实对称矩阵的对角化.ppt

四四. 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 , 使得使得更可找到更可找到正交矩阵正交矩阵 ，，使得使得定理定理1 1：：实对称矩阵的特征值为实数实对称矩阵的特征值为实数. .证：设证：设 是是 的任一特征值，（往证的任一特征值，（往证 ））是对应于是对应于 的特征向量，的特征向量，则则设设用用 表示表示 的共轭复数，的共轭复数， 表示表示 的共轭复向量的共轭复向量则则又又 是实对称矩阵，是实对称矩阵， 且且由由(1)(2)有有等号两边同时左乘等号两边同时左乘左边左边右边右边即即考虑考虑即即 为实数定理定理1 1的意义：的意义：因为对称矩阵因为对称矩阵 的特征值的特征值 为实数，所以齐次线性方程组为实数，所以齐次线性方程组又因为又因为 ，可知该齐次线性方程组一定有实的，可知该齐次线性方程组一定有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。

基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量是实系数方程组是实系数方程组定理定理2：：实对称矩阵实对称矩阵 的对应于不同特征值的特征向量的对应于不同特征值的特征向量正交是依次与之对应的特征向量是依次与之对应的特征向量证：设证：设 是对称矩阵是对称矩阵 的两个特征值，且的两个特征值，且则则于是于是为实对称矩阵，为实对称矩阵，考虑考虑即即 正交定理定理3：： 为为 阶实对称矩阵，阶实对称矩阵， 是是 的的 重特征值，重特征值，即即 的基础解系所含向量个数为的基础解系所含向量个数为则对应于则对应于 的特征向量中，线性无关的向量的个数为的特征向量中，线性无关的向量的个数为 （（则则 ））知知道道结结论论即即可可定理定理4：：(实对称矩阵必可对角化实对称矩阵必可对角化)对于任一对于任一 阶阶实对称矩阵实对称矩阵 ，，一定存在一定存在 阶阶正交矩阵正交矩阵 使得使得其中其中 是以是以 的的 个特征值为对角元素的对角阵。

个特征值为对角元素的对角阵证：设实对称阵证：设实对称阵 的互不相等的特征值为的互不相等的特征值为它们的重数依次为它们的重数依次为则则由定理，特征值由定理，特征值 （重数为（重数为 ）对应的线性无关的）对应的线性无关的特征向量为特征向量为 个 把它们正交化，再单位化，即得把它们正交化，再单位化，即得 个单位正交的特征向量个单位正交的特征向量所以，可得这样的单位正交向量所以，可得这样的单位正交向量 个又又 是实对称阵，是实对称阵，上面得到的上面得到的 个单位特征向量两两正交个单位特征向量两两正交以它们为列向量构成正交矩阵以它们为列向量构成正交矩阵 ，有，有不同特征值对应的特征向量正交，不同特征值对应的特征向量正交，其中其中 的对角元素含有的对角元素含有 个个个个个个恰是恰是 的的 个特征值个特征值求正交矩阵求正交矩阵 ，把实对称矩阵，把实对称矩阵 化为对角阵的方法：化为对角阵的方法：1. 解特征方程解特征方程求出对称阵求出对称阵 的全部不同的特征值的全部不同的特征值。

即求齐次线性方程组即求齐次线性方程组的基础解系的基础解系3. 将属于每个将属于每个 的特征向量先正交化，再单位化的特征向量先正交化，再单位化2. 对每个特征值对每个特征值 ，求出对应的特征向量，，求出对应的特征向量，这样共可得到这样共可得到 个两两正交的单位特征向量个两两正交的单位特征向量4. 以以 为列向量构成正交矩阵为列向量构成正交矩阵有有即即必须注意：对角阵中必须注意：对角阵中 的顺序的顺序要与特征向量要与特征向量 的排列顺序一致的排列顺序一致例例1：设：设求正交矩阵求正交矩阵 ，，使得使得 为对角阵为对角阵解解：：当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为得基础解系得基础解系令令令令先正交化：先正交化：再单位化：令再单位化：令当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为令令得基础解系得基础解系单位化得单位化得得正交矩阵得正交矩阵有有例例2：设：设求正交矩阵求正交矩阵 ，，使得使得 为对角阵。

为对角阵解：解：当当 时，由时，由即即得基础解系得基础解系只需只需把把 单位化单位化，得，得（考虑为什么？）（考虑为什么？）当当 时，由时，由即即得基础解系得基础解系只需只需把把 单位化单位化，得，得当当 时，由时，由即即得基础解系得基础解系只需只需把把 单位化单位化，得，得得正交矩阵得正交矩阵有有。