苏教版高二数学必修五课件：《等比数列》.docx

苏教版高二数学必修五课件：《等比数列》　　课件一　　教学目标：　　灵活应用等比数列的定义及通项公式，深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；提高学生的数学素质，增强学生的应用意识.　　教学重点：　　1.等比中项的理解与应用.　　2.等比数列定义及通项公式的应用.　　教学难点：　　灵活应用等比数列定义、通项 公式、性质解决一些相关问题.　　教学过程：　　Ⅰ.复习回顾　　等比数列定义，等比数列通项公式　　Ⅱ.讲授新课　　根据定义、通项公式，再与等差数列对照，看等比数列具有哪些性质?　　（1）若a，A，b成等差数列 a=a+b2 ，A为等差中项.　　那么，如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，　　则即Ga =bG ，即G2=ab　　反之，若G2=ab，则Ga =bG ，即a，G，b成等比数列　　∴a，G，b成等比数列 G2=ab （ab≠0）　　总之，如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G=±ab ，（a，b同号）　　另外，在等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq，那么，在等比数列中呢?　　由通项公式可得：am=a1qm-1，an=a1qn-1，ap=a1qp-1，aq=a1-1　　不难发现：aman=a12qm+n-2，apaq=a12qp+q-2　　若m+n=p+q，则aman=a paq　　下面看应用这些性质可以解决哪些问题?　　[例1]在等比数列{an}中，若a3a5=100，求a4.　　分析：由等比数列性质，若m+n=p+q，则aman=apaq可得：　　解：∵在等比数列中，∴a3a5=a42　　又∵a3a5=100，∴a4=±10.　　[例2]已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求证{anbn}是等比数列.　　分析：由等比数列定义及通项公式求得.　　解：设数列{an}的首项是a1，公比为p；{bn}的首项为b1，公比为q.　　则数列{an}的第n项与第n+1项分别为a1pn-1，a1pn　　数列{bn}的第n项与第n+1项分别为b1qn-1，b1qn.　　数列{anbn}的第n项与第n+1项分别为a1pn-1b1qn-1与a1pnb1qn，即为　　a1b1（pq）n-1与a1b1（pq）n　　∵an+1an bn+1bn =a1b1（pq）na1b1（pq）n-1 =pq　　它是一个与n无关的常数，　　∴{anbn}是一个以pq为公比的等比数列.　　特别地，如果{an}是等比数列， c是不等于0的常数，那么数列{can}是等比数列.　　[例3]三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数.　　解：设m，G，n为此三数　　由已知得：m+n+G=14，mnG=64，　　又∵G2=m n，∴G3=64，∴G=4，∴m+n=10　　∴m=2n=8 或m=8n=2　　即这三个数为2，4，8或8，4，2.　　评述：结合已知条件与定义、通项公式、性质，选择解题捷径.　　Ⅲ.课堂练习　　课本P50练习1，2，3，4，5.　　Ⅳ.课时小结　　本节主要内容为：　　（1）若a，G，b成等比数列，则G2 =ab，G叫做a与b的等比中项.　　（2）若在等比数列中，m+n=p+q，则aman=apaq　　Ⅴ.课后作业　　课本P52习题 5，6，7，9　　课件二　　1.已知数列{an}为等比数列，且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（ ）　　A.5 B.10 C.15 D.20　　2.在等比数列中，a1=1，q∈R且|q|≠1，若am=a1a2a3a4a5，则m等于 （ ）　　A.9 B.10 C.11 D.12　　3.非零实数x、y、z成等差数列，x+1、y、z与x、y、z+2分别成等比数列，则y等于（ ）　　A.10 B.12 C.14 D.16　　4.有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.　　5.在数列{an}和{bn}中，an>0，bn>0，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，a1=1，b1=2，a2=3，求an∶bn的值.　　6.设x>y >2，且x+y，x-y，xy，yx 能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.　　7.有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.　　等比数列（二）答案　　1 .已知数列{an}为等比数列，且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（ ）　　A.5 B.10 C.15 D.20　　分析：要确定一个等比数列，必须有两个独立条件，而这里只有一个条件，故用先确定基本量a1和q，再求a3+a5 的方法是不行的，而应寻求a3+a5整体与已知条件之间的关系.　　