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随机信号分析第2章随机信号第2章随机信号作业作业2.3，，2.4，，2.7，，2.8 ，，2.10，，2.112.13，，2.15(改错改错)，，2.18，，2.192.1 定义与基本特性2.2 典型信号举例2.3 一般特性与基本运算2.4 多维高斯分布与高斯信号2.5 独立信号2.1 定义与基本特性2.2 典型信号举例2.3 一般特性与基本运算2.4 多维高斯分布与高斯信号2.5 独立信号目录目录2.1 定义与基本特性2.1 定义与基本特性A( )Xξ2.1.1 概念与定义概念与定义1. 典型典型例子例子（（1））贝努里实验贝努里实验:其样本空间只有:其样本空间只有两个两个样本点，即只有两个可能结果: 样本点，即只有两个可能结果: A 和在掷币实验掷币实验中，贝努里随机变量可以表示为: 中，贝努里随机变量可以表示为: 1( )0Xξξξξ=⎧=⎨≠⎩正面表示基本可能结果正面有概率若有概率若重复重复在在t = n (n=1, 2, …)时刻上，时刻上，独立独立进行相进行相[( )1],[( )0],1P Xp P Xqpqξξ====+=同的掷币实验同的掷币实验,{}12( ),( ),,( ),nXXXξξξ??构成一随机变量构成一随机变量序列序列n 011 2 3 4 5 6 7 8 9 10( )nXξ1( )0Xξξξξ=⎧=⎨≠⎩正面表示基本可能结果正面则有则有:其概率为：其概率为：( )nXξ[( , )1],[( , )0],1P X np P X nqpqξξ====+=10tnξξ=⎧==⎨≠⎩正面时刻正面( , )X nξ=n 011 2 3 4 5 6 7 8 9 10( )nXξn 011 2 3 4 5 6 7 8 9 10n 011 2 3 4 5 6 7 8 9 101( ,)Xnξ2( ,)Xnξ?所有所有随机变量序列的集合随机变量序列的集合就是就是随机信号。

随机信号每一个随机变量序列的集合称为每一个随机变量序列的集合称为 一个样本一个样本，也叫，也叫一个实现一个实现2））时间连续时间连续的随机现象观察电阻上的噪声电压，可能有不同的波形每一个波形称为的随机现象观察电阻上的噪声电压，可能有不同的波形每一个波形称为样本函数样本函数，也叫，也叫一个实现一个实现所有所有波形的集合波形的集合就是就是随机信号随机信号1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 n 01n 011( ,)X nξ2( ,)X nξ?样本样本（（1））时间离散时间离散的随机现象（的随机现象（2））时间连续时间连续的随机现象的随机现象样本样本?2.随机信号的.随机信号的定义定义定义: 设随机实验的样本空间，对于空间的每一个样本，总有一个定义: 设随机实验的样本空间，对于空间的每一个样本，总有一个时间函数时间函数与之对应与之对应, 对于空间的所有样本，可有对于空间的所有样本，可有一族一族时间函数时间函数与之对应，这族时间函数称为与之对应，这族时间函数称为随机信号随机信号)tT∈ξ∈Ω( ,)iX tξ( , )X tξ{ }iξΩ =iξ∈Ω定义: 设是随机实验定义: 设是随机实验E的样本空间，若对于每个样本点的样本空间，若对于每个样本点, 都有都有唯一唯一的的实数实数与之对应与之对应 , 且对于任意实数，都有确定的概率与之对应，则称为且对于任意实数，都有确定的概率与之对应，则称为随机变量随机变量。

xΩξ∈Ω( )Xξ( )Xξ3.随机信号的随机信号的表征表征(数学模型(数学模型)（（1）在任意给定时刻，随机信号是一个随机变量随机信号可视为许多）在任意给定时刻，随机信号是一个随机变量随机信号可视为许多随机变量随机变量的的集合集合；；X(t,ξξ1) X(t,ξξ2) X(t,ξξ3) X(t,ξξ4)X(t1,ξξ) X(t2,ξξ)X(tn,ξξ)X(t,ξξ)t例1记为：记为：{}( )( ,),iiX tX ttR=Ω∈n 011 2 3 4 5 6 7 8 9 10n 011 2 3 4 5 6 7 8 9 101( ,)X nξ2( ,)X nξ(9, )Xξ(1, )Xξ?例2随机变量随机变量（（2）随机信号可视为所有）随机信号可视为所有样本函数样本函数的的集合集合；；X(t,ξξ1) X(t,ξξ2) X(t,ξξ3) X(t,ξξ4)X(t,ξξ)t例1{}( )( ,),iiX tX tξξ=∈Ω记为：记为：n 011 2 3 4 5 6 7 8 9 10n 011 2 3 4 5 6 7 8 9 101( ,)X nξ2( ,)X nξ?例2（（3）当时刻）当时刻 t 与样本都固定时，随机信号是一个实数，称之为与样本都固定时，随机信号是一个实数，称之为状态状态；；ξX(t,ξξ1)X(t,ξξ2) X(t,ξξ3) X(t,ξξ4)X(t,ξξ)tt13ξn011 2 3 4 5 6 7 8 9 10( , )X nξ1ξ（（4）当时刻）当时刻 t 与样本都发生变化时，就构成随机信号的完整概念。

