅｂ的匀速直线运动，塔 轮的角速度 ω＝（ｖｅｂ／ｒ）．图 3图 4初时刻大轮跟轨道接触点Ａ点的初速度为零，小轮最高点 B 点的初速度为 2ｖｅｂ．这两点的运动轨迹如图 4 所示．如果将 B 点运动轨迹向下平移 2ｒ，这 两点运动轨迹就是图 1 中的“0”和“2”两条带电粒子在电磁场中运动轨迹． 初始时刻小轮最高点Ｃ点有 3ｖｅｂ水平向前的初速度，大轮最低点Ｄ点有 ｖｅｂ水平向后的初速度．小轮上 E 点和 F 点在同一条竖直直径上，到轮心Ｏ′ 的距离都为（ｒ／2），E 点有 1．5ｖｅｂ水平向前的初速度，F 点有 0．5ｖｅｂ 水平向前的初速度．这四点的运动轨迹如图 5 所示．如果 C 点轨迹向下平移 3ｒ，D 点轨迹向上平移ｒ，E 点轨迹向下平移 1．5ｒ，F 点轨迹向下平移 0．5ｒ，其运动轨迹就是图 1 中“3”、“－1”、“1．5”和“0．5”四条带电 粒子在电磁场中的运动轨迹．图 5图 6 中，初时刻塔轮轮心在Ｏ′．塔轮上的 P 点到轮心的距离ＰＯ′＝ｒ，Ｐ到水平轨道的距离ＰＯ＝2ｒ，圆心角 φ＝（3／4）π．A 是塔轮瞬时转轴．图 6可以求得 P 点的初速度ｖ０＝ｖｅｂ，它的ｘ方向分量ｖ０ｘ＝2ｖｅｂ，ｙ方向的分量ｖ０ｙ＝ｖｅｂ，P 点的运动轨迹如图 6 中曲线所示．将 P 点的运动轨 迹向下平移 2ｒ，就是图 2 中曲线“2”所示的带电粒子在电磁场中的运动轨 迹．塔轮上Ｑ点（跟坐标原点 O 重合）、S 点的运动轨迹分别跟图 2 中“1”、“0”两条曲线所示的带电粒子在电磁场中的运动轨迹相对应．如果塔轮在水平轨道上匀速滚动，轨道又在ｘＯｚ平面内沿ｚ轴匀速移动， 移动过程中保持轨道跟ｘ轴平行，塔轮上的点的运动轨迹跟初速度有ｚ方向分量 的带电粒子在电磁场中运动轨迹相应．带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中 运动跟匀速滚动的塔轮上的点的运动相似，运动的轨迹为摆线．。