高等数学竞赛题库.不定积分与定积分.doc

1高等数学竞赛高等数学竞赛 不定积分不定积分不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质1、设，求) 10(tan2cos)(sin22xxxxf)(xf2、设，求xxf1)(ln)(xf3、已知，试求函数] 1)([)(xfxxf)(xf利用基本积分法求不定积分利用基本积分法求不定积分 一、利用凑微分法求不定积分 1、 求下列不定分;(1)（2）（3）（4）dxxxx cossin12cosdxxx5212xxdx22cos2sindxxxxx5)sin(coscossin2、求下列不定积分（1） （2）dxexxexxxx) 13()(22dxxxx) 1(ln)ln(23（3） （4） （5）dxxx211arctan dxxexxxx)cos1 (cossincossin2 dxxxxxx )ln1 (ln2ln2二、利用第二换元积分法求不定积分 1、三角代换求下列积分（1） （2） （3） （4）221) 1(xxxdx 23 23)1 (xdxxdxxx229211xdx2、倒代换（即令）求下列积分tx1（1） （2）)0( 222 a xaxdx )2(7xxdx3、指数代换（令则）, taxtdt adxln1（1） （2）xxxdx 4212 6321xxx eeedx4、利用分部积分法求不定积分（1） （2）dxexx22) 1(xdxxx2cos)52(3（3） （4）xdxx arccos2dxxx23)(ln2（5）xdxexcos5、建立下列不定积分的递推公式（1） （2）dxaxInn)(122xdxIn ntan有理函数的积分有理函数的积分 1、求下列不定积分（1） （2） （3）dxxxx 34222) 1(xxdx)1)(21 (2xxdx2、求下列不定积分（1） （2） （3） （4）)2(10xxdx dxxxnn112 dxxx1003) 1(12xxdxx 3811简单无理函数积分简单无理函数积分1、 2、dxxx31dxxxxx1) 1(三角有理式积分三角有理式积分1、 2、 3、dxxsin1dxx3sin1dxxx sin1sin4、 5、 6、dxxxx cos1sinxdxxx3cos2cos4sinxdxx65cossin含有反三角函数的不定积分含有反三角函数的不定积分1、 2、xdxxxarctan122 dx xx32)1 (arccos抽象函数的不定积分抽象函数的不定积分1、 2、  dxxfxfxf xfxf32)]([)()( )()(dxxfxxf)(ln)(ln分段函数的不定积分分段函数的不定积分例如：设 求.   1,2; 10, 1; 0, 1 )( xxxxx xfdxxf)(3高等数学竞赛高等数学竞赛 定积分定积分比较定积分大小比较定积分大小1、 比较定积分和的大小21ln xdx212)(lndxx2、 比较定积分和的大小10)1ln(dxx101arctandxxx利用积分估值定理解题利用积分估值定理解题 一、估值问题一、估值问题1、、试估计定积分的值4542)sin1 (dxx2、试估计定积分的值333arctanxdxx二、不等式证明二、不等式证明1、证明不等式：edxex10212、证明不等式：114 3812dxx三、求极限三、求极限1、 2、21021limdxxxnndxeexxxnn101lim关于积分上限函数及牛顿关于积分上限函数及牛顿-莱布尼兹公式问题莱布尼兹公式问题 1、、求下列导数：（1）；3241)(xxtdtxF（2）由方程确定的隐函数的导数yxtdtttdte 00221sin)(xfy dxdy2、设在上连续且满足，求)(xf), 0[ )1(02 )(xxxdttf)2(f3、设为关于的连续函数，且满足方程，求)(xfx11816 2098)()( xxCxxdttftdttf及常数.)(xfC4、求下列极限：4（1） （2）xxtxextdtte6002 sin lim 25020)cos1 ( limxdttxx5、设是连续函数，且，求.)(xf10)(2)(dttfxxf)(xf6、已知且，求及8)()(80dxxfxf0)0(f20)(dxxf)(xf定积分的计算定积分的计算 一、分段函数的定积分1、设求; ,2,20, )(   lxlclxkx xfxdttfx 0)()(2、求定积分 222),max(dxxx二、被积函数带有绝对值符号的积分 1、求下列定积分：（1） （2）eedxx1ln10dtxt t2、求定积分的值223coscosdxxx三、对称区间上的积分1、设在上连续，计算)(xf],[aa113 2)cos1sin(dxxxxx2、设在上连续，且对任何有，计算)(xf),(yx,)()()(yfxfyxf112)() 1(dxxfx3、计算积分4421sindxexIx4、设在区间上连续，为偶函数，且满足条件)(),(xgxf)0](,[aaa)(xg)(xf（为常数）.Axfxf)()(A（1）证明：aaadxxgAdxxgxf 0)()()((2) 利用（1）的结论计算定积分 22arctansindxexx5四、换元积分法 1、求下列定积分：（1） （2） （3）2141)1 (arcsindxxxx2ln021dxexdxxxxx2 01010cossin4cossin五、分部积分1、设有一个原函数为，求)(xfxxsin 2)(dxxf x2、 301arcsindxxxx3、102)2()1ln(dxxx积分等式的证明积分等式的证明 一、换元法（适用于被积函数或其主要部分仅给出连续条件）一、换元法（适用于被积函数或其主要部分仅给出连续条件）1、若函数连续，证明：)(xf（1）20023)(21)(aadxxxfdxxfx（2）dxxabafabdxxfba10])([)()(（3）x xdxxdxx1121211 112、设连续，求证，并计算)(xfdxxfdxxxf00)(sin2)(sin023cos1sindxxxx3、设连续，且关于对称，，z 证明：)(xfTx bTababTbTadxxfdxxfdxxf2)()(2)(（提示：关于对称，即）)(xfT)()(xTfxTf二、分部积分法（适用于被积函数中含有二、分部积分法（适用于被积函数中含有或变上限积分的命题）或变上限积分的命题）)(xf 例：设连续，，证明：)(xf xdttaftfxF 0)2()()()2()0()()(2)2(2affafaFaF三、构造辅助函数法（适用于证明在积分限中至少存在一点三、构造辅助函数法（适用于证明在积分限中至少存在一点或或使等式成立的命题）使等式成立的命题）0x解题思路：（解题思路：（1）将）将或或改成改成，移项使等式一端为零，则另一端即为所作的辅助函数，移项使等式一端为零，则另一端即为所作的辅助函数0xx6或或。

