延时Logistic混沌系统同步及控制的实验研究.pdf

东北师范大学硕士学位论文第一章引言1 ．1 混沌的本质及其基本特征混沌是发生在一类确定性非线性系统中的一种类似随机运动的现象公认最早认识到确定性系统中存在混沌运动并对它进行讨论的是P o i I l c a r e ，他在1 8 9 2 年发表的“天体力学新方法”中，引入了许多重要概念，如同宿异宿和双重渐近轨道等，分岔的概念和术语也是他提出来的P o i l l c a f e 的思想是超越时代的，但在很长时间内未受到人们的重视直到2 0 世纪六十年代才重新被提起对混沌的现代研究，则始于1 9 6 3 年美国气象学家L o r e n z 的工作L o r e n z 在研究大气层的热对流问题时，发现“蝴蝶效应”现象，即从两个近邻的初始轨道出发，随时间演化混沌轨道将呈指数方式分离此后，科学工作者对混沌运动规律做了大量研究工作，在各个学科领域的诸多系统如物理、机械、电子学、化学u 吲，甚至在社会和经济学系统中均已发现混沌现象的存在口3 混沌的基本特征是：( 1 ) 对初值的极端敏感；( 2 ) 其轨道由无穷多不稳定的周期轨道组成；( 3 ) 其轨道具有遍历性( 各态历经) 1 ．2 研究意义混沌运动具有长时间运动趋势不可预见性和类似于随机的性质( 确定性系统的内在随机性) ，系统输出的混沌信号常常不符合人们通常的需要。

因此，在许多实际问题中，混沌是一种有害的运动形式哺t9 1 而在混沌系统中，有效地控制或消除混沌使系统运行到正常的各种有序状态，是实际问题的需要随着混沌研究的不断深入，研究人员也越来越关注研究中非线性模型的准确性，把以往研究中简化的模型重新进行校验，发现这其中相当一部分动力系统的状态变量之间存在时间滞后现象，即系统的演化趋势不仅与系统当前的状态相关，而且还依赖于过去时间的状态变量现实生活中信号传输中的延时、工业控制中零点的漂移、元件的老化所形成的滞后、视觉的延迟、动物血液的再生等等，都是时滞现象的展现n 叫羽又由于在保密通讯及信息处理等方面，延时混沌具有比混沌更大容量，更好保密性和更高效率等优点，更加引起了人们的关注因此，研究延时混沌的控制与同步具有重要的实际意义目前延时动力系统成为许多领域的重要研究对象，在电路、神经网络、生物环境与医学、建筑结构、机械等领域做了大量研究，取得了许多重要成果n 3 哪又因为延时混沌系统为无穷维系统，此类系统可以创生具有多个正的L y 印u I l o v 指数的超混沌系统，具有简单结构的时滞系统却能产生具有极高随机性和不可预测性的时间系列，从而在同步时，可克服高维非延时超混沌系统在结构上庞大而复杂的缺点，同时又能提高保密性。

此外，延时混沌系统可以看成时空混沌系统的特殊情况，对延时混沌同步的深入研究定有助于抗破译能力，大大增强了一般时空混东北师范大学硕士学位论文沌同步的研究因此，对于延时混沌系统同步的研究是具有重要实际意义的，它有望成为高新技术的一个新的生长点3 国内外研究现状在近二十年的探索和发展过程中，对非线性延时动力学系统的研究延续了常微分方程平行的途径，从时域和频域两个方面进行展开如讨论稳定性的主要方法依然是特征值法和L y a p u n o v 方法，研究分岔的常用方法有摄动法、频域法、中心流形法与范式等等这些方法依然是刻画非线性常微分方程的工具其中研究非线性延时系统最为常用的方法有：( 1 ) 摄动法，是利用平均法、多尺度法、三级数法( K B M ) 和广义谐波平衡法，对延时系统进行展开，可以确定分岔解的渐进展开式这类方法比较简单直观，易于分析，它可以用于静态分岔、H o p f 分岔、准周期分岔等一系列问题的研究，并且能够得到解析结果乜“2 刳 2 ) 频域法，是A l l 、厕曲t ，M e s s 和C h u a 等人建立的研究H o p f 分岔的一种有效方法其思想是将描述的非线性系统方程转换为系统的频域方程；然后，利用传递函数来分析原动力系统的性质，例如局部分岔周期解的稳定性等∞1 。

