多元微分学的基本概念、计算与应用.doc

多元微分学的基本概念、计算与应用一、考试内容(一)多元函数微分学计算法则1、记忆下述推理框图：且偏导连续For pers onal use only in study and research; not for commercial use仁(0,0)=啊鼻方向导数存在(数一)f(x,0)-f(0,0)x,fy(0,0)jym0f(0,y)-f(0,0)yf(0,x)- f(0,0)Xfx(x°,y)=阿f (x0 h,y) - f (x°,y)h,fy(X0$)=吗f (x,y0 h) - f (x,y°)hfx(x°,y)=a=HHhf (xo mh,y°) - f (xo -n h,y°)=(m n)a，对fy(x),yo) =a 类似;lim fx(x°,y) = fx(xo,y°)u fx(x°,y)在 y=y°处连续，对 fy(x,y°)在x=xo处连续类似; y Jy0lim fx(x,y) = fx(x,y°)= fx(x,y)在 y=y°处连续，对 fy(x,y)在 x=x 处连续类似；y―yo(x y)lirPv y ) fx(y) (x , y)= %)&0$0)= fx(y)( x,y)在(x0 ,yo)处连续.(x,y)—(xo ,yo)3、记忆多元复合函数的求导法：Z 二 f[u(x),v(x)]，则全导数 d^ = — d^ — dv，或 z'(x)二 u'(x) fu v'(x) fv. dx cu dx cv dxz= f[u(x),v(x, y)]，则 Zx =u'(x)fu+Vxfv, 吐.z= f[u(x,y),v(x, y)]，则 z^ =uxf^vxfv, Zy =« f.+v『Zxx =ux(fu)x vx(fv)x uxx fu vxx fv 二 ux(uxfuu vxfuv) vx(uxfvu vx fvv) uxxfu vxxfv2uu 2uxVx fuv Vx fvv uxx2 2fu + vxx f v ； Zyy = uy fu^ 2口 弘 tuv ▼ y f □ yy fu + Yyy ffuv ^vuu；fZxy 二 uxuy fuu 血百 ^Uy) fuv Wy fvv uxy fu ' vxy fv 二 Zyx .4、 隐函数的求导法(两端求导法与公式法) ：公式法 1: F (x, y) =0,若 Fy = 0，则存在 y 二 y(x)，且 y'(x)二- F^; Fy.公式法 2: F(x, y, z) =0,若 Fz 0，则存在 z = z(x, y)，且 J -卩乂迟，Zy - - Fy Fz若 F(x, y,z) =0 确定 x 二 x(y, z), y = y(x,z), z 二 z(x,y)，则 xy *yz *zx - -1.5、 记忆多元函数高阶混合偏导数的求导法：若多元函数高阶混合偏导数连续，则其结果与求导次序无关6、 记忆多元函数的求微法："-(Zx^x Zyiy) 山z = z(x, y)满足 2 厂=0，贝V dz = zxdx + zydy，且有 Az 俺 dz .u 二 u(x, y, z)可微，贝U du =uxdx uydy uZdz.z = f[u(x, y), v(x, y)]可微，贝U dz^Zudu Zvdv = Zxdx Zydy.F (x, y, z) =0 y = y(x) Fxdx Fydy Fzdz 二 0可微，且确定 ，则由 x 『丫 计算y'(x),z'(x).G(x, y, z)=0 z = z(x) Gxdx Gydy Gzdz = 0(二)多元函数的极值与最值问题1极值的必要条件和极值的充分条件必要条件1设函数Z二f (x, y)在点(Xo, yo)具有偏导数，且在点(xo,y。

