高等数学教学教案113格林公式及其应用.doc

六六老师数学网专用资料： http://y66.80.hk ：745924769 tel：15327376117§11.3 格林公式及其应用授课次序69教 学 基 本 指 标教学课题§11.3 格林公式及其应用教学方法当堂讲授，辅以多媒体教学教学重点格林公式及其应用教学难点各种不同情况下的计算参考教材同济大学编《高等数学（第6版）》自编教材《高等数学习题课教程》作业布置《高等数学》标准化作业双语教学微分 ：differential calculus；全微分：total differential；偏微分：partial differential ；积分：integral；重积分：multiple integral；二重积分：double integral；三重积分：threefold integral 课堂教学目标1． 掌握格林公式；2． 会运用平面曲线积分与路径无关的条件；3． 会求全微分的原函数教学过程1．格林公式（45min）；2．平面曲线积分与路径无关的条件（20min）；3．全微分的原函数（25min）教 学 基 本 内 容§11.3 格林公式及其应用 一、格林公式单连通与复连通区域: 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 对平面区域D的边界曲线L, 我们规定L的正向如下: 当观察者沿L的这个方向行走时, D内在他近处的那一部分总在他的左边. 区域D的边界曲线的方向: 定理1设闭区域D由分段光滑的曲线围成, 函数P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数, 则有, 其中L是D的取正向的边界曲线. 简要证明: 仅就D即是X－型又是Y－型的情形进行证明. 设D={(x, y)|j1(x)£y£j2(x), a£x£b}. 因为连续, 所以由二重积分的计算法有 . 另一方面, 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有 . 因此 . 设D={(x, y)|y1(y)£x£y2(y), c£y£d}. 类似地可证 . 由于D即是X－型的又是Y－型的, 所以以上两式同时成立, 两式合并即得 . 应注意的问题: 对复连通区域D, 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分, 且边界的方向对区域D来说都是正向. 设区域D的边界曲线为L, 取P=-y, Q=x, 则由格林公式得 , 或. 例1. 椭圆x=a cosq , y=b sinq 所围成图形的面积A. 分析: 只要, 就有. 解: 设D是由椭圆x=acosq , y=bsinq 所围成的区域. 令, , 则. 于是由格林公式, 例2 设L是任意一条分段光滑的闭曲线, 证明 . 证: 令P=2xy, Q=x2, 则. 因此, 由格林公式有. (为什么二重积分前有“±”号？ ) 3. 计算, 其中D是以O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1)为顶点的三角形闭区域. 分析: 要使, 只需P=0, . 解: 令P=0, , 则. 因此, 由格林公式有 . 例4 计算, 其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方向为逆时针方向. 解: 令, . 则当x2+y2¹0时, 有. 记L 所围成的闭区域为D. 当(0, 0)ÏD时, 由格林公式得; 当(0, 0)ÎD时, 在D内取一圆周l: x2+y2=r 2(r>0). 由L及l围成了一个复连通区域D 1, 应用格林公式得, 其中l的方向取逆时针方向. 于是 =2p. 二、平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关: 设G是一个开区域, P(x, y)、Q(x, y)在区域G内具有一阶连续偏导数. 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L 1、L 2, 等式 恒成立, 就说曲线积分在G内与路径无关, 否则说与路径有关. 设曲线积分在G内与路径无关, L 1和L 2是G内任意两条从点A到点B的曲线, 则有 , 因为 Û ÛÛ, 所以有以下结论: 曲线积分在G内与路径无关相当于沿G内任意闭曲线C的曲线积分等于零. 定理2 设开区域G是一个单连通域, 函数P(x, y)及Q(x, y)在G内具有一阶连续偏导数, 则曲线积分在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是等式 在G内恒成立. 充分性易证: 若, 则, 由格林公式, 对任意闭曲线L, 有. 必要性: 假设存在一点M0ÎG, 使, 不妨设h>0, 则由的连续性, 存在M0的一个d 邻域U(M0, d), 使在此邻域内有. 