高数第2章导数与微分.doc

第 2 章导数与微分总结一、 重点： 1. 导数的概念； 2. 基本初等函数的导数；3. 函数和、差、积、商的导数；4.复合函数的求导法则； 5. 微分的意义； 6. 微分与导数的关系及微分的求解二、难点： 1. 导数概念；2. 复合函数的求导法则； 3. 隐函数的导数； 4.微分形式的不变性三、必须掌握的内容： 1.导数的定义； 2. 单侧导数，导函数； 3. 导数的几何意义； 4. 导数与连续的关系； 6. 基本初等函数的导数即导数基本公式；7. 函数和、差、积、商的导数；8.复合函数的求导法则； 9. 隐函数的求导法则； 10. 取对数求导方法； 11.高阶导数； 12. 微分的定义； 13. 微分与导数之间的关系； 14. 微分基本公式及其运算法则；15. 微分形式的不变性； 16. 微分的求解； 17. 微分在近似计算的应用（了解）第一节 重点： 导数概念；可导的主要条件；可导与连续的关系；可导的几何意义；难点：单侧导数；可导与连续的关系定义 1：函数 yf ( x) 在点 x0 的某邻域内有定义，当自变量x 在点 x0 处有改变量x 时，得对应的函数增量y 。

如果极限limylimf (x0x)f (x0 ) 存在，则称函数x 0xx0xf ( x) 在点 x0 处是可导的（否则称函数f ( x) 在点 x0 处不可导）；且把该极限称为函数f (x)在点 x0 处的导数记作： f ( x0 )，或 y，dyx x0x xdx0f ( x0x) f ( x0 )即： f ( x0 ) limx，x 0若令 x xx ，上式可表示为：f ( x0 ) limf ( x)f ( x0 )0xx0x x0利用定义可求函数在某点的导数例如：求 f ( x) 3x2 在 x 1 处的导数等定义 2：若函数 f ( x) 在区间 (a, b) 内的每一点处都可导，则称函数 f (x) 在区间 ( a, b) 内可导由于导数的值与点 x 有关，对于区间 (a, b) 内的每一个 x 的值，都有唯一确定的导数值与之对应，这样就确定了区间 ( a, b) 内的一个函数 f ( x) ，称之为函数 f ( x) 在区间 (a, b) 内7的导函数，简称导数，记作：，或 y ，dy ，df ( x) dx dx例如： f ( x) x3 的导数是 f (x) 3x2 ，那么 f (2) 3x2 x 2 12 。

定义 3：如果极限 lim f ( x0x)f ( x0 ) 存在，则称其为函数f (x) 在点 x0 处的左导数，x 0x记作 f( x) ；如果极限limf (x0x)f (x0 ) 存在，称其为函数f ( x) 在点 x 处的0x 0x0右导数，记作 f ( x0 ) 左、右导数统称为函数的单侧导数左、右导数也可分别表示如下：f (x0 ) limf ( x)f ( x0 )； f (x0 ) limf (x)f ( x0 )xx0xx0x x0x x0结论 : f (x0 ) 存在的充分必要条件是函数 f (x) 在点 x0 的左、右导数分别存在且相等即： f ( x0 ) A f ( x0 ) f ( x0 ) A注意：本条件主要用于判断分段函数在分界点处是否可导x x 0例：讨论函数 f (x) x2 0 x 1 ，在点 x 0 处的连续性及可导性2x 1 x 1解：（连续性）∵ lim f ( x)lim( x)0 ， lim f ( x)lim x20 ； ∴ lim f ( x)0 ，x 0x 0x 0x 0x 0又∵ f (0) 0 lim f ( x) ∴ f (x) 在 x 0 处连续。