)处有极值，则有fx(x°,y°) =0, fy(x)=0.充分条件1设函数Z = f(x, y)在点(x0,y)的某个邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又 fx(x0,y0)=0, fy (x0 , y0)= 0,令 fxx(x0,y0)=A, fxy(x0,y0)= B , fyy(X° , y° ) = C则z = f (x, y)在点(x0, y°)处是否取得极值的条件如下：(1) AC -B2 ■ 0时具有极值，且当 A：：：0时有极大值，当 A ■ 0时有极小值；(2) AC -B2 ：：： 0时没有极值；2(3) AC -B -0时可能有极值也可能没有极值，还需另外讨论2、多元函数的极大值、极小值 .求z = f (x, y)的极值的一般步骤为：第一步 解方程组fx(x,y) =0, fy(x,y) =0,求出f(x, y)的所有驻点；第二步 求出函数f(x, y)的二阶偏导数，依次确定各驻点处 A、 B、C的值，并根据AC -B2的符号判定驻点是否为极值点 .最后求出函数f(x, y)在极值点处的极值 3、条件极值解条件极值途径是将条件极值问题转化为无条件极值问题一般有三个方法：一是降元法；二是升元法 --拉格朗日乘数法；三是几何法 .降元法是解决条件极值问题最彻底的方法，它可使得原目标函数降元， 变成一(二)元函数，得到驻点后，利用 极值的充分条件进行判定，但有时 降元无法实现，也会出现降元后的目标函数变得非常繁琐 .对升元法--拉格朗日乘数法，一般有以下两种情况：(1) 在条件 v (x, y) 0 C'' (x, y, z) 0 )下，求目标函数 u = f (x, y) ( u = f (x, y, z)) 的极值.弓I进拉格朗日函数L(x, y, ■ ) f(x,y) "Ux, y) ( L(x, y, z, J = f(x, y, z^ :：J(x, y, z))它将有约束条件的极值问题化为无条件的极值问题 .求解时，一般先利用Lx =Ly =Lz =0消去■，得到x,y,(z)的关系，在与G(x, y,(z)) =0联立求解•若得到唯一驻点，则根据实际情 况判断其极值性；若得到几个驻点，则根据其相应的函数值大小判断其极值性2) 在条件：「(x,y,z) 0和T'(x,y,z) 0下，求目标函数u = f(x,y,z)的极值，贝U引 进拉格朗日函数 L(x, y, z, ■) = f (x,y,z)亠；步(x,y,z) -' (x, y,z) 0.用几何法时需记忆一些平面(空间(数一) )解析几何的公式，如:(1)(2)点皿0(心丫0必)到平面点皿0(心丫0,4)到直线二二的距离公式m n pAx + By +Cz + D = 0距离公式 di = 十 By0 +Czo 十 D(3)求点 皿0&0,『0么)到曲面F(x,y,z)=0的距离，需用到曲面的切平面公式4、多元函数的最大值与最小值(闭区域上的连续函数一定取得最大值和最小值)求函数f (x, y)的最大值和最小值的一般步骤为：第一步 求函数f(x, y)在D内所有驻点处的函数值；第二步 求f(x,y)在D的边界上的最大值和最小值；第三步将前两步得到的函数值进行比较， 其中最大者即为最大值，最小者即为最小值注：在证明不等式 K< f(x, y)d二乞B的问题时，需将f(x, y)在D上的最值问题与积分D估值定理联合考虑•(三)特殊曲面(数一) u = f(x, y, z)在 P(x, y, z)处沿方向 l 的方向导数为=grad f (x, y,z)启1平面的方程为2、球面方程为“ “ 一、” x2 y2Ax By Cz • D = 0 ,抛物面方程为 z亠a, (pq 0).2p 2q2 2 2(x -xJ2 • (y - y0)2 (z -z0)2 二 R2,椭球面方程为 笃 y2 -z^ = 1.a b caz =(x y ),其中锥面的半顶角为 arcta na.I F (y z) =0 r 24、 对 ，绕z轴旋转生成的旋转曲面方程为 F(_'.. x y ,z^0.i x =05、 空间曲线::F(x，y，z)=0关于xoy面的投影柱面方程为 H(x,y)=0(消z).、G(x,y,z)=0(四)空间切向量与法向量(数一)3、锥面方程为[x=x(t) 彳1空间曲线丨：y=y(t)过相应于t =t°点处的切向量为s = (x'(t0), y'(t0), z'(t0))， z 二 z(t)切线方程为.口M =土皿 =红细 x'(t0) y'(t。

) z'(t)’有向曲线元ds = (dx,dy,dz)二8 ds，e =(cos ,cos - ,cos )是与丨同向的单位向量，ds二..x'2(t) y'2(t) z'2(t)为弧长元素.(数二需掌握平面弧长元素)XF (x, y,z) =0、」2 过其上点 M(x°,y°,Z0)处的切向量为 s = (Fx，Fy,FJ° (Gx，Gy,Gz)°.G(x, y,z) =0 彳3、曲面 F(x,y,z) =0 过其上点 M(x0,y0,zo)处的法向量为 n -(Fx,Fy,Fz)0，切平面方程为 Fx(xg, y°,z0)(x-x)Fy(xg,y°,z0)(y-y)卡乙化护卫血-却=0. 注：数二需掌握平面曲线 F(x,y)=0上点M(xg,y)处的法向量为n = (Fx,Fy)g.4、曲面 2：z；f(x, y)过相应于(xg,y也点处的法向量为 n ^(fx(x0,y0), fy(xQ,y0)^1)， 有向曲面元dS二(dyd乙dzdxdxdy) qdS，編(cos ,cos :,cos )是与二同侧的单位向量，曲面面积元素 dS =n・k1_db =d ；丁 = \ fxcos^|(五)方向导数与梯度(数一)1、记忆方向导数与梯度的计算公式：z f (x, y)在 P 点处的梯度为 gradf = fxf fyj = (fx, fy)，4z = f(x, y)在P点处沿方向i的方向导数为8 = (cos ,cos 詁)二(cos ,sin )，:fy2 1d 二.f £1 = grad f 8i， 片,:为I的方向角，「为x轴到i的转角,.:r j是gradf在i上的投影，在P处沿梯度方向的 f V达到最大值gradf .注：z = f(x, y)在 P(x, y)处的全微分 dz = ( fx, fy) (dx,dy) = gradf ds=(fx, fy, fz)(co泊,cos R,cosY)，其沿梯度方向的 fa 达到最大值 grad f (x,y,z)二、典型例题(公共)例 1、设 fx(0,0) =1, fy(0,0) =2,则 lim f(2x,0)-f(0, -3x)■/ 2 2 2 2、」 2 2(x y )sin(x y ) , x y=0例 2、设 f (x,y)=[0, x2 + y2 = 0(1)偏导数是否存在？ (2)偏导数是否连续？ (3)是否可微？f (x,0) - f(0,0)=血 和[=0,同理 fy(0,0) = 0 ； x J0 x2 1 2 2 J 2 2 12 2y ) -2x(x y ) cos(x y )~,x y -02 9x y = 0= 2fx(0,0)+3fy(0,0) = 8.问f (x, y)在点(0,0)处:解：(1) fx(0。