2012年上海高考数学理科试题及知识点解析.doc

1 2012 年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（56 分）：1． （2012•上海）计算： =　_________　（i 为虚数单位） ．2． （2012•上海）若集合 A={x|2x+1＞0} ，B={x||x ﹣1|＜2}，则 A∩B=　_________　．3． （2012•上海）函数 f（x）= 的值域是　_________　．4． （2012•上海）若 =（﹣2， 1）是直线 l 的一个法向量，则 l 的倾斜角的大小为　_________　（结果用反三角函数值表示） ．5． （2012•上海）在 的二项展开式中，常数项等于　_________　．6． （2012•上海）有一列正方体，棱长组成以 1 为首项、 为公比的等比数列，体积分别记为 V1，V 2，…，V n，…，则 （V 1+V2+…+Vn）═ 　_________　．7． （2012•上海）已知函数 f（x）=e |x﹣a|（a 为常数） ．若 f（x）在区间[1 ，+∞）上是增函数，则 a 的取值范围是　_________　．8． （2012•上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面，则该圆锥的体积为 　_________　．9． （2012•上海）已知 y=f（x）+x 2 是奇函数，且 f（1）=1，若 g（x）=f（x）+2，则g（﹣1） =　_________　．10． （2012•上海）如图，在极坐标系中，过点 M（2，0）的直线 l 与极轴的夹角 a= ，若将 l 的极坐标方程写成 ρ=f（θ ）的形式，则 f（θ）=　_________　．2 11． （2012•上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是　_________　（结果用最简分数表示）．12． （2012•上海）在平行四边形 ABCD 中，∠A= ，边 AB、AD 的长分别为 2、1，若M、N 分别是边 BC、CD 上的点，且满足 = ，则 的取值范围是　_________　．13． （2012•上海）已知函数 y=f（x）的图象是折线段 ABC，其中 A（0，0） 、B（ ，5） 、C（1，0） ，函数 y=xf（x） （ 0≤x≤1）的图象与 x 轴围成的图形的面积为　_________　．14． （2012•上海）如图， AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱，BC=2，若 AD=2c，且 AB+BD=AC+CD=2a，其中 a、c 为常数，则四面体 ABCD 的体积的最大值是　_________　．二、选择题（20 分）：15． （2012•上海）若 1+ i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个复数根，则（　　）A．b=2，c=3 B． b=﹣2，c=3C． b=﹣2，c=﹣1D． b=2，c=﹣ 116． （2012•上海）在 △ABC 中，若 sin2A+sin2B＜sin 2C，则△ABC 的形状是（　　）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定17． （2012•上海）设 10≤x1＜ x2＜x 3＜x 4≤104，x 5=105，随机变量 ξ1 取值x1、x 2、x 3、x 4、x 5 的概率均为 0.2，随机变量 ξ2 取值 、 、 、、 的概率也均为 0.2，若记 Dξ1、D ξ2 分别为 ξ1、ξ 2 的方差，则（　　）A．Dξ1＞Dξ 23 B．Dξ1=Dξ2C．Dξ1＜Dξ 2D．Dξ1 与 Dξ2 的大小关系与 x1、x 2、x 3、x 4 的取值有关18． （2012•上海）设 an= sin ，S n=a1+a2+…+an，在 S1，S 2，…S 100 中，正数的个数是（　　）A．25 B．50 C．75 D．100三、解答题（共 5 小题，满分 74 分）19． （2012•上海）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥ 底面 ABCD，E是 PC 的中点，已知 AB=2，AD=2 ，PA=2，求：（1）三角形 PCD 的面积；（2）异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小．20． （2012•上海）已知 f（x）=lg（x+1）（1）若 0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求 x 的取值范围；（2）若 g（x）是以 2 为周期的偶函数，且当 0≤x≤1 时，g（x）=f（x） ，求函数 y=g（x）（x∈[1，2] ）的反函数．21． （2012•上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度） ，则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里 A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 ；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发 t 小时后，失事船所在位置的横坐标为 7t（1）当 t=0.5 时，写出失事船所在位置 P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？4 22． （2012•上海）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C1：2x 2﹣y2=1．（1）过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及 x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点，若 l 与圆 x2+y2=1 相切，求证：OP⊥OQ；（3）设椭圆 C2：4x 2+y2=1，若 M、N 分别是 C1、C 2 上的动点，且 OM⊥ON，求证：O 到直线 MN 的距离是定值．23． （2012•上海）对于数集 X={﹣1，x 1，x 2，…，x n}，其中 0＜x 1＜x 2＜…＜x n，n≥2，定义向量集 Y={ =（s，t） ，s ∈X，t∈X} ，若对任意 ，存在 ，使得 ，则称 X 具有性质 P．例如{﹣ 1，1，2}具有性质 P．（1）若 x＞2，且{﹣1，1，2，x} 具有性质 P，求 x 的值；（2）若 X 具有性质 P，求证：1∈X，且当 xn＞1 时，x 1=1；（3）若 X 具有性质 P，且 x1=1、x 2=q（q 为常数） ，求有穷数列 x1，x 2，…，x n 的通项公式．5 2012 年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（56 分）：1． （2012•上海）计算： =　1﹣2i 　（i 为虚数单位） ．考点： 复数代数形式的乘除运算。

