数学物理方法复变函数复习..ppt

第一篇 复变函数 （串讲） 总的概念： 微 分 积 分 级 数 留数定理 极限连续可导解析 C-R条件 初等函数 调和函数 1个定义，2个定理，3个公式 泰勒级数 罗朗级数孤立奇点 实函数的积分 第一章 解析函数 基本要求： 1. 熟练掌握复数的各种表示方法及六则运算； 2. 掌握复变函数极其极限、连续的概念； 3. 掌握区域、邻域等概念，理解复变函数的几何意义 1.复数与复数 运算（复习） 一、 复数及其表示 （复数的三种表达方 式） 1.直角系： （代数式） 2.极坐标系 （指数式） （三角式） 欧拉公式 二、复数运算 1、两个复数 相等 2、加减法：（代数 式） y x 3. 乘除法（指数形式） 4.乘方、开 方设： 隶模弗公式 ： 乘方： 开方： z开n次方，有n个不同的、独立的根 5.共轭运 算 【例】 【例】 零 模为 0 辐角不确 定 无穷 大 模为 ∞ 辐角不确定 三、 无穷远点 二、复变函数的定义及几何表示 三、复函数的极限 四、复函数连续的概念 一、区域的概念 2 复变函 数 五：解析函 数（重点） 1. 正确理解解析函数的定义，正确判断函数的解 析性，牢固掌握并熟练运用C－R条件； 2. 掌握解析函数与调和函数的关系； 3. 掌握初等函数的定义、性质和解析性； 1 复函数的导数 定义： 设=f (z)定义在区域G上，z  G， 若 存在 则称f (z)在z点可导，该极限值称为=f (z)在 z点的导数。

记做： 或 复函数中的导数公式与实函数是相同的 Rez C-R条件(直角坐标系) C-R条件（极坐标系） 可导的必要条件－C-R条件 1）C-R条件是可导的必要条件 说明： 2) 说明一个在z点可导的复函数，它的实虚部不再 是独立的， 必须满足C-R条件所给的关系 3) 可以通过复函数的实虚部求复函数导数 可导的充分条件 设：函数f (z)＝u (x ,y) + iv (x ,y)， 若在点z (x ,y)处，u (x ,y) 和v (x ,y)的一阶偏 导数存在且连续，并满足C-R条件， 则f (z)＝ u (x ,y) + iv (x ,y) 在z点一定可导 即： 一、定义 【例】f (z)＝z Re z , 考察f (z) 在z=0点是否解析? 二、奇点 2 解析函数 三、解析函数的必要和充分条件 四、 解析函数与调和函数的关系 调和函数定义 共轭调和函数 区域G上满足C-R条件的一对调和函数， 称为共轭调和函数。

若 2u＝0 2v＝0 则 u ,v 为一对 共轭调和函数 且 已知调和函数u (x ,y) (作为解析函数的实部) 求出 另一个调和函数v (x ,y) (作为解析函数的虚部) 构造 f (z)＝u + iv 解析函数 关键 定理：解析函数的实部与虚部是一对共轭调和函数 选择路径的关键是 ①简单 ②路径上被积函数 有定义 曲线积分法 凑全微分法 偏导数法 3.初等函 数 初等函数： 在定义域内可用一个统一的解析表达式来表 示， 两大类 单值函 数 多值函数 从三个方面对初等函数进行认识 1）定义； 2）解析性； 3）性质（与实函数的比 较） 多值函数(难点) 1.根式函数 (幂函数n=z 的反函数) 是一个n值函数 主值分支 第m个单值分支 2.对数函数 (e=z的反函数) 对数函数为无穷多值的函数 k=0 ,  = lnz = ln|z| + iargz 主值分支 实函数对数 3.一般幂函数 =z a a为任意复数 a=n(整数) =z n 幂函数(单值) (有理数)m值函数, m≥2 a其它 无穷多值 【例1】 计算: (1) Ln(sini) ，(2) 21+i， （3）i1/i 【例2】 解sinz的零点 (解方程: sinz=0) 第二章 Cauchy定理 Cauchy积 分公式 本章主要从积分角度来讨论解析函数的性质 主要内容: 一个定义 , 两个定理 , 三个公式 1 复积分的概念及性质 分割、求和、取极限 一个复积分等价于两个二元的实的曲线积分 一、定义 另一种观点： 用实积分求复积分的解题步骤： ①建立曲线方程 ②找到曲线上被积函数和积分元的表达式 ③将二元函数的线积分化为一元函数的定积分 例：求(n为整数) C: |z-a|=≠0 复函数满足什么条件时积分与路径无关。

单连通域复连通域 2. Cauchy定理 一、单连通区域的Caucy定理积分与路径无关 二、复连通区域的Caucy定理 三、 不定积分、原函数 3 Cauchy积分公式 一、Cauchy积分公式： 【例】 4Cauchy积分公式的主要推论 【例】求 导数公式： 两个定理 单连域Cauchy定理 复连域 三个公式 Cauchy积分公式 （有界区域） 高阶导数公式 牛－莱公式 一个定义 复积分 【例】 幂级数 1、定义： 2、敛散性 阿贝尔第一定理：若幂级数 在z1点 收敛，则此级数在以z0 为心，|z1-z0|为半径的圆内 绝对且一致收敛 推论：若 在z2点发散，则此幂级数一 定在以z0为心，|z2-z0|为半径的圆外发散 第三章 泰勒展开和罗朗展开 4.幂级数的解析性 (1) 幂级数的和函数 在其收敛 圆内是一个解析函数 (2) 幂级数在其收敛圆内可做逐项积分、逐项微分 运算，且运算结果收敛半径不变 5、幂级数的乘积公式 2解析函数的泰勒展开 一、泰勒定理 若f(z)在区域G内解析，z0∈G,只要圆 :│z-z0│≥ R 含于G内，则f(z)在圆内任意一点z可展为幂级数 其中： C为闭圆 :│z-z0│≥ R 的边界，方向为逆时针方向 ∆2：收敛半径：R=L L：展开中心到被展函数离z0最近的奇点的距离 展开的三要素：展开中心，收敛半径，展开系数 ∆1 ：展开中心：题目中给定 ∆3：展开系数由不同的展开方法求出 1、直接展开法 利 用： 基 本 展 式 2、间接展开法理论依据：泰勒展开的唯一性 出发点： 基本展式 方法一、变量变 换 方法二、算术运算法 方法三、分析运算法 微分法： 积分法： 3罗罗朗展开 一、罗朗定理： 若f(z)在环域G：R1<|z-z0|

积分沿路径正方向 R2 R1 C1 C C2 1) 同一函数，同一展开中心，在不同区域的展式 是不同的 2) 展式中指标k的处理是灵活的 3) 罗朗级数并不一定能反应展开中心的奇异性 只有在孤立奇点的去心邻域作罗朗展开时，所 得的罗朗展式才能反应此孤立奇点的奇异性 二、罗朗展开方法：主要为间接展开 【例】 在 展开 单值函数的孤立奇点 孤立奇点的定义 奇点 孤立奇点 可去奇点 极点 本性奇点 非孤立奇点 孤立奇点的分类 定义：若f (z)在孤立奇点z0去心邻域（0＜|z-z0|