)(xF)(xF（（2）验证）验证满足介值定理或微分中值定理的条件满足介值定理或微分中值定理的条件)(xF（（3）由介值定理或微分中值定理，即可证得命题由介值定理或微分中值定理，即可证得命题1、设在上连续，证明：至少存在一点，使得：)(),(xgxf],[ba),(ba abdxxfgdxxgf)()()()(2、设在上连续，在内可导，.求证：)(xf],[ba),(ba)(21)(,)(22abdxxfaafba在内至少存在一点使),(ba1)()(ff四、积分不等式的证明四、积分不等式的证明 常用的证明积分不等式的定理有：定积分的比较定理，估值定理，函数的单调性，积常用的证明积分不等式的定理有：定积分的比较定理，估值定理，函数的单调性，积 分与微分中值定理分与微分中值定理1、、设在上连续，且严格递增，证明：)(xf],[bababadxxxfdxxfba)(2)()(2、设在上连续且单调减少，，求证：)(xf), 0[ ba 0badxxfbdxxfa 00)()(3、设在上可导，且.证明：)(xf],[ba0)(,)(afMxfbaabMdxxf2)(2)(广义积分广义积分 1、、求下列广义积分（1） （2） 02dxxex942xxdx（3） （4）edx xx12)(ln11202)1 (xdx2、证明：无穷积分当时收敛，当时发散.)0( 1px1p10 p3、当时，是以为瑕点的瑕积分，证明它在时收敛，在0p10pxdx0x10 p时发散.1p7高等数学竞赛高等数学竞赛 导数与微分练习导数与微分练习利用导数定义解题利用导数定义解题1、、 设函数 又在处可导，求复合函数 . 2, 0; 2,21sin)2()(2xxxxxg)(tf0t在处的导数。

))((xgfy 2x2、、 已知在处可导，求)(xf0x)]()2([lim00xfxxfx x 3、、 设 求在点处的导数  , 1, 1,32 )( 23xxxxxf)(xf1x) 1 (f 4、、 设函数在处可导，且试求)(xfax , 0)(afnnafnaf ])()1( [lim5、、 设求极限,) 1 (, 0) 1 (affxxfefxxcosln)sin1 (1)(21lim2026、、 设在上有定义，且又，求)(xfR, 1)0( fxyeyfexfyxf)()()()(xf导数在几何上的应用导数在几何上的应用1、、 设函数由方程确定，求曲线在处的法)(xfy 1)cos(2exyeyx)(xfy ) 1 , 0(线方程2、、 已知是周期为 5 的连续函数，它在的某个领域内有关系式)(xf0x),(8)sin1 (3)sin1 (xxxfxf其中是当时比高阶的无穷小，且在处可导，求曲线在)(x0xx)(xf1x)(xfy 点处的切线方程.))6(, 6(f利用导数公式及求导法则求导利用导数公式及求导法则求导1、、已知，求x xxy)1(y2、、若，求txxxttf2)11 (lim)( )(tf 83、若dxdyxxfxxfy求,ln)(),112(31 4、设函数由方程确定。

求)(xyy xyxyxsin)ln(320xdxdy5、设函数由所确定，求)(xyy    52arctan2tetyytxdxdy6、设函数，。