线性代数辅导第三章.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑线性代数第三章 第三章 向量组的线性相关性和秩 一 根本要求 1．理解n维向量的概念及运算，向量的线性组合与线性表示． 2．理解向量组的线性相关与线性无关的定义及相关结论，并会判别向量组的线性相关性． 3．了解向量组的最大无关组和向量组的秩的概念， 会求向量组的最大无关组和秩． 4．了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与矩阵秩的关系． 5．了解向量空间以及相关概念，了解基变换和坐标变换公式， 会求过渡矩阵． 二 主要内容 1. 向量 (1) 定义：n个有依次的数?1,?2,?,?n所组成的数组??(?1,?2,?,?n)叫做n维向量，数?1,?2,?,?n叫做向量?的分量(或坐标)，n称为向量?的维数． (2) 向量的运算 ①加法运算：设有向量??(a1,a2,?,an)，??(b1,b2,?,bn)，那么 ????(a1?b1,a2?b2,?,an?bn). 加法运算得志运算规律： 交换律：???????. 结合律：??(???)?(???)??. ②数量k与向量?的乘积：k??(ka1,ka2,?,kan). 数乘运算得志运算规律： 交换律：k???k. 结合律：k(l?)?(kl)?. 调配律：k(???)?k??k?, (k?l)??k??l?，其中k,l为数． 2. 向量的线性相关性 (1) 对于向量?1,?2,?,?m，假设有一组数?1,?2,?,?m，使???1?1??2?2????m?m,那么说向量?是?1,?2,?,?m的线性组合，或说?可由?1,?2,?,?m线性表示． (2) 设有n维向量组?1,?2,?,?m，假设存在一组不全为0的数k1,k2,?,km，使 k1?1?k2?2???km?m?0,那么称向量组?1,?2,?,?m线性相关，否那么称为线性无关． (3) 向量组?1,?2,?,?m(m?2)线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m?1个向量线性表示． (4) 设?1,?2,?,?m线性无关，而?1,?2,?,?m,?线性相关，那么?能由?1,?2,?,?m线性表示，且表示式是唯一的． (5) 若?1,?2,?,?r线性相关，那么?1,?2,?,?r,?r?1,?,?m也线性相关(局部相关那么整体相关)． (6) 设有两个向量组A:aj?(a1j,a2j,?,anj)，B:bj?(ap1j,ap2j,?,apnj)(j?1,2, TT?,m),其中p1p2?pn是1,2,?,n这n个自然数的某个确定的排列，那么向量组A与向量组B的线性相关性一致． (7) 设有两个向量组A:aj?(a1j,a2j,?,arj) ，B:bj?(a1j,a2j,?,arj,ar?1,j)(j?1,2, TT?,m), 即bj是由aj添加一个分量而得． 若向量组A线性无关，那么向量组B也线性无关 (低维无关那么高维也无关) ． (8) 向量组 ?1,?2,?,?m线性相关的充分必要条件是他们所构成的矩阵 A?(?1,?2,?,?m)的秩小于向量的个数m，即R(A)?m，该向量组线性无关的充分必要 条件是R(A)?m． (9) n个n维向量线性无关的充分必要条件是他们所构成的方阵的行列式不等于0． (10) 当m?n时，m个n维向量?1,?2,?,?m确定线性相关． 3. 向量组的秩和最大无关组 (1) 设有两个n维向量组A:?1,?2,?,?r;B:?1,?2,??s, 假设向量组A中的每个向量都能由向量组B中的向量线性表示，那么称向量组A能由向量组B线性表示． 假设向量组A能由向量组B线性表示，且向量组B也能由向量组A线性表示，那么称向量组A和向量组B等价．行向量组A:?1,?2,?,?r;B:?1?,2?,?s记,A?(?1,?2,?,?r),B?(?1,?2,?, T?s)T，A组能由B组线性表示，那么存在矩阵K?(kij)r?s，使A?KB，对于列向量组 A:?1,?2,?,?r;B:?1,?2,??s, 记A?(?1,?2,?,?r),B?(?1,?2,?,?s)，A组能由 B组线性表示，也就是存在矩阵K?(kij)s?r，使A?BK. (2) 设有向量组T，假设 ①在T中有r个向量?1,?2,?,?r线性无关； ②T中任意r?1个向量(假设T中有的话)都线性相关，那么称?1,?2,?,?r是向量组T的一个最大无关向量组，简称最大无关组；数r称为向量组T的秩．并规定只含零向量的向量组的秩为零． (3) 设向量组A:?1,?2,?,?r；向量组B:?1,?2,?,?s．假设A组能由B组线性表示且A组线性无关，那么r?s． (4) 设向量组A:?1,?2,?,?r的秩为r1，向量组B:?1,?2,?,?s的秩为r2，假设A组能由 B组线性表示，那么r1?r2. (5) 设在向量组T中有r个向量?1,?2,?,?r得志 ① ?1,?2,?,?r线性无关； ② 任取??T,?