解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章 第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出以下二次曲线的矩阵A以及F1(x,y)，F2(x,y)及F3(x,y). x2y2x2y2（1）2?2?1；（2）2?2?1；（3）y2?2px；（4）x2?3y2?5x?2?0; abab?1?a2?（5）2x2?xy?y2?6x?7y?4?0.解：（1）A??0??0????1?a2?11F1(x,y)?2xF2(x,y)?2yF3(x,y)??1；（2）A??0?ab?0???01b20?0??0?；???1????0??0?；???1???0?1b20?00?p?11??F1(x,y)?2xF2(x,y)??2y；F3(x,y)??1.（3）A??010?； ab??p00?????1?F1(x,y)??p；F2(x,y)?y；F3(x,y)??px；（4）A??0?5??2??2?155F1(x,y)?x?；F2(x,y)??3y；F3(x,y)?x?2；（5）A????222????3?F1(x,y)?2x?5?2???30?； ?02??0?12??3??7?；?2??4???1721177y?3；F2(x,y)??x?y?；F3(x,y)??3x?y?4. 2222222. 求二次曲线x?2xy?3y?4x?6y?3?0与以下直线的交点.（1）5x?y?5?0（2）x?2y?2?0；（3）x?4y?1?0；（4）x?3y?0；（5）2x?6y?9?0.提示：把直线方程代入曲线方程解即可，详解略（1）(,?),(1,0)； 1252?4?226i?7?226i??4?226i?7?226i?,,（2?（3）二重点(1,0)；（4）????，???；5555?????11??,??26?；（5）无交点. 3. 求直线x?y?1?0与2x2?xy?y2?x?2y?1?0的交点. 解：由直线方程得 x?y?1代入曲线方程并解方程得直线上的全体点都为交点. 4 .试确定k的值，使得 （1）直线x?y?5?0与二次曲线x2?3x?y?k?0交于两不同的实点； （2）直线{x?1?kt,y?k?t与二次曲线x?4xy?3y?y?0交于一点； （3）x?ky?1?0与二 22x?1?t,次曲线?2xy?y?(k?1)y?1?0交于两个相互重合的点；（4）{与二次曲线 y?1?t2（2）k?12x2?4xy?ky2?x?2y?0交于两个共轭虚交点.解：详解略.（1）k??4；或k?3（3）k?1或k?5；（4）k?49. 24§5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 1. 求以下二次曲线的渐进方向并指出曲线属于何种类型的（1）x222?2xy?y2?3x?y?0； （2）3x?4xy?2y?x?2y?5?0；（3）2xy?4x?2y?3?0. 22解：（1）由?(X,Y)?X?2XY?Y?0得渐进方向为X:Y?1:?1或?1:1且属于抛物 型的； （2）由?(X,Y)?3X2?4XY?2Y2?0得渐进方向为X:Y?(?2?2i):3且属于椭圆型的； （3）由?(X,Y)?2XY?0得渐进方向为X:Y?1:0或0:1且属于双曲型的. 2. 判断以下曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线. （1）x?2xy?2y?4x?6y?3?0；（2）x?4xy?4y?2x?2y?1?0；（3） 22222y2?8x?12y?3?0；（4）9x2?6xy?y2?6x?2y?0.解：（1）由于 I2?1?11?21?21??所以它为中心曲线； （2）由于I2?，?1?0，?0且 ?24?1?12?2400004?0且??，所以它为无心曲线； （4） 02602所以它为无心曲线； （3）由于I2?9?39?3?3??由于I2?，所以它为线心曲线； ?0且 ?312?313. 求以下二次曲线的中心. （1）5x2?2xy?3y2?2x?3y?6?0；（2）2x2?5xy?2y2?6x?3y?5?0；（3） 9x2?30xy?25y2?8x?15y?0. 5?2x?y?3?0,?5x?y?1?0,?313??2解：（1）由?得中心坐标为(,?)； （2）由?得中32828?x?3y??0?5x?2y?3?0??2??22?9x?15y?4?0,?心坐标为(?1,2)； （3）由?知无解，所以曲线为无心曲线. 15?15x?25y??0??24. 当a,b得志什么条件时，二次曲线x?6xy?ay?3x?by?4?0（1）有唯一中心；（2）没有中心；（3）有一条中心直线. 223?x?3y??0,??2解：（1）由?