流体运动的基本方程.doc

1第 2 章 流体运动的基本方程流体运动极其复杂，但也有其内在规律这些规律就是自然科学中通过大量实践和实验归纳出来的质量守恒定律、动量定理、能量守恒定律、热力学定律以及物体的物性它们在流体力学中有其独特的表达形式，组成了制约流体运动的基本方程本章将根据上述基本定律及流体的性质推导流体运动的基本方程，并给出不同的表达形式2.1 连续方程2.1.1 微分形式的连续方程质量守恒定律表明，同一流体的质量在运动过程中保持不变下面从质量守恒定律出发推导连续性方程在流体中任取由一定流体质点组成的物质体，其体积为 ，质量为 ，则VMVdM根据质量守恒定律，下式在任一时刻都成立(2-1)0Vt应用物质体积分的随体导数公式（1-15b） ，则 0dV)]v(it[d)viDt(dt VV 因假定流体为连续介质，流体密度和速度均为空间和时间的连续函数，被积函数连续，且体积 是任意选取的，故被积函数必须恒等于零，于是有V（2-2a）0vdit或（2-3a）)(it上式亦可以写成如下形式（ 2-2b）0xuDti或（2-3b）0x)u(ti2式（2-2）和式（2-3）称为微分形式的连续性方程。

在直角坐标系中，微分形式的连续性方程为（2-4）0z)u(y)(x)u(t 微分形式的连续性方程适用于可压缩流体非恒定流，它表达了任何可实现的流体运动所必须满足的连续性条件其物理意义是，流体在单位时间流经单位体积空间时，流出与流入的质量差与其内部质量变化的代数和为零由式（2-2）可对不可压缩流体给出确切定义不可压缩流体的条件应为（2-5）0Dt即密度应随质点运动保持不变 只是指密度是恒定不变的，但流体质点密度还可以在流动中随位置发生变化只有满足式（2-5） ，质点密度才能保持不变但不能排除各个质点可以具有各自不同的密度如海水在河口淡水下面的入侵（图 2-1） ，含细颗粒泥沙的浑水在水库的清水下面沿库底的的运动（图 2-2） ，都是具有不同密度的不可压缩流动在这种流动中，因密度不同形成不同的流层，常称为分层流动图 2-1 河口的海水入侵 [1]图 2-2 水库中的浑水异重流 [1]对不可压缩均质流体，则不但 ，而是在全流场和全部时间内 ＝常数，因此，0Dt连续性方程简化为3（2-6a ）0zuyx以张量形式表示（2-6b）0xui以矢量表示（2-6c ） ）vdi即速度 的散度为零。

v或写为（2-6d）0v对不可压缩流体二元流，连续性微分方程可写为（2-7）yux微分形式的连续性方程也可通过下面的方法推导设想在流场中取一空间微分平行六面体（图 2-3） ，六面体的边长为 ，其形心dzyx,为 A(x,y,z)，A 点的流速在各坐标轴的投影为 ，A 点的密度为 zyxu,图 2-3 微分平行六面体分析该六面体流体质量的变化经一微小时段 ，自左面流入的流体质量为 dt；自右面流出的流体质量为 dyztxudx)2)(2(，故 时段内沿 x 方向流入与流出六面体的流体质量差为 dyztxudyztxux )()( 同理，在 时段内沿 y 和 z 方向流进与流出六面体的流体质量之差分别为dt4和 dxyztu)(dxyztuz)(因此，在 时段内流进与流出六面体总的流体质量的变化为dt dxyztuyxuz)()(因六面体内原来的平均密度为 ，总质量为 ；经 时段后平均密度变为t，总质量变为 ，故经过 时段后六面体内质量总变化为dtdxyzt)(dtxyzttt 在同一时段内，流进与流出六面体总的流体质量的差值应与六面体内因密度变化所引起的总的质量变化相等，即 dxyztzuyxudxyztt  )()()(两端除以 后即得式（2-4） 。

2.1.2 积分形式的连续方程对式（2-1）应用物质体积分的随体导数公式（ 1-15a） ，则有（2-8）0dSuVtn这就是积分形式的连续性方程对于圆管或明渠一维恒定流动，因 ，则式（2-8）简化为t（2-9）0dSun上式的物理意义是，单位时间内流入和流出某一管段或某一明渠段的流体质量必相等这个条件可简单地表示为（2-10a）21Av或（2-10b）21式中 和 为管段或明渠段的流入断面和流出断面的面积， 和 为上述两断面的平均1A2 1v25速度式（2-10）即为水力学中经常用到的总流的连续性方程该式说明，在不可压缩流体总流中，任意两个过流断面所通过的流量相等也就是说，上游断面流进多少流量，下游任何断面也必然流出多少流量2.2 运动方程连续性方程是控制流体运动的基本方程之一，它只限于流体运动必须遵循的一个运动学条件因此，还须从动力学角度提出流动必须满足的条件，即运动方程(equation of motion） ，这样才组成求解流动的最基本方程组2.2.1 应力表示的运动方程以图 1-9 所示的流体中的微小六面体作为隔离体进行分析微小六面体的质量为作用在六面体上的表面力每面有三个：一个法向应力，两个切应力。

