积分物理应用与场论.doc

第12章 各类积分的物理应用面积分在物理上的应用，包括质量、质心、转动惯量、引力、梯度、散度、旋度等．9.1 重积分、第一类线面积分的物理应用1 质量质量记为1．当是平面区域的面密度时，；2．当是空间区域的体密度时，；3．当是曲线的线密度函数时，；4．当是曲面的面密度时，2 质心图9.1在物理学中我们知道，在水平面上，如果质点离转轴的距离为，则重力矩是重力矩与有关即与环境有关为了与环境无关，定义对静矩为设的体密度为的微元（图9.1）的质量，对平面的静矩因此类似地，如果把捏到一点后对各坐标平面的静矩与原来等效，则称为的质心因此类似地，在平面上，平面曲线空间曲线曲面图9.2【例9.1】 求均匀的球顶锥体(如图9.2)的质心，设该球的球心在原点，半径为，锥体的顶点在原点，对称轴为轴，锥面与轴交角为．解　均匀即密度为常数（此时质心又称形心）由对称性知，，而，，故．所以质心坐标为．【例9.2】 求质量均匀分布的半球面的质心．解　由对称性知，根据(9.1)式得，而，故，所以质心为 ．3 转动惯量我们知道，空间中一质量为的质点对转轴的转动惯量为，为质点到的距离．设为一个物质几何体，密度连续，在中任取一小块(其度量也用相同记号)，在中任取一点，则小块的质量近似为，关于轴,轴,轴的转动惯量分别为，，。

所以关于轴,轴,轴的转动惯量分别为：．平面区域、曲线时类似思考例9.3】 求半径为的均匀半圆薄片(面密度为常数)对于其直径边的转动惯量．解　建立如图9.3所示坐标系，关于轴的转动惯量为：图9.3其中为半圆薄片的质量．【例9.4】 求螺旋线：对轴的转动惯量，曲线的密度为常数．解　．4 引力图9.4设有一几何体，密度连续，外有一质量为的质点记为，求对的引力．根据万有引力公式(其中是质点之间的距离，为引力常数)，如图9.4，在中任取一小块(其度量用相同的符号)，则质量元素为，将质量元素看成点处质量为的质点，则质量元素对质点的引力大小为：，，引力元素沿与坐标轴平行方向的各分量为：同理：；所以 ．【例9.5】 设半径为的匀质球体，占有空间闭区域，求它对位于()处的单位质量的质点的引力．解　设球体密度为常数，由对称性知引力分量，对，有．9.2　场论初步1　场(1) 场：设是一个空间区域上的一个数量场就是上定义的一个数量函数；上的一个向量场就是上定义的一个向量函数例如温度场、密度场、电位场是数量场；而力场、速度场是向量场．若该场中物理量在各点处的值不随时间变化，则称该场为稳定场，否则称为不稳定场．本节只讨论稳定场．(2) 等值面：给定了数量场，则是空间一张曲面，在该曲面上保持常值，称该曲面为等值面．等量面只能粗略地刻画数量场的分布规律，下面将引进梯度、散度、旋度的概念来更深刻地刻画数量场与向量场的属性．2　数量场的方向导数与梯度函数在点处沿方向的方向导数为：，其中所对应的单位向量为．定义9.1 数量场在点的梯度为向量，是等值面指向增加方向的法向量。

其中为向量与向量间的夹角3　向量场的通量与散度(1)　通量设为向量场，为有向曲面，则称曲面积分为向量场穿过曲面的通量．若为流速场，则的物理意义为在单位时间内流体通过曲面的体积即流量．(2)　散度设为向量场，在场中一点的某个邻域内作一包含点在内的任一闭曲面(方向取外侧)，设其包含的空间区域为(体积也用相同记号)，则为往外流的通量有东西流出来意味着里面有泉为中的平均泉强度极限为点的泉强度，称为向量场在点处的散度（对于一点来说，“泉”和“散”是同义词），记为，即．散度就是泉强度散度为一数量．若是流体的流速，>0，则在点有泉；若，则在点漏走流体；若在点表示该点无泉无漏．称的向量场为无源场．散度是一个由向量场所产生的数量值函数，称作散度场．散度有如下计算公式:定理9.1　设在空间某区域有一阶连续偏导数，向量场，则在定义域内．证　取包含点的小区域，其边界曲面为，则由高斯公式和积分中值定理得，．用通量与散度的记号，高斯公式可表示为．此说明高斯公式的物理意义为：穿出封闭曲面的通量，等于所围的区域上的散度的“总和”即散度在上的三重积分．4　向量场的环量与旋度(1)　环流量图9.5设为封闭曲线，为向量场，我们知道，将理解为力时，则为力沿曲线所作的功．下面我们将看作流速场，看看的物理意义．设装有叶片的轮子，平放到有旋涡的河面上，轮子就会旋转，旋转快慢显然与流速在叶片上每点的切向分量有关(如图9.5)，可以用来刻画环形流动的强弱，称它为沿曲线的环流量(简称环量)．定义9.2 设是空间任一封闭曲线，取定方向，则称为向量沿的环量．环量仅仅刻画所围区域的旋涡强弱，一定时，环量越大所围区域旋转越强．进一步我们要研究各点旋涡的强弱，即研究环量对面积的变化率．设为向量场中一点，在处取定一个方向，再过点任作一微小曲面(其面积也用相同记号)，以为其在点处的法向量，的周界的正向取作与构成右手螺旋关系，如图9.6,则图9.6 表示流体绕轴旋转的环流量关于面积的平均变化率．若极限存在，称其为向量场在点处沿方向的环量面密度(即环量关于面积的变化率)．由定义知，环量面密度越大，流体在点处绕轴旋转的速度越快．对同一点当转轴的方向改变时，环量面密度也随之改变，但总有一方向使得取最大值，这就是下面要介绍的旋度概念．(2)　旋度定义9.3 设为向量场。

