第二节一元二次不等式及其解法 【【知知识梳理梳理】】1.1.必会知必会知识 教材回扣 填一填教材回扣 填一填(1)(1)一元二次不等式的特征一元二次不等式的特征: :一元二次不等式的二次一元二次不等式的二次项( (最高次最高次项) )系数系数_______0._______0.不等于不等于 (2)(2)一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系: :判判别式式Δ=bΔ=b2 2-4ac-4acΔ>0Δ>0Δ=0Δ=0Δ<0Δ<0二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a>0)+bx+c(a>0)的的图象象一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a>0)+bx+c=0(a>0)的根的根 (2)(2)一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系: :判判别式式Δ=bΔ=b2 2-4ac-4acΔ>0Δ>0Δ=0Δ=0Δ<0Δ<0二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a>0)+bx+c(a>0)的的图象象一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a>0)+bx+c=0(a>0)的根的根有两个相异有两个相异实根根x x1 1,x,x2 2(x(x1 10Δ>0Δ=0Δ=0Δ<0Δ<0axax2 2+bx+c>0(a>0)+bx+c>0(a>0)的的解集解集______________________________________________axax2 2+bx+c<0(a>0)+bx+c<0(a>0)的的解集解集__________________________在不等式在不等式axax2 2+bx+c>0(a≠0)+bx+c>0(a≠0)中中, ,如果二次如果二次项系数系数a<0,a<0,则可根据不等式可根据不等式的性的性质, ,将其将其转化化为正数正数, ,再再对照上表求解照上表求解. . 判判别式式Δ=bΔ=b2 2-4ac-4acΔ>0Δ>0Δ=0Δ=0Δ<0Δ<0axax2 2+bx+c>0(a>0)+bx+c>0(a>0)的的解集解集______________________________________________R Raxax2 2+bx+c<0(a>0)+bx+c<0(a>0)的的解集解集______________________∅ ∅____{x|xxx>x2 2} }{x|x≠x{x|x≠x1 1} }{x|x{x|x1 10(a≠0)+bx+c>0(a≠0)中中, ,如果二次如果二次项系数系数a<0,a<0,则可根据不等式可根据不等式的性的性质, ,将其将其转化化为正数正数, ,再再对照上表求解照上表求解. . (3)(3)用程序框用程序框图表示一元表示一元二次不等式二次不等式axax2 2+bx+c>0+bx+c>0(a>0)(a>0)的求解的求解过程程Δ≥0?Δ≥0?(-∞,x(-∞,x2 2)∪(x)∪(x1 1,+∞),+∞)R R 2.2.必必备结论 教材提教材提炼 记一一记(x-a)(x-b)>0(x-a)(x-b)>0或或(x-a)(x-b)<0(x-a)(x-b)<0型不等式解法型不等式解法不等式不等式解集解集aba>b(x-a)(x-b)>0(x-a)(x-b)>0____________________________________________(x-a)(x-b)<0(x-a)(x-b)<0________________________ 2.2.必必备结论 教材提教材提炼 记一一记(x-a)(x-b)>0(x-a)(x-b)>0或或(x-a)(x-b)<0(x-a)(x-b)<0型不等式解法型不等式解法不等式不等式解集解集aba>b(x-a)(x-b)>0(x-a)(x-b)>0{x|xb}x>b}____________________________________________(x-a)(x-b)<0(x-a)(x-b)<0________________________{x|ba}x>a}{x|a0.