数学二真题及问题详解解析汇报.doc

word2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题,每一小题4分,共32分.如下每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 当时，假如，均是比高阶的无穷小，如此的取值X围是( )(A) (B) (C)(D)(2) 如下曲线中有渐近线的是 ( )(A)(B) (C) (D) (3) 设函数具有2阶导数，，如此在区间上 〔 〕(A) 当时，(B) 当时，(C) 当时，(D) 当时，(4) 曲线上对应于的点处的曲率半径是 〔 〕 (A)(B)(C)(D)(5) 设函数，假如，如此 〔 〕 (A)(B)(C)(D)(6) 设函数在有界闭区域上连续，在的内部具有2阶连续偏导数，且满足与，如此 〔 〕(A)的最大值和最小值都在的边界上取得(B)的最大值和最小值都在的内部上取得(C)的最大值在的内部取得，最小值在的边界上取得(D) 的最小值在的内部取得，最大值在的边界上取得(7) 行列式 〔 〕(A)(B)(C)(D)(8) 设均为3维向量，如此对任意常数，向量组线性无关是向量组线性无关的 〔 〕(A) 必要非充分条件(B) 充分非必要条件(C) 充分必要条件(D) 既非充分也非必要条件二、填空题：9答题纸指定位置上.((9)__________.(10) 设是周期为的可导奇函数，且，如此__________.(11) 设是由方程确定的函数，如此__________.(12) 曲线的极坐标方程是，如此在点处的切线的直角坐标方程是__________.(13) 一根长为1的细棒位于轴的区间上,假如其线密度,如此该细棒的质心坐标__________.(14) 设二次型的负惯性指数为1，如此的取值X围为_______.三、解答题：答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(此题总分为10分)求极限(16)(此题总分为10分)函数满足微分方程，且，求的极大值与极小值.(17)(此题总分为10分)设平面区域计算.(18)(此题总分为10分)设函数具有二阶连续导数，满足，假如，求的表达式.(19)(此题总分为10分)设函数的区间上连续，且单调增加，.证明：(I),(II).(20)(此题总分为11分)设函数，定义函数列，记是由曲线，直线与轴所围成平面图形的面积，求极限.(21)(此题总分为11分)函数满足，且求曲线所围成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积.(22)(此题总分为11分) 设矩阵，为三阶单位矩阵.(I)求方程组的一个根底解系；(II)求满足的所有矩阵.(23)(此题总分为11分) 证明阶矩阵与相似.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:18小题,每一小题4分,共32分.如下每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 当时，假如，均是比高阶的无穷小，如此的取值X围是( ) (A) (B) (C)(D)【答案】B【解析】由定义 所以，故.当时，是比的高阶无穷小，所以，即. 应当选B(2) 如下曲线中有渐近线的是 ( )(A)(B) (C) (D) 【答案】C【解析】关于C选项：.，所以存在斜渐近线.应当选C(3) 设函数具有2阶导数，，如此在区间上 〔 〕(A) 当时，(B) 当时，(C) 当时，(D) 当时，【答案】D【解析】令，如此,,.假如，如此，在上为凸的. 又，所以当时，，从而. 应当选D.(4) 曲线上对应于的点处的曲率半径是 〔 〕(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】应当选C(5) 设函数，假如，如此 〔 〕(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】因为，所以 应当选D.(6) 设函数在有界闭区域上连续，在的内部具有2阶连续偏导数，且满足与，如此 〔 〕(A)的最大值和最小值都在的边界上取得(B)的最大值和最小值都在的内部上取得(C)的最大值在的内部取得，最小值在的边界上取得(D) 的最小值在的内部取得，最大值在的边界上取得【答案】A【解析】记如此,所以在内无极值，如此极值在边界处取得.应当选A(7) 行列式 ( )(A)(B)(C) (D)【答案】B【解析】由行列式的展开定理展开第一列.(8) 设均为三维向量，如此对任意常数,向量组,线性无关是向量组线性无关的 ( )(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【答案】A【解析】. 记，，. 假如线性无关，如此，故线性无关. 举反例. 令，如此线性无关，但此时却线性相关. 综上所述，对任意常数，向量线性无关是向量线性无关的必要非充分条件. 应当选A二、填空题：9答题纸指定位置上.(9)__________.【答案】【解析】(10) 设是周期为的可导奇函数，且，如此__________.【答案】1【解析】且为偶函数如此又且为奇函数，故又的周期为4，(11) 设是由方程确定的函数，如此__________.【答案】【解析】对方程两边同时对求偏导当时,故故(12) 曲线的极坐标方程是，如此在点处的切线的直角坐标方程是__________.【答案】【解析】由直角坐标和极坐标的关系 ，于是对应于切线斜率所以切线方程为即(13) 一根长为1的细棒位于轴的区间上,假如其线密度,如此该细棒的质心坐标__________.【答案】【解析】质心横坐标(13) 设二次型的负惯性指数是1，如此的取值X围_________.【答案】【解析】配方法：由于二次型负惯性指数为1，所以，故.三、解答题：答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(此题总分为10分)求极限【解析】.(16)(此题总分为10分)函数满足微分方程，且，求的极大值与极小值.【解析】 由，得………………………………………………………① 此时上面方程为变量可别离方程，解的通解为 由得 又由①可得 当时，，且有：所以在处取得极小值，在处取得极大值即：的极大值为1，极小值为0.(17)(此题总分为10分)设平面区域计算.【解析】D关于对称，满足轮换对称性，如此：(18)(此题总分为10分)设函数具有二阶连续导数，满足，假如，求的表达式.【解析】由，由 ，代入得，即，令得特征方程 得齐次方程通解设特解，代入方程得，特解如此原方程通解为由，得, 如此.(19)(此题总分为10分)设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：〔I〕,〔II〕.【解析】〔I〕由积分中值定理，〔II〕直接由，得到〔II〕令由〔I〕知又由于单增，所以单调不减，取，得，即〔II〕成立.(20)(此题总分为11分)设函数，定义函数列，记是由曲线，直线与轴所围成平面图形的面积，求极限.【解析】(21)(此题总分为11分) 函数满足，且求曲线所围成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积.【解析】因为,所以其中为待定函数.又因为如此，从而.令可得，当时，或，从而所求的体积为(22)(此题总分为11分) 设矩阵，为三阶单位矩阵.(I)求方程组的一个根底解系；(II)求满足的所有矩阵.【解析】, (I)的根底解系为(II)的通解为的通解为的通解为〔为任意常数〕(23)(此题总分为11分) 证明阶矩阵与相似.【解析】，，如此的特征值为，(重).属于的特征向量为；，故根底解系有个线性无关的解向量，即属于有个线性无关的特征向量；故相似于对角阵.的特征值为，(重)，同理属于有个线性无关的特征向量，故相似于对角阵.由相似关系的传递性，相似于. / 。