2011《金版新学案》高三数学一轮复习 数列求和随堂检测 文 北师大版.doc

用心 爱心 专心 12011《金版新学案》高三数学一轮复习 数列求和随堂检测 文 北师大版(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题 6 分，共 36 分)1．数列 9,99,999,9 999…的前 n 项和等于(　　)A．10 n－1　　　　　　　B. (10n－1)－n109C. (10n－1) D. (10n－1)＋n109 109【解析】　a n＝10 n－1，∴S n＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(10－1)＋(10 2－1)＋…＋(10 n－1)＝(10＋10 2＋…＋10 n)－n＝ －n.10(10n－ 1)9【答案】　B2．设函数 f(x)＝x m＋ax 的导函数 f′(x)＝2x＋1，则数列 (n∈N  )的前 n 项和{1f(n)}是(　　)A. B.nn＋ 1 n＋ 2n＋ 1C. D.nn－ 1 n＋ 1n【解析】　f′(x)＝mx m－1 ＋a＝2x＋1，∴a＝1，m＝2，∴f(x)＝x(x＋1)， ＝ ＝ － ，用裂项相消法求和得1f(n) 1n(n＋ 1) 1n 1n＋ 1Sn＝ ，故选 A.nn＋ 1【答案】　A3．设 an＝－n 2＋17n＋18，则数列{a n}从首项到第几项的和最大(　　)A．17 B．18C．17 或 18 D．19【解析】　令 an≥0，得 1≤n≤18.∵a 18＝0，a 17＞0，a 19＜0，∴到第 18 项或 17 项和最大．【答案】　C4．已知数列{a n}的各项均为正数，其前 n 项和为 Sn，若{log 2an}是公差为－1 的等差数列，且 S6＝ ，那么 a1的值是(　　)38A. B.421 631C. D.821 2131【解析】　由题知：log 2an－log 2an－1 ＝－1，∴log 2 ＝－1，即 ＝ ，anan－ 1 anan－ 1 12∴{a n}是以 a1为首项， 为公比的等比数列，12用心 爱心 专心 2∴S 6＝ ＝ ，∴a 1＝ .a1[1－ (\f(1,2))6]1－ 12 38 421【答案】　A5．数列 an＝ ，其前 n 项之和为 ，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)1n(n＋ 1) 910x＋y＋n＝0 在 y 轴上的截距为(　　)A．－10 B．－9C．10 D．9【解析】　数列的前 n 项和为＋ ＋…＋11×2 12×3 1n(n＋ 1)＝1－ ＝ ＝ ，∴n＝9，1n＋ 1 nn＋ 1 910∴直线方程为 10x＋y＋9＝0.令 x＝0，得 y＝－9，∴在 y 轴上的截距为－9.【答案】　B6．若{a n}是等差数列，首项 a1＞0，a 2009＋a 2010＞0，a 2009·a2010＜0，则使前 n 项和Sn＞0 成立的最大自然数 n 是(　　)A．4017 B．4018C．4019 D．4020【解析】　∵a 1＞0，a 2009＋a 2010＞0，a 2009·a2010＜0，且{a n}为等差数列，∴{a n}表示首项为正数，公差为负数的单调递减等差数列，且 a2009是绝对值最小的正数，a 2010是绝对值最小的负数(第一个负数)，且|a 2009|＞|a 2010|.∵在等差数列{a n}中，a 2009＋a 2010＝a 1＋a 4018＞0，S4018＝ ＞0，4018(a1＋ a4018)2∴使 Sn＞0 成立的最大自然数 n 是 4018.【答案】　B二、填空题(每小题 6 分，共 18 分)7．已知 f(n)＝Error!若 an＝f(n)＋f(n＋1)，则 a1＋a 2＋…＋a 2 008＝________.【解析】　当 n 为奇数时，a n＝f(n)＋f(n＋1)＝n－n－1＝－1.当 n 为偶数时， a n＝－n＋n＋1＝1.∴a 1＋a 2＋…＋a 2 008＝0.【答案】　08．若数列{a n}是正项数列，且 ＋ ＋…＋ ＝n 2＋3n(n∈N ＋ )，则 ＋ ＋…＋a1 a2 ana12 a23＝________.ann＋ 1【解析】　令 n＝1 得 ＝4，即 a1＝16，当 n≥2 时，a1＝ (n2＋3n)－[(n－1) 2＋3(n－1)]＝2n＋2，an所以 an＝4(n＋1) 2，当 n＝1 时，也适合，所以 an＝4(n＋1) 2(n∈N ＋ )．