湖南高考理科数学试题-----导数.doc

湖南高考理科数学试题湖南高考理科数学试题-----导数导数2013 年年5．函数 f（x）=2lnx 的图象与函数g（x）=x2-4x+5的图象的交点个数为（ ）A．3B．2C．1D．0（II）是否存在 a 使函数 y=f（x）在区间（ 0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．（II）由（ I）知，当 a≥4 时， f（x）在（ 0，4）上单调递减，故不满足要求；当 0＜a＜4 时， f（x）在（ 0，a）上单调递减，在（ a，4）上单调递增，若存在x1，x2∈（0，4） （x1＜x2） ，使曲线 y=f（x）在两点处的切线互相垂直，则x1∈（0，a） ，x2∈（a，4） ，且 f′（x1）f′（x2）=-1综上所述，存在a 使函数 y=f（x）在区间（ 0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是20． （13 分）京广高铁于 2012 年 12 月 26 日全线开通运营，G808 次列车在平直的铁轨上匀速行驶，由于遇到紧 急情况，紧急刹车时列车行驶的路程 S（t） （单位：m）和时间 t（单位：s）的关系为：．（1）求从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间； （2）求列车正常行驶的速度； （3）求紧急刹车后列车加速度绝对值的最大值．考点： 函数模型的选择与应用；导数的运算．407442 专题： 导数的综合应用．分析： （1）利用导数求出列车的速度关于 t 的表达式，令 v（t）=0 解出即可； （2）利用（1） ，令 t=0，解出即可； （3）因为加速度 a（t）=V'（t） ，利用导数求出即可．解答： 解：（1）∵紧急刹车后列车的速度 V（t）=S'（t） ，∴，当列车完全停止时 V（t）=0m/s，∴t2﹣4t﹣60=0，解得 t=10 或 t=﹣6（舍去） ．即从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间为 10s．（2）由（1）知，从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间为 10 s，又由列车的速度∴火车正常行驶的速度当 t=0 时，V（0）=90m/s （3）∵紧急刹车后列车运行的加速度 a（t）=V'（t）∴∵|a（t）|=∴|a（0）|最大，|a（t）|max=84m/s2 点评： 熟练掌握 v（t）=s′（t） ，a（t）=v′（t）是解题的关键．当 x＜0 时， f′（x）＞ 0；当 x＞0 时， f′（x）＜ 0．∴函数 f（x）的单调递增区间为（-∞，0） ，单调递减区间为（ 0，+∞） ．2 20 01 12 2 年年22．已知函数 f（x）=eax-x，其中 a≠0．（1）若对一切 x∈R，f（x）≥1 恒成立，求 a 的取值集合．（2）在函数 f（x）的图象上取定两点A（x1，f（x1） ） ，B（x2，f（x2） （x1＜x2） ，记直线 AB 的斜率为 K，问：是否存在x0∈（x1，x2） ，使 f′（x0）＞ k 成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由．2011 年年（Ⅱ）设数列 { an}（n∈N*）满足 a1=a（a＞0） ，f（an+1）=g（an） ，证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有 an≤M．则 x=0 为 h（x）的一个零点，且h（x）在（ 1，2）内有零点， ∴h（x）至少有两个零点．（2）当 a≥x0时，由（ Ⅰ）知，当 x∈（x0，+∞）时， h（x）单调递增， ∴h（a）h（x0）=0，从而 a2≤a，由此猜测 an≤a．下面用数学归纳法证明：①当 n=1 时， a1≤a，成立．2010 年年所以 3ak+1＞（ k+1）2．故当 n≥3 时， 3an＞n2成立．于是，当 n≥3 时， an+1=3an，而 a3=4，因此 an=4×3n-3．综上所述，当a=0 时， a1=0，a2=1，an=4×3n-3（n≥3） ．（Ⅱ）存在 a，使数列 {an}是等比数列．事实上，若对任意的n，都有 3an＞n2，则 an+1=3an．即数列 {an}是首项为 a，公比为 3 的等比数列，且an=a•3n-3．。