2018版高中数学人教B版必修二学案：1.1.2　第2课时　平面与平面平行 .pdf

第第 2 课时课时 平面与平面平行平面与平面平行 [学习目标] 1.通过对图形的观察，了解空间中不重合的两平面有平行和相交两种位置关系. 2.掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理. [知识链接] 1.直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行. 2.直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这 个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行. [预习导引] 1.空间两个平面的位置关系 位置关系图形语言符号语言公共点个数 两平面平行 α∥β 无 两平面相交 α∩β＝a 无数个点有一条 公共直线 2.两个平面平行的判定定理 (1)定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行. (2)推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个 平面平行. 3.两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 4.三个平面平行的性质 两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. 要点一 平面与平面的位置关系 例 1 已知下列说法： ①若两个平面 α∥β，a⊂α，b⊂β， 则 a∥b； ②若两个平面 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 是异面直线； ③若两个平面 α∥β；a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 一定不相交； ④若两个平面 α∥β；a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 平行或异面； ⑤若两个平面 α∩β＝b， ；a⊂α，则 a 与 β 一定相交. 其中正确的是________(将你认为正确的序号都填上). 答案 ③④ 解析 ①错，a 与 b 也可能异面； ②错.a 与 b 也可能平行； ③对.∵α∥β，∴α 与 β 无公共点，又∵a⊂α，b⊂β，∴a 与 b 无公共点； ④对.由已知及③知：a 与 b 无公共点， 那么 a∥b 或 a 与 b 异面； ⑤错.a 与 β 也可能平行. 规律方法 两个平面的位置关系有两种：平行和相交，没有公共点则平行，有公共点则相 交，熟练掌握这两种位置关系，并借助图形来说明，是解决本题的关键. 跟踪演练 1 如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的 位置关系一定是( ) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.不能确定 答案 C 解析 如图所示，由图可知 C 正确. 要点二 平面与平面平行的判定 例 2 在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，M，E，F，N 分别是 A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中 点. 求证：(1)E，F，B，D 四点共面； (2)平面 MAN∥平面 EFDB. 证明 (1)如图，连接 B1D1， ∵E，F 分别是边 B1C1，C1D1的中点， ∴EF∥B1D1， 而 BD∥B1D1，∴BD∥EF. ∴E，F，B，D 四点共面. (2)易知 MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD. 又 MN⊄平面 EFDB，BD⊂平面 EFDB， ∴MN∥平面 EFDB. 连接 DF，MF.∵M，F 分别是 A1B1，C1D1的中点， ∴MF∥A1D1，MF＝A1D1， ∴MF∥AD，MF＝AD. ∴四边形 ADFM 是平行四边形，∴AM∥DF. 又 AM⊄平面 BDFE，DF⊂平面 BDFE， ∴AM∥平面 BDFE. 又∵AM∩MN＝M，∴平面 MAN∥平面 EFDB. 规律方法 证明两个平面平行的关键在于证明线面平行，在证明面面平行时，可利用面面 平行判定定理的推论：如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直 线，则这两个平面平行.即证一个平面内的两条相交直线与另一个平面的两条相交直线分别 平行即可. 跟踪演练 2 如图，三棱锥 P－ABC 中，E，F，G 分别是 AB，AC，AP 的中点.证明：平面 GEF∥平面 PCB. 证明 因为 E，F，G 分别是 AB，AC，AP 的中点， 所以 EF∥BC，GF∥CP. 因为 EF，GF⊄平面 PCB， 所以 EF∥平面 PCB，GF∥平面 PCB. 