第四章 量子力学中的力学量.docx

第四章量子力学中的力学量§ 4.1 算符的运算规则4.1.1、算符的定义：作用在一个函数上得出另一个函数的运 算符号由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义 的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意 义，例如：Fu(x) = v(x)F = d/dx, du(x)/dx = v(x)其作用是对函 数u微商，故称为微商算符；F = x, x^u(x) = v(x)它对u作用是 使u变成v量子力学中表示力学量的算符的规则的基本假设：如果量 子力学中的力学量F在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符F由经典表示式F(r,p)将p换为算符p得到F (r, p)如角动量算符L = rxp4.1.2、算符的一般特性(1) 线性算符满足如下运算规律的算符Q称为线性算符O (c W +c W ) = c O +c O11 2 2 1 1 2 2其中c , c是任意复常数，W , W是任意两个波函数 1 2 1 2例如：动量算符P = —i沱和单位算符I都是线形算符而开方算符、取复共轭就不是线性算符描写可观测量的力学量算符 都是线性算符，这是态叠加原理的反映2）算符相等若两个算符5、U对体系的任何波函数w的运算结果都相同， 即 Ow — Uw， 则算符O和算符u相等记为O — u。

3） 算符之和若两个算符O、u对体系的任何波函数w有 G+U Z - Ow + Uw — Ew， 则"+U = e称为算符之和例如：体系Hamilton算符H = T+V表明Hamilton算符H等于 体系动能算符T和势能算符V之和显然，算符求和满足交换 率和结合率很易证明线性算符之和仍为线性算符4） 算符之积若o（Ujw） = （OU） w席w，则OU -E称为算符的乘积，其中w是任 意波函数一般来说算符之积不满足交换律，即OU丰UO，这 是算符与通常数字运算规则的唯一不同之处例如 "px5） 对易关系若OU ^ UO，则称O与U不对易动量算符与坐标算符的对易 关系：xp w = x（-访 @）w = -ihx 尊wx dx dxp xw = （-ih 尊）xw = -ihw - ihx @wx 6x dx于是（xp - p x）w - ihw，因为w是任意波函数，所以xp - p x - ih，x x x x同样可得访-py = ih和zp - pz - ih但是坐标算符与其非共轭 动量对易，各动量之间相互对易例如 xp - p x = 0, p p - p p = 0 等与成通式y y x y y xx p - p x = ih8 , p p - p p = 0, a, P = x, y, za p P a aP a P P a上式是量子力学中最基本的对易关系。

若算符满足Ou = - uo,则称注意：当6与疗对易，#与£对易，不能推知5与£对易与否例如：工与力对易，Q与D对易，而x与D不对易Xd 1） ——+ - dr r）证可米用如下方法计算对易关系=0（d 1、[r,p - r\-ih —+ - V.（d 1）~ih —i—\dr r）例计算对易关系[r,p ] ?其中p =-iti r r= -ihr—\\f 一访W +访龙■（冲）+z•方Wdr drd d=-ihr一V +，方 W + ih 一Wdr dr[r, p ] = ihr最后得到（7）逆算符能够唯一的解出* ,则可定义算符d的逆算定义：设6甲=（|）,付 0-1 刃：0* =w性质I：若算符6的逆诳存在，则6弘=弘6 = 1，且 [do-1,0-id] = o 证:甲=6一1（|）=6-1（6 w）=（6-i 6）甲 因为w 是任意函 数，所以01 d =i成立•同理，dd 1 =i亦成立.性质II:若代#均存在逆算符，则（8）算符函数设给定一函数尸⑴，其各阶导数均存在，其幕级数展开收敛,F（X）= 2T FW^Xnn\n=0则可定义算符U的函数F（&）为F (U )—芝 30> U nn!子_尹1e dx —乙—n!n—0n=0例如：e -艺 + [-iHt ]n n! 方 n =0（9）复共轭算符 算符U的复共轭算符U *就是把U表达式中的所有量换成复共轭.例如：坐标表象中p* =（—茂0）* =茂 0 = —p（10）转置算符 算符&的转置算符U定义为j dTV * U8 =J dT^lJy * 式中w和4是两个任意函数。

例1：侦=fdx dx证：jg dxw * 虾—jg d师#w *=8w*i8 —jg dxw *令8 = 一）8 dxw * 井8—s dx -g g -g -gdx dx式中假设8（±g）=w（±g）=0，若此假设不成立，则作周期性边界 条件假设于是得到jg dxw*（导+号）8-0由于w, 8是任意波函数，所以W =—弁 dx dx同理可证：p 一p可以证明：ab-ba （11）厄密共轭算符 算符&的厄密共轭算符& +定义为j dTW * O +8 = j dT （Ow ）*8J dTW * O祐=J d （而）*8=[J dT8 *（ Ov ）]*=J dT©O *V *=J dTV * O *8最后等式用到转置算符的定义，因此厄密共轭算符亦可写成:6 + = 6 *可以证明：（Ab）=B+A+, （abc..•）=... C+B+A+12） 厄密算符 满足下列关系的算符称为厄密算符J d砰 *6 8 = J d（6 v ）*8 或 O + = o厄密算符具有如下性质 性质I：两个厄密算符之和仍是厄密算符即若6+=6，认土 贝 U（6+U ）=6 ++U+ = 6+U性质II：两个厄密算符之积一般不是厄密算符，除非二算符vt—U 曰 匚口、/, I /\ /\ I 人 人 人人 Zt7、【九 人 人 「r—L I /\ /\ I 人人 J -对勿。