知，当a?9时方程有唯一的解，此时曲线有唯一中心；（2） ?3x?ay?b?0??2当a?9,b?9时方程无解，此时曲线没有中心；（3）当a?b?9时方程有多数个解，此时曲线是线心曲线. 5. 试证假设二次曲线F(x,y)?a11x2?2a12xy?a22y2?2a13x?2a23y?a33?0 有 渐 进 线 ， 那 么 它 的 两 个 渐 进 线 方 程 是 Φ (x?x0,y?y0)=a11(x?x0)2?2a12(x?x0)(y?y0)?a22(y?y0)2?0式中(x0,y0)为二次 曲 线 的 中 心 . 证明：设(x,y)为渐进线上任意一点，那么曲线的的渐进方向为X:Y?(x?x0):(y?y0)，所以Φ (x?x0,y?y0)=a11(x?x0)2?2a12(x?x0)(y?y0)?a22(y?y0)2?0. 6. 求以下二次曲线的渐进线. （1）6x2?xy?y2?3x?y?1?0；（2）x2?3xy?2y2?x?3y?4?0；（3） x2?2xy?y2?2x?2y?4?0. 13?6x?y??0,?13?2222解：（1）由?得中心坐标(?,).而由6X?XY?Y?0得渐进方向为 55??1x?y?1?0??22X:Y?1:2或X:Y??1:3，所以渐进线方程分别为2x?y?1?0与3x?y?0 （2） 31?x?y??0,?13?2222由?得中心坐标(?,).而由X?3XY?2Y?0得渐进方向为 55??3x?2y?3?0??22X:Y?1:1或X:Y?2:1，所以渐进线方程分别为x?y?2?0与x?2y?1?0 ?x?y?1?0,（3）由?知曲线为线心曲线，.所以渐进线为线心线，其方程为x?y?1?0. x?y?1?0?7. 试证二次曲线是线心曲线的充要条件是I2?I3?0，成为无心曲线的充要条件是由于曲线是线心曲线的充要条件是I2?0,I3?0. 证明： a11a12a13也??a12a22a23即I2?I3?0；为无心曲线的充要条件是 a11a12a13也即I2?0,I3?0. ??a12a22a238. 证明以直线A1x?By1?C1?0为渐进线的二次曲线方程总能写成设以A(A1x?By1?C1)(Ax?By?C)?D?0. 证明：1x?By1?C1?0为渐进线的二次曲线为 F(x,y)?a11x2?2a12xy?a22y2?2a13x?2a23y?a33?0，那么它的渐进线为Φ(x?x0,y?y0)=a11(x?x0)?2a12(x?x0)(y?y0)?a22(y?y0)?0，其中 22(x0,y0)为曲线的中心， 从而有Φ (x?x0,y?y0)=(A1x?By1?C1)(Ax?By?C)?0 ，而Φ(x?x0,y?y0)=0 由于 (x0,y0)为曲线的中心， 所以有a11x0?a12y0??a13，a12x0?a22y0??a23 因此Φ (x?x0,y?y0)?F(x,y)??(x0,y0)?a33， 令?(x0,y0)?a33??D，代入上式得 即F(x,y)?(A1x?By1?C1)(Ax?By?C)?D， 所以以A1x?By1?C1?0为渐进线的二次 曲线可写为(A1x?By1?C1)(Ax?By?C)?D?0. 9.求以下二次曲线的方程. （1）以点（0，1）为中心，且通过（2，3），（4，2）与（-1，-3）； （2）通过点（1，1），（2，1），（-1，-2）且以直线x?y?1?0为渐进线. 解：利用习题8的结论即可得： （1）xy?x?4?0； （2）2x2?xy?3y2?5x?7?0. §5.3二次曲线的切线 1. 求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程. （1）曲线3x2?4xy?5y2?7x?8y?3?0在点（2，1）； （2）曲线曲线 3x2?4xy?5y2?7x?8y?3?0在点在原点； （3）曲线x2?xy?y2?x?4y?3?0经 过点（-2，-1）； （4）曲线5x2?6xy?5y2?8经过点(0,2；) （5）曲线 2x2?xy?y2?x?2y?1?0经过点（0，2）. 解：（1）9x?10y?28?0； （2）x?2y?0； （3）y?1?0,x?y?3?0； （4） 11x?5y?102?0,x?y?22?0； （5）x?0. 2. 求以下二次曲线的切线方程并求出切点的坐标. 22（1）曲线x?4xy?3y?5x?y?3?0的切线平行于直线x?4y?0； （2）曲线 x2?xy?y2?3的切线平行于两坐标轴. 解：（1）x?4y?5?0，(1,1)和x?4y?8?0，(?4,3)； （2）y?2?0，(1,?2),(?1,2)和x?2?0，(2,?1),(?2,1). 3. 求以下二次曲线的奇异点. （1）3x?2y?6x?4y?1?0； （2）2xy?y?2x?1?0； （3） 222x2?2xy?y2?2x?2y?1?0. 解：（1）解方程组??3x?3?0,?y?1?0,得奇异点为(?1,1)； （2）解方程组?得奇异点 ?x?y?0??2y?2?0 — 8 —。