3 ) P o i I l c a r e映射，对于含有多个状态变量的自治系统( 对非自治系统，将时间作为一个坐标，使空间维数增加一维，转化为自治系统) ，在多维相空间中选取一个P o 恤c a r e 截面，用点映射方法进行计算，通过研究截面上截点的分布规律来判断系统的分岔和混沌特性暖4 1 4 )中心流形法与范式，中心流形方法与P o i I l c a r e ．B i 舳o 《P B ) 范式两者相互结合是研究非线性延时系统常用的方法P B 范式是在平衡点附近利用坐标近似恒同变换把微分方程进行简化中心流形方法是在P B 范式的基础上，把局部中心流形上的向量场在子空间上进行投影，确定中心流形上的流进而进一步得到确定中心流形上的特性——稳定、渐进稳定或不稳定心5 1 5 ) L S 方法和奇异性理论方法，简称L S 方法，是将高维或无限维非线性方程化为低维方程的降维方法；奇异性理论则由G 0 1 u b i t s k y 等人在8 0 年代引入到分岔的研究中，它通过分析系统奇异点处的性态，来判断该奇异点是否处于分岔，故称为奇异性理论在研究分岔中常常将两者相互结合起来，利用约化的方法来将原来的方程降维，再通过奇异性理论加以判别。

并且，人们竞相投入的研究，发展了一些有代表性的混沌同步的方法，主要有：驱动——响应同步法( 完全代替方法) 及其各种变形( 例如：部分替代、偶然替代、混沌替代) 和一般分解法；变量耦合同步法；变量反馈同步法；自适应同步发和外部噪声驱动同步法等其中驱动——响应同步法只适用于多变量可分解和能复制的动力学系统，而有些系统从物理本质或天然特性上是无法分解的，理论上要求响应系统的条件李雅普诺夫指数为负值时，才能达到混沌同步为了战胜上述不足，提出了变量耦合同步法，实质上变量耦合同步法包括了驱动——响应同步法，耦合方式分为单向耦合和双向耦合本文将从这里作为切入点，沿用原有方法，或者使用在原有方法的基础上进行改进的方法对延时L o 西S t i c 混沌系统的同步和控制进行了研究本论文将从以下几个方面展开对延时混沌系统电路及其同步和控制进行研究：东北师范大学硕士学位论文1 ．用普通电子元件电感、电容实现延时混沌系统中的延时单元，将其产生的延时效果在电子线路实验中进行验证，发现不足并在电路中做了相应的弥补这为延时混沌系统在实际电路中的搭建提供了实验平台，突破了以往实验研究中没有合适的延时器这一局限，是本文的创新之处。

2 ．在实际电子电路中搭建了延时L o g i S t i c 混沌系统，并与数值计算结果进行比较，结果基本一致3 ．在实际电子线路实验中分别使用变量反馈同步方法和双向耦合同步法实现延时L o 西S t i c 混沌系统的同步，同时也从数值计算方面，验证了两种同步方法的切实有效性，并对其做了相应的比较4 ．在实际电子线路实验中用参数扰动同步方法实现延时L o g i S t i c 混沌系统的同步，同时也从数值计算方面，验证其有效性5 ．在实际电子线路实验中用双T 桥带阻滤波器控制延时L o g i s t i c 混沌系统，并与数值计算结果比较，取得较好控制效果实验研究是理论结果应用于实际问题的一个重要中间环节和必由之路而本论文的研究工作就是利于电子线路实验来研究非线性延时混沌系统的控制和同步问题，其目的是：一方面验证理论方案和结果的可行性和正确性；另一方面也期望本文的工作为实际应用提供可借鉴的实验基础东北师范大学硕士学位论文第二章延时混沌系统的动力学特性和常微分方程所描述的动力学系统不同，延时动力学系统由于自身的延时特性，使其解空间具有无限维如一般的一维非线性延时动力系统可以写为如下形式：量= 厂[ x ( f ) ，x O —f ) 】其中，f 为延迟时间。

