分块矩阵、第二章矩阵习题课.doc

教 案（首页）NO 课 题矩阵分块 课时 2第二章习题课课 型新授课 讨论课 习题课 实验课 其它授课班级授课口期教学目 的1. 了解矩阵分块2. 掌握分块对角矩阵的性质，教学重点、难点及处理教学重点：本章知识结构及小结 教学难点：典型例题的理解与掌握教具设备挂 图课外作业课后 分析分块矩阵作为矩阵运算的技巧不必强调，只作一般性介绍，矩阵分块法 只讲而不考.但应强调按行或按列分块，因为“有序数组”称向量，“有 序向量组”即为矩阵，这是用矩阵讨论向量组的基础制定日期备 注备课笔记附后矩阵的分块法（简介）一、矩阵的分块矩阵按行按列分块 A =（O| a2… an） =urj二、分块矩阵的运算（与矩阵类似）特别地分块对角矩阵（与对角矩阵类似）00300、0-2-b求 |4 A10,A-1 ,A4r提示：|a| = |a』a』= 3,|a”)| = |a|0、aat =00、0、/〔0A)<0A,〔0A,\A-1l0=3,0A A7o*例 求证 A = 0^> A1 A = 0证明：必要性=> 显然充分性 <=设A = (] a2… %)T"%)% 0a; a2…％ %a[ax• • •a\ %• • ♦…就％♦ • • ♦ • ••.•人以二=0 故矿 0Cj= 0特别地 a1iai = 0 (顶= 1,2,…〃)J J/ c \"1 j即 用灼=(c如,％，…勾)"?二嫌+出+…站=0.\anl )得。

u = a2j = = anj = 0 (J = 1,2,…〃)所以 A = 0J J J第三章矩阵习题课一本章小结1、矩阵概念特殊矩阵0,",A，行矩阵、列矩阵2、 矩阵运算3、 线性方程组的矩阵形式AX =b4、 逆矩阵可逆的充要条件证明矩阵可逆的方法(1) AB = E (2) |ApO (3)可逆阵之积可逆5、 解矩阵方程AX = B,XB = C二典型例题讲解「2 1]例1 设人= ，矩阵8满足BA = B + 2E求B-1 2提示 B(A — E) = 2EB A-E =22 EB =2例 2 设 1 = (1,2,3),” = (1,?，!)电二6/”，求妃L 1 1)1 — —2 37提示 A = aTj3= 2 \ —,时=33 - 1I 2 )= aT/3 [••• 0 =aT(/3 a’)…(时)』=3卜 W/3 = 3卜 A例3 设〃阶方阵+ B都可逆，求证人一】+3一可逆，并求其逆矩阵提示 A-】+ Bl = A" E + EB-i = + A^AB1 = +(A"1 + Bi )-1 = (A-1 (A + B)B-】尸=B(A + A例4 设A为〃阶非零方阵，若求证A可逆提示 AA* = A4r \A\E = AAt若|A| = 0=> A4r =0=> A = 0矛盾 所以|A|/0, A可逆三习题选讲P5A 5举反列说明下列命题是错误的:(1 )若A2 = 0,则 A = 0；(2)若 A2 = A 测 A = 0 或 4 = E ；(3)若 AX = AV,且 A 主 0,则 X = Y.(2)\01)。

/1)0、A? = A,但 A 壬 0且 A A E(1 1)厂1 LAX = AY且ArO 但X^Y%21 设 A* =O(k 为正整数)，证明(&-A)t = E + A+ A2 + -•+ Ak~l.证明 .・.(E-A) (E + A + A2 +••• + Aa-,) = -A =E・・.(E 一 A)-1 = E +A +A2 + ••• + Ak~xpq7 AA BAA1 = A2BAA-} - ASEA1A\B = 2AB - 8E •.・ |A| = 2 B = 4(A + E)~* = diag(2,-4,2)A侃23 •/ AA* = AE .・.lA*=E , A*可逆，且(A)】=又(A~XA-]y =\a~1\e f. A 用A左乘等式两边 (A-】)* = |A-1A = |A|人=同=(A*)124设"阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明:⑴ 若 4=0,则4*=0； (2) A* = Aw-1.证明（1）用反证法证明.假设A*则有= E由此得 A = AA*(A*尸=|A|E(A*)T = O A A* = O这与|a*|^o矛盾，故当|a| = o时 有|a*| = o(2)由于A1 =——A*,则 AA* = \A\E取行列式得到：A A = A 若则A = A若A = 0由(1)知A* = 0此时命题也成 故有A* = An 1四学生练习(1 1 -1)1. 已知 A= -111,且 X 满足 A*X = A-1 +2X ,求 X1-11；\ /提示曲X = AAT+2AX, |A|X = E + 2AX"10、X =(\A\E-2A)-} = - 0 1 10 1、2 0求|与0 1J%。

1,2. 设三阶方阵A,B满足A?B-A-B = E,如4= 0I-2提示 (A-hE)(A-E)B = A+E ,而A+E可逆23. 设 a = (1,0-l)r, A = ,求 aE-Anq-2〃t 0提示aE-An=0 " 0 =a\a-2n)0 a-2n1。