于是 ＝4(n＋1)，ann＋ 1故 ＋ ＋…＋ ＝2n 2＋6n.a12 a23 ann＋ 1【答案】　2n 2＋6n9．(20008 年四川卷)设等差数列{a n}的前 n 项和为 Sn，若 S4≥10，S 5≤15，则 a4的最大值为______．【解析】　方法一：用心 爱心 专心 3∵Error! ⇒a 4≤4.故 a4的最大值为 4.方法二：本题也可利用线性规划知识求解．由题意得：Error!⇒Error!a4＝a 1＋3d.画出可行域Error!，求目标函数 a4＝a 1＋3d 的最大值，即当直线 a4＝a 1＋3d 过可行域内(1,1)点时截距最大，此时 a4＝4.【答案】　4三、解答题(共 46 分)10．(15 分)已知等差数列{a n}中，S n是它前 n 项和，设 a6＝2，S 10＝10.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若从数列{a n}中依次取出第 2 项，第 4 项，第 8 项，…，第 2n项，…，按取出的顺序组成一个新数列{b n}，试求数列{b n}的前 n 项和 Tn.【解析】　(1)设数列{a n}首项，公差分别为 a1，d.则由已知得 a1＋5d＝2　①，10a 1＋ d＝10　②10×92联立①②解得 a1＝－8，d＝2，所以 an＝2n－10(n∈N ＋ )(2)bn＝a 2n＝2·2 n－10＝2 n＋1 －10(n∈N ＋ )，所以 Tn＝b 1＋b 2＋…＋b n＝ －10n＝2 n＋2 －10n－44(1－ 2n)1－ 211．(15 分)已知数列{a n}的各项均为正数，S n为其前 n 项和，对于任意的 n∈N ＋ ，满足关系式 2Sn＝3a n－3.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}的通项公式是 bn＝ ，前 n 项和为 Tn，求证：对于任1log3an·log3an＋ 1意的正整数 n，总有 Tn＜1.【解析】　(1)由已知得Error!故 2(Sn－S n－1 )＝2a n＝3a n－3a n－1即 an＝3a n－1 (n≥2)故数列{a n}为等比数列，且 q＝3又当 n＝1 时，2a 1＝3a 1－3，∴a 1＝3∴a n＝3 n(n≥2)而 a1＝3 亦适合上式∴a n＝3 n(n∈N ＋ )(2)证明：b n＝ ＝ －1n(n＋ 1) 1n 1n＋ 1所以 Tn＝b 1＋b 2＋…＋b n＝ ＋ ＋…＋(1－12) (12－ 13) (1n－ 1n＋ 1)＝1－ ＜11n＋ 112．(16 分)过点 P(1,0)作曲线 C：y＝x 2(x∈(0，＋∞))的切线，切点为 M1，设 M1在x 轴上的投影是点 P1.又过点 P1作曲线 C 的切线，切点为 M2，设 M2在 x 轴上的投影是点P2，….依此下去，得到一系列点 M1，M 2…，M n，…，设它们的横坐标a1，a 2，…，a n，…，构成数列为{a n}．(1)求证：数列{a n}是等比数列，并求其通项公式；(2)令 bn＝ ，求数列{b n}的前 n 项和 Sn.nan【解析】　(1)证明：对 y＝x 2求导数，得 y′＝2x，切点是 Mn(an，a n2)的切线方程是y－a n2＝2a n(x－a n)．当 n＝1 时，切线过点 P(1,0)，即 0－a 12＝2a 1(1－a 1)，用心 爱心 专心 4得 a1＝2；当 n＞1 时，切线过点 Pn－1 (an－1, 0)，即 0－a n2＝2a n(an－1 －a n)，得 ＝2anan－ 1所以数列{a n}是首项 a1＝2，公比为 2 的等比数列．所以数列{a n}的通项公式为 an＝2 n，n∈N (2)当 k＝2 时，a n＝2 n，b n＝ ，数列{b n}的前 n 项和n2nSn＝ ＋ ＋ ＋… ，12 222 323 n2n同乘以 ，得 Sn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ，12 12 122 223 324 n2n＋ 1两式相减，得Sn＝ ＋ ＋ ＋…＋ －12 12 122 123 12n n2n＋ 1＝ －12(1－ 12n)1－ 12 n2n＋ 1＝1－ － ，12n n2n＋ 1所以 Sn＝2－ .n＋ 22n。