几何中的调和分割及应用.doc

几何中的调和分割及应用郑皎月（安康学院数学系 陕西 安康 725000）摘要: “调和分割”又称“调和共轭”,它是交比研究中的一个重要特例，也是 贯穿大学《高等几何》课程的一个重要概念，应用它解决初等几何中有关平分角、平分线段以及高等几何中有关对合的性质、完全四点型的调和分割、完全四线型调和分割以及拉盖尔定理的推广等性质有着积极的意义 关键字：调和分割 高等几何 应用 性质 若C点分割线段AB的比值和D点分割AB的比值只差一个符号（因而一个是内分点，另一个是外分点），这时我们说C、D两点调和分割AB,或C与D对于线段AB成调和共轭点偶，用符号表示在调和分割中，两对点的关系是完全对等的，这意思是说，当C与D调和分AB时， A与B也调和分割CD,因而我们已知道，若,便也有.一、几何中的调和分割1.关于平分角中的调和分割三角形中一个角的内角和外角的平分线，将对边分成两线段的比值，都和两邻边成比例，可见，两条平分角线和对边的交点，调和分割对边 D AC A EEBE图1 证明：由三角形中一个角的内角和外角的平分线，将对边分成两线段的比值，都和两临边成比例有 即 则 因此 2、关于线段的调和分割一线段被它的中点和这直线上的无穷远点所调和分割,即证明：ABC 图2证： 因为 所以 即 则 3、关于对合的调和分割对合有两个二重元素，这两个元素是不重合的，可能是共轭复元素，并且这两个二重元素调和分割任意一对对应元素。

证明：由于对合的表达式是 所以决定二重元素的方程不能有等根，所以两根和或者是不等式实根（双曲型对合），或者是共轭复根（椭圆型对合）.由于对合是射影变换，因此保留交比，即,利用交比性质，此式可写作从而或，但将导致与重合，这与对合不是恒同变换的假设抵触，从而.4、关于完全四点形和完全四线形的调和分割完全四点形 完全四点形通过每一个对角点有一组调和线束，即通过这对角点的两边和对角三角形的两边 完全四线型 完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列，即这直线上的两个顶点和对角三角形的两个顶点 SACQRdEaDBcP QrbDACBRP图3图4证明：设AB,SQ,RT是完全四边形的三条对角线，SQ,RT交AB于C、D,则 所以 从而 （AB,CD）=1，或（AB,CD）=-1 因将导致四点A、B、C、D中有某两点重合，因这与现在的情况不合，所以现在回转来证明完全四点形的调和性质我们取对角点A为例，只需把图2上点Q、R、S、T理解为完全四点形的顶点，那么三角形ABE是它的对角三角形，要证明的是 A(RT,BE)=A(RT,DE) =(RT,DE) =(AB,DC) (因为 ) 证毕.5、关于拉盖尔定理的推论两条直线垂直的充要条件是它们和l的交点关于I(1,i,0)和,J（1，-i ,0）两点成调和共轭，亦即该两条直线被通过它们的交点的迷向直线调和分割。

证明：设两条直线的交角是,这两条直线上的无穷远点与I,J两点所成的交比是D,那么，对数函数的主值范围内，由拉盖尔定理公式 ㏑= ㏑= 所以 因此，这两条直线上的无穷远点与I,J两点所成的交比为-1，即垂直的两条直线被通过它们交点的两条迷向直线调和分割二、调和分割的应用例1 ABCD是梯形，E是两腰所在直线的交点，过两对角线的交点G引底边的平行线相交于F,则图5 EDCABIFGH证明：联结EG,分别与梯形上、下两底交于点H和I,观察到EDGH是一个完全四线形，EI是它的对角线，有完全四线形的调和性质，得到又，,故(,平行投影是特殊的射影). 这样，.证毕例2 给定一条二次曲线，证明在不是切线的每一直线上有无穷多的共轭点偶，它们组成一个对合对应.PNSSMP图6证明：设直线交二次曲线于点M、N,过M、N作的二切线交于点S，在上任取一点，过作的两条切线，连两切点的直线和交于，为点关于的极线且过点S（图4），则有 ,所以，在直线上有无穷多的共轭点偶，它们组成以M、N为二重元素的对合对应，若与无实交点为椭圆对合.参考文献：[1]朱德祥,朱维宗，高等几何.北京:高等教育出版社，2007.7.[2]丘维声,北京大学教材.解析几何.北京大学出版社.1996.10.[3]梅向明.高等几何习题集.北京: 高等教育出版社.1994.53、68-69. 。