数值逼近：有理逼近.pdf

第七章 有理逼近第七章 有理逼近 代数插值，计算简单，光滑性好，是逼近光滑 但当函数 在某点 附近无界，或当 而 代数插值，计算简单，光滑性好，是逼近光滑 但当函数 在某点 附近无界，或当 而 )(xfa x )(xf 插值效果差插值效果差. 趋向某一定数时，采用多项式作 的插值函数趋向某一定数时，采用多项式作 的插值函数, )(xf 在某点 附近无界在某点 附近无界, 因（因（1）多项式不能反映）多项式不能反映 a 时多项式的（时多项式的（2）当）当x 值总时趋于无穷值总时趋于无穷. 函数的重要工具函数的重要工具. §§1 1 连连分式概念连连分式概念 40915721 15111353381452 23 234    xxx xxxx R 解解：将分子分母相除，得到商式及分式，计算过程如下：：将分子分母相除，得到商式及分式，计算过程如下： 下面介绍运用辗转相除即连分式的方法求有理分式之 值，以下例说明 下面介绍运用辗转相除即连分式的方法求有理分式之 值，以下例说明. 例例1 给出有理分式给出有理分式 故有故有 40915721 284644 32 23 2       xxx xx xR 7116 40915721 4 32 2 23        xx xxx x 又可相除，并得到新的商式 ，余式 ，再将 由于 比 的次数高，故 又可相除，并得到新的商式 ，余式 ，再将 由于 比 的次数高，故 40915721 23 xxx7116 2 xx 5 x)9(6 x 7116 2 xx9 x 转为分子， 转为分母相除最后得到转为分子， 转为分母相除最后得到 7116 )9(6 5 4 32 2         xx x x xR 9 7116 6 5 4 32 2         x xx x x 9 8 7 6 5 4 32         x x x x 这个方法称为辗转相除或连分式法，需这个方法称为辗转相除或连分式法，需3 次除次除1次乘次乘 7次加次加. 而用秦九韶算法则需而用秦九韶算法则需1次除次除6次乘，次乘，7次加次加. n n n b a b a b a bR          2 2 1 1 0 引进序列引进序列 }{ k q ，它由下列递推关系式所确定：，它由下列递推关系式所确定：                1 , 2 ,, 1,, , 11 nnk q a bq bq k k kk nn （1） 的连分式可采用递推公式来计算 （1） 的连分式可采用递推公式来计算. n R 容易验证容易验证0 q n R 0 qR n ，即就是所求的，即就是所求的 还可从另外角度建立还可从另外角度建立（（1））的递推关系的递推关系. . . 记 （2） 记 （2） nk b a b a b a bR k k k ,, 2, 1 2 2 1 1 0            , 2, 1 , 21 21                 k qaqbq PaPbP kkkkk kkkkk , 1, 0, 1},{},{  kqP kk 定义序列 ，如下： （3） 定义序列 ，如下： （3） 1,, 0, 1 00011       qbPqP 此处此处 k R kk qP, 则由（2）式定义的等于之比，即则由（2）式定义的等于之比，即 nk q P R k k k ,, 2, 1 ,  （4）（4） 从而有从而有 1k 1 110 1 1 01 b abb b a bR               11 1011 bq abbP 1 1 1 q P R   证证：： 时，由（2）有 另一方面，由关系式（3）有 假设对于 时，由（2）有 另一方面，由关系式（3）有 假设对于mk  成立，则有成立，则有 21 21           mmmm mmmm m m m qaqb PaPb q P R 时公式（时公式（4）） 1 m R m R m b 1 1       m m m b a b另一方面根据定义是在中将代为 即 另一方面根据定义是在中将代为 即 21 1 1 1 21 1 1 1 1                         mmm m m mm mmm m m mm m qaq b a qb PaP b a Pb R 111 111           mmmm mmmm qaqb PaPb }{},{ kk qP 1 m P 1 m q 1 1 1         m m m q P R 由序列的定义，上式右端的分子为分母为 ，从而有 即（4）得证. 由序列的定义，上式右端的分子为分母为 ，从而有 即（4）得证. xy 1 2 y x y y x y         1 1 1 1 xy1例2 例2 求 的连分式逼近. 求 的连分式逼近. y y x     1 1将右端反复用 代入就有 将右端反复用 代入就有 xy1 两边平方有 将等式 两边平方有 将等式 y1 2 2 2 1 1 2 11                   x x x x y x x xy  解解：： 2 2 11 x x xy        y x  1 将上式右端 略去，就有近似式 将上式右端 略去，就有近似式 )( )( )( xR xq xP k k k   x 1 运用关系式（3）就可得到一串有理分式 来逼近函数. 