与样本都发生变化时，就构成随机信号的完整概念ξX(t,ξξ1)X(t,ξξ2) X(t,ξξ3) X(t,ξξ4)X(t,ξξ)tn011 2 3 4 5 6 7 8 9 10( , )X nξ4.随机信号的随机信号的分类分类及及举例举例（（1））时间离散、取值离散时间离散、取值离散 D.R.Seq.例例：贝努里：贝努里r.s.n011 2 3 4 5 6 7 8 9 10( , )X nξ◆◆若结果用(若结果用(0，，1)描述，称为(描述，称为(0，，1)贝努里贝努里r.s.◆◆若结果用(若结果用(-1，，1)描述，称为(描述，称为(-1，，1)贝努里贝努里r.s.例例：一脉冲信号发生器传送的信号（：一脉冲信号发生器传送的信号（2））时间连续、取值离散时间连续、取值离散 D.R.P.1202−t1−( )X t0T02T04T03T（（3））时间连续、取值连续时间连续、取值连续 C.R.P.例例：正弦型信号：正弦型信号( )sin()X tAwtθ=+t( )X t., .wr vAθ常数 －－①②①②.,.A wvθ－r－常数③③.,.Awvθ常数 －r－t( )X tt( )X t（（4））时间离散、取值连续时间离散、取值连续 C.R.Seq.例例：每隔单位时间对噪声电压抽样：每隔单位时间对噪声电压抽样n021 2 3 4 5( )X n2.1.2 基本概率特性基本概率特性1. 例子. 例子1( )cos(500)x ttπ=2( )sin(500)x ttπ=例例2.2 用掷币实验产生信号。

可记为用掷币实验产生信号可记为: ( , )cos(500( )/2)X ttIξπξ π=−取值0,1的等概随机变量解：（解：（1））(0.001,)0XH =(0.001, )1XT =概率为概率为0.5；概率为；概率为0.5 ;0.001)0.5 ( )0.5 (1)Xfxxxδδ=+−则其则其概率密度函数概率密度函数为：为：均值均值为：为：[](0.001)0.5E X=( )()Xii ifxpxxδ=−∑[][]ii iE Xx P Xx==∑（（2））( ,)cos(500)X t Htπ=概率为概率为0.5概率为0.5；；( , )sin(500)X t Ttπ=( ; )0.5 [cos(500 )] 0.5 [sin(500 )]Xfx txtxtδπδπ=−+−[][]( )0.5 cos(500)sin(500)E X tttππ=+则其则其概率密度函数概率密度函数为：为：均值均值为：为：( )()Xii ifxpxxδ=−∑2.一阶（维）概率分布和密度函数一阶（维）概率分布和密度函数( ; )[ ( )]XF x tP X tx=≤一阶概率分布函数一阶概率分布函数定义：定义：一阶概率密度函数一阶概率密度函数定义：定义：( ; )( ; )XXdfx tF x tdx=r.v. X的分布函数的分布函数( )[ ( )]XF xP Xxξ=≤r.v. X的密度函数的密度函数()( )XXdfxFxdx=解：解：例题例题：设，：设，()0. .( )cosr s X tAw t=其中为常数，其中为常数，0wA为均值为零、方差为为均值为零、方差为1的正态随机变量。

试求：的正态随机变量试求：002,3,0wtwttππ===时的一维概率密度函数时的一维概率密度函数0t =时：时：( )0XA=()21;0exp22Xxfxπ⎧⎫=−⎨⎬⎩⎭03twπ=时：时：01 32XAwπ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠00 ,3E Xwπ⎡⎤⎛⎞=⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦01 34D Xwπ⎡⎤⎛⎞=⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦例题例题：设，：设，()0. .( )cosr s X tAw t=其中为常数，其中为常数，0wA为均值为零、方差为为均值为零、方差为1的正态随机变量试求：的正态随机变量试求：002,3,0wtwttππ===时的一维概率密度函数时：时的一维概率密度函数时：2024;exp322Xxfxwπ π⎛⎞⎧⎫=−⎨⎬⎜⎟⎩⎭⎝⎠02twπ=002Xwπ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠( )0;2Xfxxwπδ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠t tx xf fX X( (x x; t; t) )一阶概率密度函数一阶概率密度函数示意图示意图21解：（解：（1））( ,)cos(500)Xt Htπ= ( ,)sin(500)Xt Ttπ={}(0.0005,),(0.001,){0.707,0}XHXH={}(0.0005, ),(0.001, ){0.707,1}XTXT=概率为概率为0.5；概率为；概率为0.5。

121212( ,;0.0005,0.001)0.5 (0.707,)0.5 (0.707,1)Xfx xxxxxδδ=−+−−则则其二维联合概率密度函数其二维联合概率密度函数为：为：( , )(,)XYijij ijfx ypxx yyδ=−−∑∑（（2））( ,)cos(500)X t Htπ=概率为概率为0.5；概率为；概率为0.5则其二维联合概率密度函数其二维联合概率密度函数为：为：( ,)sin(500)Xt Ttπ={}1212( ,),( ,){cos(500),cos(500)}X t HX t Httππ={}1212( , ),( , ){sin(500),sin(500)}X t TX t Tttππ=121211221122( , ; , ) 0.5 (cos(500),cos(500))0.5 (sin(500),sin(500))Xfx x t txtxtxtxtδππδππ=−−+−−( , )(,)XYijij ijfx ypxx yyδ=−−∑∑（（2）任意时的二维联合概率密度任意时的二维联合概率密度12, t t3.二阶（维）概率分布和密度函数.二阶（维）概率分布和密度函数12121122( ,)[,]X XF。