2-8 函数与方程、函数模型及其应用根底稳固强化1.(文)(湘潭调研)以下函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )[答案] C[解析] 能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)f(b)<0.A、B选项中不存在f(x)<0，D选项中零点两侧函数值同号，应选C.(理)假设函数f(x)在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(－2,2)内有一个零点，那么f(－2)f(2)的值( )A．大于0 B．小于0C．等于0 D．不能确定[答案] D[解析] 假设函数f(x)在(－2,2)内有且仅有一个零点，且是变号零点，才有f(－2)f(2)<0，故由条件不能确定f(－2)f(2)的值的符号．2．(文)(天津理)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3[答案] B[解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．∵f(x)＝2x＋x3－2,00在(0,1)上恒成立，∴f(x)在(0,1)上单调递增．又f(0)＝20＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，f(0)f(1)<0，那么f(x)在(0,1)内至少有一个零点，又函数y＝f(x)在(0,1)上单调递增，那么函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点．[点评] 有时也可以把函数零点的个数转化成两函数图象的公共点个数．(理)函数f(x)＝ax－x－a(a>0，a≠1)，那么函数f(x)的零点个数是( )A．0个 B．1个C．2个 D．至少1个[答案] D[解析] 在同一坐标系中作出函数y＝ax与y＝x＋a的图象，a>1时，如图(1)，00，所以函数f(x)在区间[1,2]上为增函数．假设存在零点，那么，解得a＋1≤b≤8＋2a.因此能使函数在区间[1,2]上有零点的有：a＝1,2≤b≤10，故b＝2，b＝4，b＝8.a＝2,3≤b≤12，故b＝4，b＝8，b＝12.a＝3,4≤b≤14，故b＝4，b＝8，b＝12.a＝4,5≤b≤16，故b＝8，b.4．偶函数f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且f(0)f(a)<0，那么方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0[答案] B[解析] ∵f(0)f(a)<0，∴f(x)在[0，a]中至少有一个零点，又∵f(x)在[0，a]上是单调函数，∴f(x)在[0，a]上有且仅有一个零点．又∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)在[－a,0)中也只有一个零点，故f(x)在[－a，a]内有两个零点，即方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数为2个．应选B.5．某航空公司经营A、B、C、D这四个城市之间的客运业务．它的局部机票价格如下：A—B为元；A—C为1600元；A—D为2500元；B—C为1200元；C—D为900元．假设这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，那么B—D的机票价格为( )(注：计算时视A、B、C、D四城市位于同一平面内)A．1000元 B．1200元C．1400元 D．1500元[答案] D[解析] 注意观察各地价格可以发现：A、C、D三点共线，A、C、B构成以C为顶点的直角三角形，如图可知BD＝5300＝1500.[点评] 观察、分析、联想是重要的数学能力，要在学习过程中加强培养．6．(文)(龙岩质检)假设偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝x2，那么关于x的方程f(x)＝()x在[0，]上根的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4[答案] C[解析] 由题意知f(x)是周期为2的偶函数，故当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，画出f(x)的图象，结合y＝()x的图象可知，方程f(x)＝()x在x∈[0，]时有3个根．[点评] 要注意在x∈(3，]时方程无解．(理)(河南新乡、平顶山、许昌调研)设函数f(x)＝假设方程f(x)－m＝0有且仅有两个实数根，那么实数m的取值范围是( )A．－10时，f(x)＝x3－3x＋1，∴f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∴00，f(x)单调递增，∴f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝－1，∴当m＝1时，直线y＝m与函数f(x)的图象有两个交点，当－140t，即W>P，所以使用液化气比使用汽油省钱．(2)①t＋5000＝，解得t≈545.5，又t≥0，t∈N，∴t＝546.②令40t＋5000＝，解得t＝750.所以，假设改装液化气设备，那么当行驶天数t∈[546,750]时，省出的钱等于改装设备的钱.能力拓展提升11.(文)函数f(x)在[－2,2]内的图象如下图，假设函数f(x)的导函数f ′(x)的图象也是连续不间断的，那么导函数f ′(x)在(－2,2)内有零点( )A．0个 B．1个C．2个 D．至少3个[答案] D[解析] f ′(x)的零点，即f(x)的极值点，由图可知f(x)在(－2,2)内，有一个极大值和两个极小值，故f(x)在(－2，2)内有三个零点，应选D.(理)(河南六市模拟)假设定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，函数g(x)＝那么函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数为( )A．9 B．8 C．7 D．6[答案] B[解析] ∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f(x)，又x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，∴f(x)的图象如下图，在同一坐标系中作出函数g(x)的图象，可见y＝f(x)(－5≤x≤5)与y＝2x(x≤1)有5个交点，y＝f(x)(－5≤x≤5)与y＝log3(x－1)(x>1)的图象有3个交点，∴共有8个交点．12．(文)设函数y＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0。