(a>0.( ) )(2)(2)若不等式若不等式axax2 2+bx+c>0+bx+c>0的解集是的解集是(-∞,x(-∞,x1 1)∪(x)∪(x2 2,+∞),,+∞),则方程方程axax2 2+bx++bx+c=0c=0的两个根是的两个根是x x1 1和和x x2 2.(.( ) )(3)(3)若方程若方程axax2 2+bx+c=0(a≠0)+bx+c=0(a≠0)没有没有实数根数根, ,则不等式不等式axax2 2+bx+c>0+bx+c>0的解集的解集为R.(R.( ) )(4)(4)不等式不等式axax2 2+bx+c≤0+bx+c≤0在在R R上恒成立的条件是上恒成立的条件是a<0a<0且且Δ=bΔ=b2 2-4ac≤0.(-4ac≤0.( ) ) 【【解析解析】】(1)(1)正确正确. .由不等式由不等式axax2 2+bx+c<0+bx+c<0的解集为的解集为(x(x1 1,x,x2 2) )可知函数对应可知函数对应的抛物线开口向上的抛物线开口向上, ,因此必有因此必有a>0.a>0.(2)(2)正确正确. .由一元二次不等式的解集与相应方程的根的关系可知结论是由一元二次不等式的解集与相应方程的根的关系可知结论是正确的正确的. .(3)(3)错误错误. .只有当只有当a>0a>0时才成立时才成立, ,当当a<0a<0时时, ,若方程若方程axax2 2+bx+c=0(a≠0)+bx+c=0(a≠0)没有没有实数根实数根, ,则不等式则不等式axax2 2+bx+c>0+bx+c>0的解集为空集的解集为空集. .(4)(4)错误错误. .还要考虑还要考虑a=0a=0的情况的情况, ,不等式不等式axax2 2+bx+c≤0+bx+c≤0在在R R上恒成立的条件上恒成立的条件是是a=0,b=0,c≤0a=0,b=0,c≤0或或a<0a<0且且Δ=bΔ=b2 2-4ac≤0.-4ac≤0.答案答案: :(1)√(1)√ (2)√(2)√ (3)(3)×× (4)(4)×× 2.2.教材改教材改编 链接教材 接教材 练一一练(1)((1)(必修必修5P805P80习题3.2A3.2A组T1(3)T1(3)改改编) )不等式不等式x x2 2-3x-10>0-3x-10>0的解集是的解集是( ( ) )A.(-2,5) B.(5,+∞)A.(-2,5) B.(5,+∞)C.(-∞,-2) D.(-∞,-2)∪(5,+∞)C.(-∞,-2) D.(-∞,-2)∪(5,+∞) 2.2.教材改教材改编 链接教材 接教材 练一一练(1)((1)(必修必修5P805P80习题3.2A3.2A组T1(3)T1(3)改改编) )不等式不等式x x2 2-3x-10>0-3x-10>0的解集是的解集是( ( ) )A.(-2,5) B.(5,+∞)A.(-2,5) B.(5,+∞)C.(-∞,-2) D.(-∞,-2)∪(5,+∞)C.(-∞,-2) D.(-∞,-2)∪(5,+∞)【【解析解析】】选选D.xD.x2 2-3x-10=(x-5)(x+2)>0,-3x-10=(x-5)(x+2)>0,所以所以x>5x>5或或x<-2.x<-2.故原不等式的解集为故原不等式的解集为(-∞,-2)∪(5,+∞).(-∞,-2)∪(5,+∞). (2)((2)(必修必修5P815P81习题习题3.2B3.2B组组T2T2改编改编) )关于关于x x的一元二次方程的一元二次方程mxmx2 2－－(1(1－－m)xm)x+m=0+m=0没有实数根，则没有实数根，则m m的取值范围是的取值范围是_______._______. (2)((2)(必修必修5P815P81习题习题3.2B3.2B组组T2T2改编改编) )关于关于x x的一元二次方程的一元二次方程mxmx2 2－－(1(1－－m)xm)x+m=0+m=0没有实数根，则没有实数根，则m m的取值范围是的取值范围是_______._______.