x 0f (x)f(0)limx（可导性）：∵ f (0) lim01x 0xx 0xf (0) limf (x)f (0)limx20 f (0) f (0) ∴ f (x) 在 x0 处不可导x 0x0x 0x7注意在分界点讨论连续和可导方法可导与连续的关系： 若函数 y f (x) 在点 x0 处可导， 则 f ( x) 在点 x0 处一定连续关于可导与连续的关系可总结如下：① 若 f (x) 在点 x0 处可导，则 f ( x) 在点 x0 处一定连续；② 若 f (x) 在点 x0 处连续，则 f (x) 在点 x0 处不一定可导 （可举例说明） ；③ 若 f (x) 在点 x0 处不连续，则 f (x) 在点 x0 处一定不可导；④ 若 f (x) 在点 x0 处不可导，则 f (x) 在点 x0 处不一定连续导 数 的 几 何 意 义 ： 函 数 f ( x) 在 点 x0 处 的 导 数 f ( x0 ) ， 就 是 曲 线 yf ( x) 在 点( x0 , f ( x0 ) ) 处切线的斜率 K . 即 K f ( x0 ) .例如：求过曲线 y x2 上点 (2, 4) 处的切线方程。

解：由导数定义 3.1 可求出 y x 2 4 . ∴ K切 y x 2 4那么所求切线方程是： y 4 4( x 2) 即 y 4x 4 0 .本节小结： 通过本节学习， 要理解和掌握导数概念； 可导的充要条件及利用该条件来判别在某点导数是否存在； 导数的几何意义及相关问题的求解； 掌握可导与连续之间的关系， 并明确连续是可导的必要条件第二节 重点： ①基本求导公式；②函数和、差、积、商的导数；③复合函数求导法则；④隐函数的导数；难点：①复合函数求导法则； ②隐函数的导数1、基本求导公式： （见课本）注意：①以上公式是求函数的导数最基本工具， 一定要记住； ②公式中函数是基本初等函数2、四则运算：函数和、差、积、商的导数（见课本）可以通过以下例题来进一步掌握和巩固以上法则71、设 y x3 4cos x sin ，求 y ；2、设 y ex (sin x cos x) ，求 y ；2x44，求yx21y3x3x213、设 y；4、设 y，求3、复合函数求导法则：设函数 u (x) 在点 x 可导，函数 y f (u) 在对应点 u 可导，则复合函数 yf [ f ( x)] 在点 x 可导，且 dyf( u ) ( x) 。

dx重复利用上述方法， 可以把定理推广到函数有限次复合的情形可以通过做下面题目来进一步掌握和巩固以上法则1. 设 y(3x 1)6，求y ； 2.设 y (x )8，求 y；2x13. 设 y e x2 3，求 y；4. 设 yln( xx2a2 ) ，求 y 注意：①以上例题讲解可先做一至两道写出复合过程然后再进行求导数，然后过渡到把复合过程记在心里， 进行求导数； ②要得到强调写出复合过程求导数与不写出复合过程求导数的书写格式上的区别如： y sin 2x：1、若设 y sin u ， u2x，则 y(sin )u(2 ) x；2、若把复合过程记在心里，则 y (sin 2x) cos2x (2 x) 4、隐函数的导数：对方程F (x, y)0（设 y 是 x 的函数）两边关于x 求导，遇到y 的函数就看成是关于 x 的复合函数，这样便得到关于所求导数y 的方程，然后从中解出y 即可可以通过以下例题来进一步掌握和巩固以上方法：1.求由方程 xyex y 所确定的函数y y( x) 的导数 y ；2.求由方程 ln( x2y2 )arctan y 所确定的 y 关于 x 的导数 y ；x3.求曲线 x2xyy24 上点 (2,2) 处的切线方程。

75、取对数求导法取对数求导数意义：①是通过取对数将幂指函数 y [u(x)] v(x ) 转型；②是可使较复杂的求导过程简化可以通过以下例题来进一步掌握和巩固此方法1. 已知 yxx，求y； 已知ex，求y；2.y x3. 已知 y(x1)(x2) ，求y ；4. 已知 yxsin x2x 1 ，求 y x3)(x4)本节小结： 通过本节学习： ①要熟记基本求导公式， 函数的和、 差、积、商的求导法则； ②要理解和熟练掌握复合函数求导法则； ③掌握隐函数求导数方法和取对数求导方法第三节 重点： ①高阶导数的概念； ②高阶导数的求解； 难点： n 阶导数的求解定义：设函数 y f ( x) 在 x 处可导，若 f (x) 在 x 处仍可导，则称 f ( x) 的导数为 y f ( x)d 2 y在 x 处的二阶导数， 记为： f (x) ，y 或 ；2dx注意：① f (x) lim0f (x x) f (x)xx。