设法向应dxyz力沿外法线方向为正，设包含 A 点的三个面上的切应力为负向，则包含 H 点的三个面上的切应力必为正向根据牛顿第二定律写出 x 方向的动力平衡方程式 dtuxyzdz)( dxyz)dy( )p(zpXdxy xxzxyx xxx  化简后得 x 方向的方程同理可得 方向的方程则,（2-11a）dtu)yx(1)zp(ZtzyYdtu)y(1)p(Xzzyyxxzxxx上式就是以应力表示的粘性流体的运动微分方程式这是流体运动方程最一般的表达形式写成张量形式（2-11b）jiiixp1Fdtu写成矢量形式6(2-11c）divFt式中， 表示单位体积上的惯性力； 表示单位体积上的质量力；而 则表示单dtv div位体积上的应力张量的散度于是运动方程（2-11c）表明单位体积上的惯性力等于单位体积上的质量力加上单位体积上应力张量的散度上述推导表明，流体运动方程即是牛顿第二定律在流体运动中的应用因牛顿第二定律就是动量定律，因此运动方程有时也称动量方程流体运动方程也可从动量定理直接导出，下面进行推导。

任取一体积为 的流体，它的边界为 根据动量定理，体积 中流体动量的变化率VSV等于作用在该体积上的质量力和表面力之和以 表示作用在单位质量上的质量力分布函F数，而 为作用在单位面积上的表面力分布函数，则作用在 上和 上的总质量力和表np S面力为 及 ，其次，体积 内的动量是 于是动量定理可写成下列Vd FSnVVdv表达式(2-12) VVSnpdFvdt对上式左端项，利用质量守恒定律，有下式成立 dVtvmdtvtmvdttV VV  对上式右端第二项应用奥高定理，有下式成立 SSVnivp其中 是应力张量于是式（2-12）变为0divFdtV因 任意，且假定被积函数连续，因此被积函数恒为零，得V（2-11c）divt上式也称为微分形式的动量方程，一般称为运动方程2.2.2 纳维－斯托克斯方程将不可压缩牛顿流体的本构方程式7（1-41a ）)3,21,(,2jipijijij代入式（2-11b） ，并应用 变形率张量ij（1-23）)xu(21ijjiij则有（2-13）)xu(xp1Fdtujiijjiii 对于不可压缩流体， ，则0xj0)xu()(jiijj 而 i2ji2ji2jij uxu)x(其中， 为拉普拉斯（Laplace）算子。

2321x2zy将上式代入式（2-13） ，得（2-14a）i2iii uxp1Fdtu上式即是纳维－斯托克斯(Navier-Stokes)方程，简称 N-S 方程式中 为运动粘滞系数，或写成以下形式（2-14b）vp1Fdtv2（2-14c ）gradt2（2-14d）2jiiijii xup1Fxut 8式中， 是哈密顿（Hamilton）算子， 是压强梯度ixezkyjxi gradp在直角坐标系下，上述方程表述为（2-14e ）z2z yy x2xup1ZdtuYup1Xdtu或（2-14f ）  )zuyxu(zp1Zzuyuxtu yYt )zuyx(p1Xzuyuxtu 22zzzz y22yyy xxxxx 上述 N-S 方程是不可压缩粘性流体的普遍方程N-S 方程中有四个未知数 ，zyxu,p因 N-S 方程组和连续性方程共有四个方程式，所以从理论上讲是可求解的，但实际上由于数学上的困难，N-S 方程尚不能求出普遍解。

一般只能在简单的边界条件，并略去一些次要因素，才能求得解析解随着计算技术的发展，一些复杂的流体运动的数值求解日渐完善如果流体为理想流体，运动粘滞系数 ，则 N-S 方程即成为理想流体的运动微分0方程，即 Euler 运动微分方程方程（2-15a ）iiixp1Fdtu或（2-15b）p1dtv如果流体为静止或相对静止流体，则 N-S 方程即成为流体的平衡微分方程，即 Euler平衡微分方程方程：（2-16a ）0xp1Fii或9（2-16b）0p1F2.2.3 兰姆－葛罗米柯方程在运动方程式（2-15）中，将加速度 写成dtvtvd考虑到场论中基本运算公式 arot2grad)( 我们有（2-17）vrot2Vgadtvd将惯性加速度写成上述形式的优点在于它将 中的位势部分和涡旋部分分开，这样做在解决具体问题时常常是方便的将式（2-17）代入式（2-15 ） ，得（2-18）divFvrot2Vgadtv这就是所谓得兰姆－葛罗米柯（ － ）形式的运动方程Lmbpek2.3 动量方程流体运动方程联同连续性方程原则上已可求解流动的流速分布和压强分布。

进而，由流速分布通过本构方程求得切应力分布通过积分即可求出某一作用面上流体合力，这常常是许多工程问题所需要寻求的例如作用于水轮机叶片上的力，作用于火箭的合力，以及作用于螺旋桨的推力等但工程上往往只关心总的合力，并不关心其分布情况若按上述方法，工作量甚大，又非必需而动量方程（动量的积分方程）则可以简单方便地解决这类问题下面从动量定理出发推导运动方程与推导流体运动方程（微分形式的动量方程）的方法相同，任取一体积为 的流体，V它的边界面为 根据动量定理，体积 中流体动量的变化率等于作用在该体积上的质量SV10力和表面力之和以 表示作用在单位质量上的质量力分布函数，而 为作用在单位面F np积上的表面力分布函数，则作用在 上和 上的总质量力和表面力为 及 ，VSVd FSn其次，体积 内的动量是 于是动量定理可写成下列表达式 VVdv(2-12)SnpFdt对上式左边应用物质体积分的随体导数公式（1-16）得(2-19a)dSpVdvVtvnSn这就是积分形式的动量方程，一般称为动量方程(momentum equation)式中， 是表面外nv法线方向的速度分量。

把总质量力和表面力为 及 分别用 和 表示，则上式表示Vd F。