【【解析解析】】若方程若方程mxmx2 2－－(1(1－－m)x+m=0m)x+m=0没有实数根，没有实数根，则则 解得解得m0)<0(a>0)的解集为的解集为(x(x1 1，，x x2 2) )，且，且x x2 2-x-x1 1=15=15，则，则a=( )a=( ) (2)(2013(2)(2013··重庆高考重庆高考) )关于关于x x的不等式的不等式x x2 2-2ax-8a-2ax-8a2 2<0(a>0)<0(a>0)的解集为的解集为(x(x1 1，，x x2 2) )，且，且x x2 2-x-x1 1=15=15，则，则a=( )a=( )【【解析解析】】选选A.A.由题意知由题意知, , 不等式不等式x x2 2-2ax-8a-2ax-8a2 2<0(a>0)<0(a>0)的解集为的解集为( (－－2a,2a,4a),4a),因为因为x x2 2-x-x1 1=15,=15,所以所以4a4a－－( (－－2a)=15,2a)=15,解得解得 【【解题提示解题提示】】(1)(1)把不等式化简变形，确定相应方程的两个根，然后把不等式化简变形，确定相应方程的两个根，然后根据二次函数的性质得到不等式的解集根据二次函数的性质得到不等式的解集. .(2)(2)先求先求a a＝＝0 0时不等式的解集，再分时不等式的解集，再分a>0a>0和和a<0a<0两种情况求解．两种情况求解． 当当01a>1时，不等式的解集为时，不等式的解集为 【【互互动探究探究】】本例本例(2)(2)的不等式改的不等式改为x x2 2-(a+1)x+a<0,-(a+1)x+a<0,求其解集求其解集. . 【【互互动探究探究】】本例本例(2)(2)的不等式改的不等式改为x x2 2-(a+1)x+a<0,-(a+1)x+a<0,求其解集求其解集. .【【解析解析】】原不等式可化为原不等式可化为(x-1)(x-a)<0,(x-1)(x-a)<0,①①当当a>1a>1时时, ,解集为解集为{x|11a>1时时, ,解集为解集为{x|10Δ>0，即，即 时，方程时，方程x x2 2－－2ax2ax＋＋3 3＝＝0 0的两根为的两根为 且且x x1 1>x>x2 2. .所以所以 【【加固训练加固训练】】设二次不等式设二次不等式axax2 2＋＋bxbx＋＋1>01>0的解集为的解集为则则abab的值为的值为( )( )A.A.－－6 B.6 B.－－5 5 C.6 C.6 D.5D.5 【【加固训练加固训练】】设二次不等式设二次不等式axax2 2＋＋bxbx＋＋1>01>0的解集为的解集为则则abab的值为的值为( )( )A.A.－－6 B.6 B.－－5 5 C.6 C.6 D.5D.5【【解析解析】】选选C.C.由题意知，方程由题意知，方程axax2 2＋＋bxbx＋＋1 1＝＝0 0的两根为－的两根为－1 1，，则有则有解得解得 所以所以abab＝＝6 6，故选，故选C.C. 考点考点2 2 一元二次不等式恒成立一元二次不等式恒成立问题知知··考情考情 一元二次不等式的恒成立 一元二次不等式的恒成立问题以及三个以及三个““二次二次””间的的联系及系及综合合应用是高考的用是高考的热点点, ,而且常与函数、而且常与函数、导数等知数等知识交交汇命命题, ,考考查应用分用分类讨论、数形、数形结合、合、转化思想解决化思想解决问题的能力的能力. . 明明··角度角度命命题角度角度1:1:形如形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)求参数的取求参数的取值范范围【【典例典例2 2】】(2013(2013··重重庆高考高考) )设0≤α≤π,0≤α≤π,不等式不等式8x8x2 2-(8sinα)x+-(8sinα)x+cos 2α≥0cos 2α≥0对x∈Rx∈R恒成立恒成立, ,则αα的取的取值范范围为 . . 