于是沿邻域U(M0, d)边界l 的闭曲线积分 , 这与闭曲线积分为零相矛盾, 因此在G内. 应注意的问题: 定理要求, 区域G是单连通区域, 且函数P(x, y)及Q(x, y)在G内具有一阶连续偏导数. 如果这两个条件之一不能满足, 那么定理的结论不能保证成立. 破坏函数P、Q及、连续性的点称为奇点. 例5 计算, 其中L为抛物线y=x2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧. 解: 因为在整个xOy面内都成立, 所以在整个xOy面内, 积分与路径无关. . 讨论: 设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方向为逆时针方向, 问是否一定成立？提示: 这里和在点(0, 0)不连续. 因为当x2+y2¹0时, , 所以如果(0, 0)不在L所围成的区域内, 则结论成立, 而当(0, 0)在L所围成的区域内时, 结论未必成立. 三、二元函数的全微分求积 曲线积分在G内与路径无关, 表明曲线积分的值只与起点从点(x0, y0)与终点(x, y)有关. 如果与路径无关, 则把它记为 即 . 若起点(x0, y0)为G内的一定点, 终点(x, y)为G内的动点, 则u(x, y)为G内的的函数. 二元函数u(x, y)的全微分为du(x, y)=ux(x, y)dx+uy(x, y)dy. 表达式P(x, y)dx+Q(x, y)dy与函数的全微分有相同的结构, 但它未必就是某个函数的全微分. 那么在什么条件下表达式P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某个二元函数u(x, y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？ 定理3 设开区域G是一个单连通域, 函数P(x, y)及Q(x, y)在G内具有一阶连续偏导数, 则P(x, y)dx+Q(x, y)dy 在G内为某一函数u(x, y)的全微分的充分必要条件是等式 在G内恒成立. 简要证明: 必要性: 假设存在某一函数u(x, y), 使得du=P(x, y)dx+Q(x, y)dy, 则有 , . 因为、连续, 所以, 即. 充分性: 因为在G内, 所以积分在G内与路径无关. 考虑函数u(x, y). 因为 u(x, y), 所以 . 类似地有, 从而du =P(x, y)dx+Q(x, y)dy. 即P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某一函数的全微分. 求原函数的公式: , , . 例6 验证:在右半平面(x>0)内是某个函数的全微分, 并求出一个这样的函数. 解: 这里, . 因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数, 且有 , 所以在右半平面内, 是某个函数的全微分. 取积分路线为从A(1, 0)到B(x, 0)再到C(x, y)的折线, 则所求函数为 . 问: 为什么(x0, y0)不取(0, 0)? 例7 验证: 在整个xOy面内, xy2dx+x2ydy是某个函数的全微分, 并求出一个这样的函数. 解 这里P=xy2, Q=x2y. 因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数, 且有 , 所以在整个xOy面内, xy2dx+x2ydy是某个函数的全微分. 取积分路线为从O(0, 0)到A(x, 0)再到B(x, y)的折线, 则所求函数为 . 思考与练习: 1.在单连通区域G内, 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一阶连续偏导数, 且恒有, 那么(1)在G内的曲线积分是否与路径无关?(2)在G内的闭曲线积分是否为零? (3) 在G内P(x, y)dx+Q(x, y)dy是否是某一函数u(x, y)的全微分? 2.在区域G内除M0点外, 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一阶连续偏导数, 且恒有, G1是G内不含M0的单连通区域, 那么(1)在G 1内的曲线积分是否与路径无关?(2)在G 1内的闭曲线积分是否为零?(3) 在G 1内P(x, y)dx+Q(x, y)dy是否是某一函数u(x, y)的全微分? 3. 在单连通区域G内, 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一阶连续偏导数, , 但非常简单, 那么(1)如何计算G内的闭曲线积分? (2)如何计算G内的非闭曲线积分? (3)计算, 其中L为逆时针方向的上半圆周(x-a)2+y2=a 2, y³0, 备注栏教学后记§11.3 格林公式及其应用 第 1 页 共 7 页。