因为 9u5=U+O+ = UO，仅当[6,U] = 0 时，VDur =6u才成立§ 4.2 动量算符和角动量算符4.2.1动量算符1. 动量算符的厄密性J" v *p 8dx = J" v *（-访 d）8dx = 一访V *8 * -（一访）J" 8 dV *dx-8 x -" dx 一" -" dx使用波函数在无穷远处趋于零或周期性的边界条件得W * p 帼x =卜(p w )*©dxJ"x x一8 —8由证明过程可见，算符的厄密性与波函数的边界条件有关2. 动量算符的本征值和本征函数动量算符的本征方程 -ih^w (r) = pw (r)其分量形式为-ih @w (r) = p W (r), — ih @w (r) = p W (r), — ih ^w (r) = p W (r)dx p x p dy p y p dz p z p采用分离变量法，令w(r) =w (x)w (y)W (z)，代入动量本征方程并 写成分量形式，且等式两边除以该式，得dx-ih W(y) = p W (y) dy-ih W(z) = p解之得W p (y) = c2 eW p (z) = c3epv于是W p (r) =W(x)W (y )Wpx py Pz=c eip x/hc epy/hc eip z/h = ce，p・r/h xyz1 2 3这正是自由粒子的de Broglie波的空间部分波函数。

3. 归一化系数的确定J"甲 * (r)w (r)di =| c |2 J" e-ip'・r/he，p・r/hdx-8 p p -8=1 c |2 J 8 ei(p-p')・r/hdx =1 c |2 (2兀 h)36 (p - p')如果取|c|2 (2 兀 h )3=1 则W p(r)就可归一化为6 -函数，即W (r) =(2k h */2 eip ・r/ h据上所述，动量算符的本征值是连续分布的，本征函数不能归一化为一，而只能归一化为$-函数欲取分立值时，可以采用箱归一化，或称周期性边界条件在箱子边界的对应点A, A，上加上其波函数相等的条件，此边界条件称为周期性边界条件即W (x - L /2, y, z) =w (x - L /2, y, z)， p i p i或写为 CUI P'S* Pyy+ PzZ ]/ 方=COl- PxL2+ PyBPz 汕，…由此得 exp (ip L/ h)=1 ， 于 是 有p / h =兀 L = 2 兀 h = , ± ± … 这表明，p只能取分立值换言之，加上周期性边界条件后，连续谱变成了分立 谱同理p =2兀 hn / L, p = 2兀 hn / L, n , n = 0, ±1, ±2,…。

最后波函数变 y y z z y z为W (r)=w =Cgi[2 兀 hnx x+2 兀 hnyy+2 兀 hn^z ]/ hLP nxlyUz这时归一化系数c可由归一化条件来确定J 十 jw 叩 dT = C 2』十 j dT = C 2 L = 1 p p-L/2 -L/2所以C = L-3/2，归一化的本征函数为W = L-3/2 Oip *r / h = V-1/2 Oip・r/h^x^y^z4. 关于动量算符本征函数的几点说明：(1) 箱归一化实际上就是选择周期性边界条件2) 由 p =2兀hn / L, p = 2兀hn / L, p = 2兀hn / L可以看出，相邻x x y y z z两本征值的间隔询=2曲/ L与L成反比当L选的足够大时，本 征值间隔可任意小，当LT8时，本征值变成为连续谱3) 从这里可以看出，只有分立谱才能归一化为一，连续谱 归一化为8—函数4) 寸p(r)exp (—iEt/方)就是自由粒子波函数，在它所描写的状态 中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的本征值5) 周期性边界条件是动量算符厄米性的要求6) 箱归一化与归一化为8—函数之间的关系则是基于相空 间中的统计意义。

4.2.2角动量算符1 .角动量算符的形式经典力学中，若动量为p，相对坐标原点点O的位置矢量为r 的粒子绕O点的角动量是l = rxp根据量子力学基本假定， 量子力学角动量算符为£ 一 今 -4- . L7L = r x p = -ihr xV在直角坐标系中的分量表示为L^ = yp - zpy =-ih(y 项-z 了)< L = zp 一 xp = -ih(z 合一 x 亏)L = xp - yp = -ih(x令一 y 令)I z y x dy dx2 .角动量平方算符L = L 2 + L 2 + L 2 = (yL - zL )2 + (zL - xL )2 + (xL - yLL )2 x y z z y x z y x=—h2[(y d — z d )2 + (z d — x d )2 + (x d — y d )2dz dy dx dz dy dx由于角动量平方算符中含有关于x，y，z偏导数的交叉项，所以直角坐标下角动量平方算符的本征方程不能分离变量 难于求解，为此采用球坐标较为方便.3 .球坐标系—=si。