向量场在点处的旋度为向量旋度反映了向量场在该点的旋转强约用旋度记号，Stokes公式可写为:．【例9.6】　求向量场的旋度．解　．5 有势场、无源场、调和场(1)　有势场定义9.4 设有向量场，若存在数值函数，使得，则称向量场为有势场，并称为向量场的势函数，即．假设轴与地面垂直,方向向上，我们知道质量为的物体的重力场为，在高为处的势能为，而 ，故重力场是有势场，其势能为重力场的势函数．*由空间曲线与路径无关的相关结论知，空间向量场在一维单连通区域中，下述命题等价:(1) 是有势场；(2) ；(3) 对于中任意闭路，都有；(4) 与路径无关；(5) 存在数值函数，使得．(2)　无源场若向量场在任一点的散度，则称为无源场．(3)　无旋场若向量场在任一点的旋度，则称为无旋场．(4)　调和场若向量场既是无源场又是无旋场，即，，则称为调和场．6 向量微分算子(1)　哈米尔顿算子称向量微分算子为哈米尔顿（Hamilton）算子．读作“纳普拉（Nabla）”． 算子本身只是一种微分运算符号，同时又被看作是向量，即是以为分量的向量，所以它在运算中具有向量和微分的双重性质，其运算规则是:， (9.2)． (9.3)特别地，有，将此式右端记为，也记为，即，称此为拉普拉斯（Laplace）算子．， 　　　　 (9.4)故；；．这样就将梯度、散度、旋度的运算问题转化为算子的运算，而所服从的微分运算法则和向量运算法则是我们所熟悉的．这就是引进算子的原因．②利用算子，高斯公式与斯托克斯公式可分别写为：；　．根据的微分和向量运算法则可证得以下梯度、散度、旋度的基本性质．(2)　梯度基本性质(1) (2) (3) (4) （这里）．(3)　散度基本性质(1) ．(2) ．(3) ．(4) ．【例9.7】　已知，求．解 ，，，故 ．(4)　旋度基本性质(1) ．(2) ．(3) ．【例9.8】　证明:．证　．注意：此例是散度基本性质中的(3)式，由此题证明过程知，只要充分利用的向量与微分的二重性质，就不难推出梯度、散度与旋度的一些基本性质．习题11－9A类1．求由下列曲线所围成的均匀薄板的质心坐标：(1) (2)（）；*(3)；2．求下列均匀曲线弧的质心坐标：(1)半径为，中心角为的圆弧；(2)心脏线．3．求边界为下列曲面的均匀物体的质心：(1) ；*(2) ．4．设一物质曲线在点处它的线密度为，用第一类曲线积分分别表示：(1) 该物质曲线关于轴与轴的转动惯量；(2) 该物质曲线对位于线外点处的单位质点的引力．5．设螺旋形弹簧一圈的方程为它的线密度求：(1) 它关于轴的转动惯量； (2) 它的质心．*6．设面密度为常数的匀质半圆环形薄片占有闭区域，求它对位于轴上点()处单位质量的质点的引力．7．设均匀柱体密度为，占有闭区域，求它对于位于点处的单位质量的质点的引力．8．设一物质曲面，其面密度为试用第一类曲面积分表示：*(1) 曲面对三个坐标轴的转动惯量；(2) 曲面对位于外一点处的单位质点的引力．*9．求密度为常数的均匀半球壳的质心坐标及对于轴的转动惯量．10．设，求及．*11．设都有连续偏导数，证明(1) ，其中为常数；(2) (3) ；(4) ，其中是正整数．12．求下列向量场的散度:(1) ； (2) ，．13．求下列向量场沿定向闭曲线的环流量：(1) （为常数），为圆周，从轴正向看去，取逆时针方向； *(2) ，为圆周从轴正向看去，取逆时针方向．14．求下列向量场的旋度：．B类1．在某设计中要在半圆形的直边上添上一个边与直径等长的矩形，使整个平面图形的质心落在圆心上，试求矩形的另一边长．2．求质量均匀分布，半径为的球面对距球心()处的单位质量的质点的引力．*3．证明等式：，其中为物体对轴的转动惯量，为物体对通过其质心且与轴平行的轴的转动惯量，为两轴间的距离，是物体的质量．*4．利用Stokes公式把曲面积分化为曲线积分，并计算积分值，其中，为立方体的表面外侧去掉面上的那个底面，是的单位法向量．总 习 题 十 一1．填空题(1) 设为在第一象限内的部分，则　　　　．*(2) 设为抛物线上从点到点的一段弧，则　　　　．(3) 设是球面，则　　　　．*(4) 设是球面的外侧，则　　　　．(5) 设为椭圆，其周长记为，则　　　　．(6) 密度为1的旋转抛物体：（记为）绕轴的转动惯量 ．(7) 设，则 ．(8) 数量场的 ．(9) 向量场在点处的散度 ．2.选择题:(1) 为从点到点的直线，则　　　．A. B.C. D.(2) 对于格林公式，，下列说法正确的是　　　．A.取逆时针方向，函数在闭区域上存在一阶偏导数且；B. 取顺时针方向，函数在闭区域上存在一阶偏导数且；C．取逆时针方向，函数在闭区域上存在连续的一阶偏导数；D．取顺时针方向，函数在闭区域上存在连续一阶偏导数.(3) 设其中为曲面的下侧，则之值为　　　．A.； B. ； C. ； D. .(4) 设:为在第一卦限中的部分，则有　　　．A.； B.； C.； D.(5) 已知为某函数的全微分，则等于　　　．A.； B.0； C.1； D.。