明明··角度角度命命题角度角度1:1:形如形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)求参数的取求参数的取值范范围【【典例典例2 2】】(2013(2013··重重庆高考高考) )设0≤α≤π,0≤α≤π,不等式不等式8x8x2 2-(8sinα)x+-(8sinα)x+cos 2α≥0cos 2α≥0对x∈Rx∈R恒成立恒成立, ,则αα的取的取值范范围为 . .【【解题提示解题提示】】因为不等式恒成立因为不等式恒成立, ,所以判别式小于等于零所以判别式小于等于零, ,直接求解即直接求解即可可. . 【【规范解答规范解答】】因为不等式因为不等式8x8x2 2-(8sinα)x+cos2α≥0-(8sinα)x+cos2α≥0对对x∈Rx∈R恒成立恒成立, ,所以所以Δ=64sinΔ=64sin2 2α-32cos2α≤0,α-32cos2α≤0,即即64sin64sin2 2α-32+64sinα-32+64sin2 2α≤0,α≤0,解得解得0≤sin α≤ (0≤α≤π).0≤sin α≤ (0≤α≤π).因为因为0≤α≤π,0≤α≤π,所以所以答案答案: : 命命题角度角度2:2:形如形如f(x)≥0(f(x)≥0(参数参数k∈[a,b])k∈[a,b])求求x x的取的取值范范围【【典例典例3 3】】(2015(2015··兰州模州模拟) )对任意的任意的k∈[-1,1],k∈[-1,1],函数函数f(x)=xf(x)=x2 2+ +(k-4)x+4-2k(k-4)x+4-2k的的值恒大于零恒大于零, ,则x x的取的取值范范围是是 . . 命命题角度角度2:2:形如形如f(x)≥0(f(x)≥0(参数参数k∈[a,b])k∈[a,b])求求x x的取的取值范范围【【典例典例3 3】】(2015(2015··兰州模州模拟) )对任意的任意的k∈[-1,1],k∈[-1,1],函数函数f(x)=xf(x)=x2 2+ +(k-4)x+4-2k(k-4)x+4-2k的的值恒大于零恒大于零, ,则x x的取的取值范范围是是 . .【【解题提示解题提示】】把二次函数的恒成立问题转化为把二次函数的恒成立问题转化为y=k(x-2)+xy=k(x-2)+x2 2-4x+4>0-4x+4>0在在k k∈∈[-1,1][-1,1]上恒成立上恒成立, ,再利用一次函数函数值恒大于再利用一次函数函数值恒大于0 0所满足的条件即可求所满足的条件即可求出出x x的取值范围的取值范围. . 【【规范解答规范解答】】因为任意因为任意k∈[-1,1],k∈[-1,1],函数函数f(x)=xf(x)=x2 2+(k-4)x-2k+4>0+(k-4)x-2k+4>0恒成立恒成立, ,所以所以f(k)=k(x-2)+xf(k)=k(x-2)+x2 2-4x+4>0-4x+4>0为一次函数为一次函数, ,所以所以所以所以解得解得x<1x<1或或x>3,x>3,所以所以x x的取值范围为的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞).(-∞,1)∪(3,+∞).答案答案: :(-∞,1)∪(3,+∞)(-∞,1)∪(3,+∞) 【【易易错警示警示】】解答本解答本题易出易出现以下两种以下两种错误: :(1)(1)不会合理分析已知条件不会合理分析已知条件, ,这样无法无法转化成关于化成关于k k的一次函数的一次函数, ,而而导致致题目无法求解目无法求解. .(2)(2)解关于解关于x x的二次不等式的二次不等式组, ,确定解集出确定解集出现10,+(m-2)x+(1-2m)>0,因为对任意的实数因为对任意的实数x x不等式都成立不等式都成立, ,所以其对应的一元二次方程所以其对应的一元二次方程:x:x2 2+(m-2)x+(1-2m)=0+(m-2)x+(1-2m)=0的根的判别式的根的判别式Δ=(m-2)Δ=(m-2)2 2-4(1-2m)<0,-4(1-2m)<0,解得解得:-40-2x+a>0对任意任意实数数x∈[2,3]x∈[2,3]恒成恒成立立, ,则实数数a a的取的取值范范围为 . . 3.(20153.