这里 运用关系式（3）就可得到一串有理分式 来逼近函数. 这里 ), 2, 1(, 2, 1, 1, 0, 1 0011          kxabqPqP kk 计算结果如下：计算结果如下： 84 88 )(, 4 34 )(, 2 2 )( 2 321                 x xx xR x x xR x xR 32326 324818 )(, 1612 16205 )( 2 23 5 2 2 4             xx xxx xR xx xx xR , 70 99 , 49 41 , 12 17 , 5 7 , 2 3 当 时从 产生出一序列来逼近 ；当 时从 产生出一序列来逼近 ；2 1x)(xRk 即写成即写成1.5，，1.4，，1.417，，1.4138，，1.41429，， …. 414213. 12  而而 §§2 有理插值有理插值          n k k k m k k k nm xb xa xq xP xR 0 0 , )( )( )(记记 但自由度只有 个但自由度只有 个. )( , xR nm )(),(),,(xqxPnmR )( , xR nm 1  nm , ,,, 00 bbaa nm 2   mn nm, 称为有理分式记之为 分别 为次数不高于次的多项式并且是不可约的 称为有理分式记之为 分别 为次数不高于次的多项式并且是不可约的. 包含了个参数包含了个参数 1）插值问题的提出）插值问题的提出 给定 的 个互异的节点给定 的 个互异的节点 )(xf1   mn),, 1, 0(mnixi   处的值处的值 )( ii xfy   ，要求寻找一个有理分式 使得，要求寻找一个有理分式 使得 )( , xR nm )()( ,iinm xfxR  （6）（6） 问题：问题：1°插值问题（°插值问题（6）是否有解，解是否唯一）是否有解，解是否唯一?  2°怎样构造插值函数？°怎样构造插值函数？  3°插值函数的误差估计°插值函数的误差估计.  取有理插值式子为取有理插值式子为 01 01 11 )( bxb axa xR       0, 1 11   yx 0 1  a ,得,再由,得,再由0, 0 00   yx0 0  a则由，得则由，得 0)( 11  xR.于是于是1, 2 22   yx . 其不满足. 其不满足 并非所有有理插值都有解并非所有有理插值都有解. 如如: 2, 1, 0 210    xxx 1, 0, 0 210    yyy 给定给定 11 R插值函数为的形式，则插值问题无解插值函数为的形式，则插值问题无解. . ，所以若，所以若  , 2 , 1, )()( )()( )( 0 111 1                         k xfxv xvxv xx xv kkk k k （7） 将（7）式改写为 （7） 将（7）式改写为 )( )()( 1 0 000 xv xx xvxv     即即 )( )()( 1 0 00 xv xx xvxf     基于基于Newton插值多项式构造有理插值的连分式形式插值多项式构造有理插值的连分式形式. 给出一组点集 ，如果函数序列给出一组点集 ，如果函数序列 } ,,,{ 10 xxF )}({xvk 定义 满足下列关系： 就称为函数 在 上的 定义 满足下列关系： 就称为函数 在 上的 )(xvk)(xfF k阶阶反差商反差商. . 2）取连分式为插值函数）取连分式为插值函数 )( )( )( )( )()( 1 1 22 1 11 0 00 xv xx xv xx xv xx xv xx xvxf n n nn n                        （8）（8） )( )( )()( 2 1 11 0 00 xv xx xv xx xvxf         则上式又可写成 继续下去，则写成 则上式又可写成 继续下去，则写成 )( )()( 1 xv xx xvxv k k kkk       根据关系式根据关系式 上式右端略去上式右端略去 )( 1 xv xx k k     ， 并记， 并记 )( )( )( )( )()( 1 1 22 1 11 0 00 xv xx xv xx xv xx xv xx xvxR n n nn n                        （9） （ （9） （9）式是一个连分式，假设对于互异节点）式是一个连分式，假设对于互异节点 n xxx,,, 10  函数函数 )(xvk 在 处有定义，那么有在 处有定义，那么有 k x nkxfxR kk ,, 1, 0),()(   （10） 即 （10） 即)(xR 是一个有理插值函数.是一个有理插值函数. )( )( )( )()( 33 2 22 1 11 0 00 xv xx xv xx xv xx xvxR           。