专题： 计算题分析： 由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以 1﹣i，再由进行计算即可得到答案解答： 解：故答案为 1﹣2i点评： 本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握2． （2012•上海）若集合 A={x|2x+1＞0} ，B={x||x ﹣1|＜2}，则 A∩B=　（﹣ ，3）　．考点： 交集及其运算专题： 计算题分析： 由题意，可先将两个数集化简，再由交的运算的定义求出两个集合的交集即可得到答案解答： 解：由题意 A={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣ }，B={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，所以 A∩B=（﹣ ，3）故答案为（﹣ ， 3）点评： 本题考查交集的运算，解题的关键是熟练掌握交集的定义及运算规则，正确化简两个集合对解题也很重要，要准确化简3． （2012•上海）函数 f（x）= 的值域是　 　．考点： 二阶矩阵；三角函数中的恒等变换应用专题： 计算题分析： 先根据二阶行列式的运算法则求出函数的解析式，然后化简整理，根据正弦函数的有界性可求出该函数的值域．6 解答： 解：f（x）= =﹣2﹣sinxcosx=﹣2﹣ sin2x∵﹣1≤sin2x≤1∴﹣ ≤﹣ sin2x≤则﹣ ≤﹣2﹣ sin2x≤﹣∴函数 f（x）= 的值域是故答案为：点评： 本题主要考查了二阶行列式的求解，以及三角函数的化简和值域的求解，同时考查了计算能力，属于基础题．4． （2012•上海）若 =（﹣2， 1）是直线 l 的一个法向量，则 l 的倾斜角的大小为　arctan2　（结果用反三角函数值表示） ．考点： 平面向量坐标表示的应用。

专题： 计算题分析： 根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据 k=tanα 可求出倾斜角．解答： 解：∵ =（﹣ 2，1）是直线 l 的一个法向量∴可知直线 l 的一个方向向量为（1，2） ，直线 l 的倾斜角为 α 得，tanα =2∴α=arctan2故答案为：arctan2点评： 本题主要考查了方向向量与斜率的关系，以及反三角的应用，同时运算求解的能力，属于基础题．5． （2012•上海）在 的二项展开式中，常数项等于　﹣160　．考点： 二项式定理的应用专题： 计算题分析： 研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得 x 的指数为 0，得到相应的 r，从而可求出常数项．解答： 解：展开式的通项为 Tr+1= x6﹣r（﹣ ） r=（﹣ 2） r x6﹣2r 令 6﹣2r=0 可得 r=3常数项为（﹣2） 3 =﹣160故答案为：﹣160点评： 本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题．7 6． （2012•上海）有一列正方体，棱长组成以 1 为首项、 为公比的等比数列，体积分别记为 V1，V 2，…，V n，…，则 （V 1+V2+…+Vn）═ 　 　．考点： 数列的极限；棱柱、棱锥、棱台的体积。

专题： 计算题分析： 由题意可得，正方体的体积 = 是以 1 为首项，以 为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求解答： 解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为 an则∴ = 是以 1 为首项，以 为公比的等比数列则 （V 1+V2+…+vn）= =故答案为：点评： 本题主要考查了等比数列的求和公式及数列极限的求解，属于基础试题7． （2012•上海）已知函数 f（x）=e |x﹣a|（a 为常数） ．若 f（x）在区间[1 ，+∞）上是增函数，则 a 的取值范围是　（﹣∞，1]　．考点： 指数函数单调性的应用专题： 综合题分析： 由题意，复合函数 f（x）在区间 [1，+∞）上是增函数可得出内层函数 t=|x﹣a|在区间[1 ，+∞）上是增函数，又绝对值函数 t=|x﹣a|在区间[a ，+∞）上是增函数，可得出[1，+∞）⊆[a ，+ ∞） ，比较区间端点即可得出 a 的取值范围解答： 解：因为函数 f（x）=e |x﹣a|（a 为常数） ．若 f（x）在区间 [1，+∞）上是增函数由复合函数的单调性知，必有 t=|x﹣a|在区间[1 ，+∞）上是增函数又 t=|x﹣a|在区间[a，+ ∞）上是增函数所以[1，+ ∞）⊆[a，+ ∞） ，故有 a≤1故答案为（﹣∞ ，1]8 点评： 。