总能由?1,?2,?,?r线性表示，那么?1,?2,?,?r是向量组T的一个最大无关组，数r是向量组的秩． (6) 矩阵的秩等于它的列秩，也等于它的行秩． (7) 设C?AB，那么R(C)?min?R(A),R(B)?. (8) 矩阵A经过初等行变换化为矩阵B，那么A、B的行向量组之间等价，A的列向量组与 B相对应的列向量组有一致的线性组合关系． 4. 向量空间 (1) 设V为n维向量的集合，假设集合V非空，且集合V对于加法及数乘两种运算(线性运算)封闭，那么称集合V为向量空间． 所谓封闭，是指在集合V中可以举行加法及数乘两种运算，即若??V,??V，那么????V；若??V,??R，那么???V.设有向量空间V1,V2，若V1?V2，那么称V1是V2的子空间． (2) 设V为向量空间，假设r个向量?1,?2,?,?r?V且得志 ① ?1,?2,?,?r线性无关； ② V中任一向量都可由?1,?2,?,?r线性表示， 那么称向量组?1,?2,?,?r为向量空间V的一个基，称r为向量空间V的维数，并称V是r维向量空间． (3) 设向量组?1,?2,?,?r是向量空间V的一个基，那么V中任一向量x可以表示为 x??1?1??2?2????r?r，称有序数组?1,?2,?,?r为向量x关于基?1,?2,?,?r的坐 标． (4) 设?1,?2,?,?n与?1,?2,?,?n是向量空间V的两个基，那么 ??1?p11?1?p21?2???pn1?n???p??p????p??2121222n2n ? ?????n?p1n?1?p2n?2???pnn?n即 ??1??p11????2??p12?? ??????????n??p1n或 p21?p22??p2n?pn1???1???1??????pn2???2??T?2??P ?????????????pnn???n???n?(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,??n)P, 并把此公式称为基变换公式，矩阵P称为由基?1,?2,?,?n到基?1,?2,?,?n的过渡矩阵．设V中的元素在基?1,?2,?,?n下的坐标为(x1,x2,?,xn)T，在基?1,?2,?,?n下的坐 '''T标为(x1,x2,?,xn)，那么有 ''T(x1,x2,?,xn)T?P(x1',x2,?,xn)． 5. 线性相关性判定方法 (1) 定义法 ① 设存在一组数k1,k2,?,km，使得方程 k1?1?k2?2?...?km?m?0. (*) ② 求解方程，假设有非零解那么线性相关，假设只有零解那么线性无关． (2) 定理法-应用定理与重要结论判断． 常用结论有： ① 单独一个非零向量是线性无关的，而零向量是线性相关的． ② 两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例． ③ 向量组中的向量个数大于维数，确定线性相关，多于n个的n维向量必线性相关． ④ n个n维向量线性无关的充分必要条件是他们所构成的方阵的行列式不等于0． ⑤ 判断相关性的常用结论：向量组片面相关那么整个向量组相关(片面相关那么整体相关)．低维(短)向量组无关，那么低维(短)向量组添加分量得到的高维(加长)向量组也无关(低维 无关那么高维无关)． (3) 向量组的秩 向量组?1,?2,?,?m线性相关的充分必要条件是他们所构成的矩阵A?(?1,?2,?,?m)的秩小于向量的个数m，即R(A)?m，该向量组线性无关的充分必要条件是R(A)?m． 6. 最大无关组的求解方法 (1) 逐个选录法． 该方法是依据最大无关组的定义，对向量组自左向右逐个选择，去掉多余向量．这种方法主要是说明如何理解最大无关组的概念，对比麻烦，只适用于向量组向量个数较少的处境，如2或3个． (2) 最高阶非零子式法． 将向量作为行向量(或作为列向量)构成矩阵，利用子式方法确定矩阵的最高阶非零子式 Dr，最高阶的非零子式所包含的行(列向量)向量构成的向量组就是原向量组的一个最大无 关组． (3) 初等变换法． 设矩阵Am?n经过有限次初等行变换变成矩阵Bm?n，那么A的任意k个列向量与B的相 对应k个列向量线性相关性一致， 因此首先把向量作为列向量构成矩阵A，对A举行初等行变换化为行阶梯型阵B， 根据B的列向量的线性相关性可确定A的最大无关组． 7. 求过渡矩阵常用方法(中间法) 在向量空间R中，求由基?1,?2,?,?n到基?1,?2,?,?n的过渡矩阵时，取R的基 nn?1??0??0???????010?????? e1? ,e?,?,en????2????????????00?????1?(当?i,?i(i?1,2,?,n)均为行向量时，也取e1,e2,?en为行向量)直接写出由基e1,e2,?en分别到?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?n的过渡矩阵，即 (?1,?2,??n)?(e1,e2,?en)A，(?1,?2,?,?n)?(e1,e2,?en)B，那么有 (?1,?2,?,?n)?(?1,?2,??n)A?1B 或 (?1,?2,??n)?(?1,?2,?,?n)B?1A， — 8 —。