专升本第三章中值定理及导数的应用.ppt

第三章第三章 中值定理及导数的应用中值定理及导数的应用3.1 3.1 中值定理中值定理3.2 3.2 罗必塔法则罗必塔法则3.3 3.3 函数的单调性函数的单调性3.4 3.4 函数的极值函数的极值3.5 3.5 函数的最值函数的最值3.6 3.6 函数的凹凸性及拐点，函数的图像函数的凹凸性及拐点，函数的图像一、主要内容一、主要内容 ㈠中值定理㈠中值定理 1.1.罗尔定理罗尔定理: : P63P63 满足条件满足条件: : 如果函数如果函数2.2.拉格朗日定理：拉格朗日定理：P64P64 满足条件满足条件: : 如果函数如果函数例题：例题：P66 P66 例例1 1，，2 2㈡罗必塔法则：㈡罗必塔法则：P67,68P67,68 则1.1.认真掌握课本认真掌握课本P68-69P68-69的例题的例题2.2.独立完成独立完成P70 P70 的习题（用罗必塔法则求极限）的习题（用罗必塔法则求极限）（2）解：（1）解：例．求下列极限（3）解：（4）解法1：(对数法）设所以解法2：(指数法）㈢导数的应用㈢导数的应用 1. 1. 切线方程和法线方程：切线方程和法线方程： 2. 2. 曲线的单调性曲线的单调性: P71 : P71 定理定理1 1 求单调区间的求单调区间的4 4个步骤个步骤：：（（1 1）确定函数的定义域，求出导数）确定函数的定义域，求出导数（（2 2）求出导数等于）求出导数等于0 0（驻点）和导数不存在的点（驻点）和导数不存在的点（（3 3）根据（）根据（2 2）中的点将定义域分成若干个区间，并确定）中的点将定义域分成若干个区间，并确定在每个区间的符号在每个区间的符号（（4 4）判断：）判断：注：单调区间无所谓开、闭区间，一般为开区间注：单调区间无所谓开、闭区间，一般为开区间掌握掌握P71 例题例题1-4证明：（采用函数的单调性证明） 例3. 证明:证明: 设 所以从而因此解：设所以从而因此 ⑴⑴极值的定义极值的定义：：P72P72 ⑵⑵极值存在的必要条件：极值存在的必要条件：P72 P72 定理定理2 2 （（3）极值点的取值范围：驻点或不可导点。

极值点的取值范围：驻点或不可导点 ⑶ ⑶极值存在的充分条件：极值存在的充分条件： 定理定理1 1( (极值的第一充分条件）：极值的第一充分条件）： P73 P73 定理定理3 3定理定理2 2：：( (极值的第二充分条件）极值的第二充分条件） P74P74定理定理4 4（（4 4）求极值的）求极值的4 4个步骤：个步骤：P73P73（（1 1）确定函数的定义域，求出导数）确定函数的定义域，求出导数（（2 2）求出导数等于）求出导数等于0 0（驻点）和导数不存在的点（驻点）和导数不存在的点（（3 3）根据（）根据（2 2）中的点将定义域分成若干个区间，并确定）中的点将定义域分成若干个区间，并确定在每个区间的符号在每个区间的符号（（4 4）判断（）判断（2 2）中的点是否是极值点，是极大值还是）中的点是否是极值点，是极大值还是 极小值极小值理解教材理解教材 P71-74 的例题的例题5至例题至例题7例例 求函数求函数的单调增减区间的单调增减区间 和极值 4. 4. 函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值 (1)(1)闭区间上连续函数的最值的求法：只要算出所有驻闭区间上连续函数的最值的求法：只要算出所有驻点和不可导点以及端点处的函数值，再来比较这些值的点和不可导点以及端点处的函数值，再来比较这些值的大小，即能求出函数的最值大小，即能求出函数的最值。

(2) (2) 当函数在一个区间内可导且只有一个驻点，并且这个当函数在一个区间内可导且只有一个驻点，并且这个驻点是函数的极值点，那么这个驻点就是函数的最值点驻点是函数的极值点，那么这个驻点就是函数的最值点3)(3)在实际问题中，往往根据问题的性质就可以判定函数在实际问题中，往往根据问题的性质就可以判定函数确有最大值或最小值，而且必在的定义域区间取得，确有最大值或最小值，而且必在的定义域区间取得，此时，如果函数在定义域区间内只有一个驻点，那么往此时，如果函数在定义域区间内只有一个驻点，那么往往不经讨论就能断定是最大值或最小值往不经讨论就能断定是最大值或最小值 理解理解P75-76 P75-76 的例题的例题8-118-11 x2a-2xxC BAD 例．欲围一个面积为例．欲围一个面积为150150m m2 2的矩形场地正面所用材料的矩形场地正面所用材料造价为造价为6 6元元/ /m m，，其余三面所用材料的造价为其余三面所用材料的造价为3 3元元/ /m m，，求求场地的长、宽各为多少米时，所用材料费最少？场地的长、宽各为多少米时，所用材料费最少？解：设：场地的正面长为解：设：场地的正面长为x x米米  5 5．曲线的凹向及拐点：．曲线的凹向及拐点：P78P78 (3)求函数凹凸区间与拐点的求函数凹凸区间与拐点的4个步骤：个步骤：P80（（1 1）确定函数的定义域，求出导数）确定函数的定义域，求出导数（（2 2）求出二阶导数等于）求出二阶导数等于0 0和二阶导数不存在的点和二阶导数不存在的点（（3 3）根据（）根据（2 2）中的点将定义域分成若干个区间，并确定）中的点将定义域分成若干个区间，并确定在每个区间的符号在每个区间的符号（（4 4）判断）判断：：注：凹凸区间无所谓开、闭区间，一般为开区间注：凹凸区间无所谓开、闭区间，一般为开区间掌握掌握P79-80的例题的例题1-56. 6. 曲线的渐近线：曲线的渐近线： ⑴ ⑴水平渐近线水平渐近线 ⑵ ⑵铅直渐近线：铅直渐近线： 。