又 EF∩GF＝F， 所以平面 GFE∥平面 PCB. 要点三 面面平行的性质定理的应用 例 3 如图，平面四边形 ABCD 的四个顶点 A、B、C、D 均在平行四边形 A′B′C′D′ 所确定一个平面 α 外，且 AA′、BB′、CC′、DD′互相平行. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. 证明 在▱A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′. ∵A′B′⊄平面 C′D′DC，C′D′⊂平面 C′D′DC， ∴A′B′∥平面 C′D′DC. 同理 A′A∥平面 C′D′DC. 又 A′A∩A′B′＝A′，∴平面 A′B′BA∥平面 C′D′DC. ∵平面 ABCD∩平面 A′B′BA＝AB， 平面 ABCD∩平面 C′D′DC＝CD，∴AB∥CD. 同理 AD∥BC.∴四边形 ABCD 是平行四边形. 规律方法 1.利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面 的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交. 2.面面平行⇒线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面 面平行的相互转化. 跟踪演练 3 两条异面直线 BA、DC 与两平行平面 α、β 分别交于 B、A 和 D、C，M、N 分 别是 AB、CD 的中点. 求证：MN∥平面 α. 证明 如图，过 A 作 AE∥CD 交 α 于 E，取 AE 的中点 P， 连接 MP、PN、BE、ED. ∵AE∥CD，∴AE、CD 确定平面 AEDC. 则平面 AEDC∩α＝DE，平面 AEDC∩β＝AC， ∵α∥β，∴AC∥DE. 又 P、N 分别为 AE、CD 的中点， ∴PN∥DE.PN⊄α，DE⊂α， ∴PN∥α. 又 M、P 分别为 AB、AE 的中点， ∴MP∥BE，且 MP⊄α，BE⊂α， ∴MP∥α，又 MP∩PN＝P， ∴平面 MPN∥α. 又 MN⊂平面 MPN，∴MN∥α. 1.圆柱的两个底面的位置关系是( ) A.相交 B.平行 C.平行或异面 D.相交或异面 答案 B 解析 圆柱的两个底面无公共点，则它们平行. 2.下列说法正确的是( ) ①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行； ②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行； ③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行； ④一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行. A.①③ B.②④ C.②③④ D.③④ 答案 D 解析 由两平面平行的判定定理知③④正确. 3.在正方体 EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是( ) A.平面 E1FG1与平面 EGH1 B.平面 FHG1与平面 F1H1G C.平面 F1H1H 与平面 FHE1 D.平面 E1HG1与平面 EH1G 答案 A 解析 EG∥E1G1，EG⊄平面 E1FG1，E1G1⊂平面 E1FG，∴EG∥面 E1FG1，同理 EH1∥平 面 E1FG1，且 EG∩EH1＝E，∴平面 EGH1∥平面 E1FG1. 4.已知 a 和 b 是异面直线，且 a⊂平面 α，b⊂平面 β，a∥β，b∥α，则平面 α 与 β 的位置 关系是________. 答案 平行 解析 在 b 上任取一点 O，则直线 a 与点 O 确定一个平面 γ， 设 γ∩β＝l，则 l⊂β，∵a∥β，∴a 与 l 无公共点， ∴a∥l，∴l∥α.又 b∥α，根据面面平行的判定定理可得 α∥β. 5.若平面 α∥平面 β，a⊂α，下列说法正确的是________. ①a 与 β 内任一直线平行；②a 与 β 内无数条直线平行； ③a 与 β 内任一直线不垂直；④a 与 β 无公共点. 答案 ②④ 解析 ∵a⊂α，α∥β，∴a∥β，∴a 与 β 无公共点，④正确；如图，在正方体中，令线段 B1C1所在的直线为 a，显然 a 与 β 内无数条直线平行，故②正确；又 AB⊥B1C1，故在 β 内 存在直线与 a 垂直，故①③错误. 常见的面面平行的判定方法： (1)利用定义：两个平面没有公共点. (2)归纳为线面平行. ①平面 α 内的所有直线(任一直线)都平行于 β，则 α∥β； ②判定定理：平面 α 内的两条相交直线 a，b 都平行于 β. Error!Error!⇒α∥β，五个条件缺一不可. 应用时的关键是在 α 内找到与 β 平行的相交直线 a，b. (3)化归为线线平行：平面 α 内的两条相交直线与平面 β 内的两条相交直线分别平行，则 α∥β(证明后可用). (4)利用平行平面的传递性：两个平面同时和第三个平面平行，则这两个平面平行. 。