如果将x ( f —r ) 做级数展开，应有：川叫= 薹等参m ) _ e 砖川)由于无穷阶导数的存在，延时量的出现相当于使原来的有限维系统f = O 变成了无限维系统这样的单变量的一维非线性延时动力系统可以发生混沌现象，这使它的理论分析往往很困难2 0 世纪中期计算机的高速发展为延时动力学系统的研究提供了有力的工具，使得我们能够应用与常微分方程理论相平行的方法对非线性延时动力学系统进行研究由于延时L o g i s t i c 系统具有丰富的动力学性态及广泛的实际背景，因而吸引了众多学者的兴趣2 ．1 延时L o g i s t i c 系统混沌特性延时L o g i S t i c 系统的动力学模型为渊：文@ ) = 一饿O ) + 瓒( ，一f ) ( 1 一x D —f ) )( 2 ．1 )对于式( 2 ．1 ) ，口> 0 ，厂是一个未知系数，f 是时间延迟量并且，圣= 出／咖，x ( s ) = 妒( s ) ，s ∈[ 呵，0 】本章从理论上和数值计算两方面分析了当参数，．变化时延时L o g i s t i c 系统的分岔与混沌现象引理2 ．1 ‘2 7 1对于特征方程允+ c + 抛一= O ，其中c ，6 为实数，当且仅当c > 一1 ，c + 6 > O ，6 口时，方程( 1 ．2 ) 的平衡点‰l = 0 是不稳定的；当％ 2 口一％时，“0 2 是不稳定的。

现在，我们讨论方程( 2 ．2 ) 的分岔情况定理2 ．3当，．经过临界值^ ：，0 ：一三正忑F 可时( 这里考是喜：一口ft 觚善，o < 考< 万的根) ，从平衡点％ O 到周期轨道的霍普分岔存在于延时L o g i s t i c 系统中；当，．经过临界值眨= 口时，从平衡点‰= o 到平衡点“ 1 一詈的分岔存在于延时L g i S t i c 系统中；当，．经过临界值巧= 2 口一％时，从平衡点‰= 1 一詈到周期轨道的霍普分岔存在于延时L g i s t i c系统中东北师范大学硕士学位论文证明：假设方程( 2 ．4 ) 有一个纯虚根，A = f w 0 ，w 0 = 月+ ，又令，= 兀，这样就有，式( 2 ．7 ) 可以写成，由定理2 ．2 ，可得，^ ％+ 口T 一匕t P 一毗= ( 口f 一兀t c o s ‰) + ( w j + 兀t s i nw 0 ) f = 0( 2 ．7 )啦= 霍普分岔现象出现的最后一个条件是掣l≠o d 厂I 吼接下来，让九= 七( ，．) + f w ( ，．) ，利用式( 2 ．4 ) ，可以得到，考虑到方程( 2 ．1 0 ) 从两个方向趋于，．，我们可得因此，我们有，( 2 ．8 )( 2 ．9 )( 2 ．1 0 )堕一T e 一々c o s w + 册一★c o s w 堂+ 九P 一女s i l l w 业= o?d ，d ，( 2 ．11 ) 业+ t P 一女s i n w 一九P 一女s 协w 竺+ 九P —Ic o s w 业：o d ，d ，d ，d [ R e ( A ) 1 I戤Id ，I ，；％d ，l 女= o 胪％，，I 尼：堡! ±丘! ：％[ ( 1 + ％t c o sw o ) 2 + ( ％f s i I l ％) 2 】。

≠O( 2 ．1 2 )这表示参数，．经过临界值‘= ％= 一号伍可，( 这里考是考- - 口ft a l l 毒，吣< 石的根) ，从平衡点‰ 0 到周期轨道的霍普分岔出现600==％％? 5 |f『‘匕一+f，O口Ⅵ，●●●(●【0=w0；兮=kw—m二璺一甄九++七M，●●●●f●●【高箫茄东北师范大学硕士学位论文类似的，我们可以证明，，经过临界值吩= 2 a 一％时，从平衡点‰= 1 一旦到周期轨道的霍普分岔出现很明显，当，．= 口时，方程( 2 ．4 ) ( 2 ．6 ) 的解通常是国= O 因此，当，．经过临界值眨= 口时，从平衡点“O 到平衡点“ 1 一旦的切分岔就会出现．证明完毕文中取乜=。