(2015··银川模川模拟) )已知不等式已知不等式x x2 2-2x+a>0-2x+a>0对任意任意实数数x∈[2,3]x∈[2,3]恒成恒成立立, ,则实数数a a的取的取值范范围为 . .【【解析解析】】令令f(x)=xf(x)=x2 2-2x+a=(x-1)-2x+a=(x-1)2 2+a-1,+a-1,所以所以f(x)f(x)在区间在区间(1,+∞)(1,+∞)上单调上单调递增递增, ,又不等式又不等式x x2 2-2x+a>0-2x+a>0对任意实数对任意实数x∈[2,3]x∈[2,3]恒成立恒成立, ,所以所以f(2)>0f(2)>0恒成立恒成立, ,即即4-4+a>0,4-4+a>0,解得解得a>0.a>0.故实数故实数a a的取值范围是的取值范围是a>0.a>0.答案答案: :a>0a>0 4.(20154.(2015··洛阳模洛阳模拟) )若已知不等式若已知不等式2x-1>m(x2x-1>m(x2 2-1)-1)对满足足|m|≤2|m|≤2的一切的一切实数数m m的取的取值都成立都成立, ,则x x的取的取值范范围为 . . 4.(20154.(2015··洛阳模洛阳模拟) )若已知不等式若已知不等式2x-1>m(x2x-1>m(x2 2-1)-1)对满足足|m|≤2|m|≤2的一切的一切实数数m m的取的取值都成立都成立, ,则x x的取的取值范范围为 . .【【解析解析】】构造变量构造变量m m的函数求解的函数求解:2x-1>m(x:2x-1>m(x2 2-1)-1)即即:(x:(x2 2-1)m-(2x-1)<0-1)m-(2x-1)<0构造关于构造关于m m的函数的函数f(m)=(xf(m)=(x2 2-1)m-(2x-1),|m|-1)m-(2x-1),|m|≤≤2 2即即-2-2≤≤m m≤≤2.2.(1)(1)当当x x2 2-1-1＞＞0 0时，则时，则f(2)f(2)＜＜0,0,从而从而2x2x2 2-2x-1-2x-1＜＜0 0解得解得: :又又x x2 2-1-1＞＞0 0，即，即x x＜＜-1-1或或x x＞＞1 1，所以，所以 (1)(1)求求n n的的值. .(2)(2)要使刹要使刹车距离不超距离不超过12.6m,12.6m,则行行驶的最大速度是多少的最大速度是多少? ? (1)(1)求求n n的的值. .(2)(2)要使刹要使刹车距离不超距离不超过12.6m,12.6m,则行行驶的最大速度是多少的最大速度是多少? ?【【解题提示解题提示】】(1)(1)由图象信息由图象信息, ,将将v=40,v=70v=40,v=70代入求代入求s s1 1,s,s2 2, ,得关于得关于n n的不的不等式组等式组. .(2)(2)解关于解关于v v的不等式的不等式, ,求最大值求最大值. . 【【规律方法律方法】】不等式不等式实际应用的解用的解题思路思路不等式的不等式的实际应用用, ,常以函数模型常以函数模型为载体体, ,解解题时要理解要理解题意意, ,准确找准确找出其中的不等关系出其中的不等关系, ,引引进数学符号恰当表示数学符号恰当表示, ,最后用不等式的解集回答最后用不等式的解集回答实际问题. . 【【解题过程解题过程】】 【【错解分析错解分析】】分析上面解题过程，你知道错在哪里吗？分析上面解题过程，你知道错在哪里吗？提示：提示：忽视了对忽视了对a,b,ca,b,c符号的判断，根据给出的解集，除知道符号的判断，根据给出的解集，除知道和和2 2是方程是方程axax2 2+bx+c=0(a≠0)+bx+c=0(a≠0)的两根外，还应知道的两根外，还应知道a<0,a<0,然后通过根与然后通过根与系数的关系进一步求解系数的关系进一步求解. . 【【规避策略避策略】】1.1.确定符号确定符号根据不等式的解集确定二次根据不等式的解集确定二次项系数的符号系数的符号. .2.2.准确准确转化化正确利用根与系数的关系得到正确利用根与系数的关系得到a,b,ca,b,c的关系的关系, ,做好不等式的等价做好不等式的等价转化化, ,构造关于系数构造关于系数a,b,ca,b,c的方程的方程组. .3.3.写出解集写出解集规范正确地解出不等式范正确地解出不等式, ,写出解集写出解集. . 。