解法一：设此等比数列的公比为q，由条件得a1qa1q3+2a1q2a1q4+a1q3a1q5=25　　即a12q4（q2+1）2=25，又an>0，得q>0　　∴a1q2（q2+1）=5　　a3+a5=a1q2+a1q4=a1q2（q2+1）=5　　解法二：∵a2a4+2a3a5+a4a6=25　　由等比数列性质得a32+2a3a5+a52=25　　即（a3+a5）2=25，又an>0，∴a3+a5=5　　评述：在运用方程思想方法的过程中，还要注意整体观念，善于利用等比数列的性质，以达到简化解题过程、快速求解的目的.　　2.在等比数列中，a1=1，q∈R且|q|≠1，若am=a1a2a3a4a5，则m等于 （ ）　　A.9 B.10 C.11 D.12　　解：∵am=a1a2a3a4a5=a15q1+2+3+4=a15q10=a15q11-1　　又∵a1=1，∴am=q11-1，∴m=11. 答案：C　　3.非零实数x、y、z成等差数列，x+1、y、z与x、y、z+2分别成等比数列，则y等于（ ）　　A.10 B.12 C.14 D.16　　解：由已知得2y=x+zy2=（x+1）zy2=x（z+2） 2y=x+zy2=（x+1）zz=2x 2y=3xy2=（x+1）2x y=12　　答案：B　　4.有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.　　解：设所求的四个数分别为a，x-d，x，x+d　　则（x-d）2=ax ①a+（x-d）+x=19 ②（x-d）+x+（x+d）=12 ③　　解得x=4，代入①、②得（4-d）2=4a a-d=11　　解得a=25d=14 或a=9d=-2　　故所求四个数为25，-10，4，18或9，6，4，2.　　5.在数列{an}和{bn}中，an>0，bn>0，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，a1=1， b1=2，a2=3，求an∶bn的值.　　分析：关键是求出两个数列的通项公式.根据条件，应注意两个数列之间的联系及相互转换.　　解：由题意知：2bn=an+an+1 ①an+12=bnbn+1 ②　　∴an+1=bnbn+1 ，an=bnbn-1 （n≥2）　　代入①得2bn=bnbn+1 +bnbn-1　　即2bn =bn+1 +bn-1 （n≥2）　　∴{bn }成等差数列，设公差为d　　又b1=2，b2=a22b1 =92 ，　　∴d=b2 -b1 =322-2 =22　　∴bn =2 +22（n-1）=22（n+1），bn=12 （n+1）2，　　当n≥2时，an=bnbn-1 =n（n+1）2 ③　　且a1=1时适合于③式，故 anbn =nn+1 .　　评述：对于通项公式有关系的两个数列的问题，一般采用消元法，先消去一个数列的项，并对只含另一个数列通项的关系进行恒等变形，构造一个新的数列.　　6.设x>y>2，且x+y，x-y，xy，yx 能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.　　分析：先由x>y>2，可知x-y　　解：∵x> y>2，x+y>x-y，xy>x+y，而 yx 1　　当 yx　　则有 yx xy=（x-y）（x+y）（x+y）2=（x-y）xy　　解方程组得x=7+52 ，y=5+72 2　　∴所求等比数列为22，2+32 2 ，12+172 2 ，70+992 2 .　　当 yx >x-y时，由x-y， yx ，x+y，xy顺次构成等比数列　　则有yx xy=（x+y）2yx （x+y）=（x-y）xy　　解方程组得y=112 ，这与y>2矛盾，故这种情况不存在.　　7.有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.　　分析一：从后三个数入手.　　解法一：设所求的四个数为 （x-d）2x ，x-d，x，x+d，根据题意有　　（x-d）2x +（x+d）=21（x-d）+x=18 ，解得x=12d=6 或x=274 d=92 274　　∴所求四个数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .　　分析二：从前三数入手.　　解法二：设前三个数为 xq ，x，xq，则第四个数为2xq-x.　　依题设有xq +2xq-x=21x+xq=18 ，解得x=6q=2 或x=454 q=35　　故所求的四个数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .　　分析三：从首末两项的和与中间两项的和入手.　　解法三：设欲求的四数为x，y，18-y，2-x，由已知得：　　y2=x（18-y）2（18-y）=y+（21-x） ，解得x=3y=6 或x=754 y=454　　∴所求四数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .。