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材料非线性有限元法(共27页).doc

27页
  • 卖家[上传人]:des****85
  • 文档编号:216197507
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    • 精选优质文档-----倾情为你奉上第四章 材料非线性有限元法 以上三章分别研究了线性弹性有限元法,材料非线性本构方程和非线性方程组解法,本章就可以研究材料非线性有限元法了 在材料非线性基本方程中,除第二章所述的本构方程外,与线性弹性一样,而非线性有限元法又归结为一系列线性弹性问题因此,只要在第一章中改用第二章的本构方程,就可建立材料非线性有限元法的基本内容4-1 非线性弹性有限元法 第二章提到,非线性弹性本构方程与形变理论弹塑性本构方程在形式上相同,所以与第二章一样,这里也按塑性力学形变理论,研究非线性弹性有限元法,以便把二者统一起来 1. 非线性弹性基本方程 为了便于以后直接引用,这里列出全量形式的非线性弹性(或形变理论弹塑性)基本方程,并用矩阵表示 几何方程: (1.14) 本构方程:=[D] (2.13) 平衡方程:(在内) (1.20) 边界条件: (在A上) (1.22) (在A上) (1.23) 虚功方程: (1.28) 位能变分方程:=0 (1.31)其中 (1.32) (4.1) 2. 非线性方程组的建立 由于虚功方程本身不涉及材料性质,所以第一章由虚功方程得到的单元平衡方程(1.48)式和总体平衡方程(1.109)式完全适用于非线性弹性(或形变理论弹塑性)问题。

      可见,只要把非线性弹性(或形变理论弹塑性)本构方程代入单元或总体的平衡方程,就可以建立非线性方程组 (1)割线刚度方程 仿照线性弹性有限元法,把(1.36)式代入(2.13)式后,再把(2.13)代入(1.48)式便得单元割线刚度方程,即 (4.2)其中单元割线刚度矩阵 (4.3)而割线本构矩阵[],如(2.14)式所示 仿照(1.113)式的推导,同样可得总体割线刚度方程即 (4.4)其中总体割线刚度矩阵 (4.5)而总体节点载荷{P}仍如(1.110)式所示 由(4.5)式可知,总体割线刚度矩阵[K]取决于各单元的等效应变 ;又由(2.5)式可知,等效应变 是由应变{}计算出来的;再由(1.36)和(1.106)式可知,应变{}与总体节点位移{U}有关可见,总体割线刚度矩阵[K]是总体节点位移{U}的函数,所以总体割线刚度方程(4.4)式是一个非线性方程组 必须指出,建立非线性方程组(4.4)式,只是为了说明非线性弹性(或形变理论弹塑性)有限元方程的非线性性质。

      实际求解时并不用(4.4)式因为求解(4.4)式要用直接迭代法,而正如 3-2指出,直接迭代法不但计算量太大,而且常常不收敛 (2)切线刚度矩阵 由 3-2---3-6可知,在求解非线性方程组时,除上述直接迭代法外,都要用到切线刚度矩阵(至少要用到初始切线刚度矩阵[k]和[K])为此,这里讨论一下建立非线性弹性(或形变理论弹塑性)有限元方程中的切线刚度矩阵问题 由(1.109)和(3.11)式可知 (4.6)于是由(3.10)和(4.6)式可得 (4.7)由于由(2.16),(1.36)和(1.106)式,并考虑到符号d{}和d{}分别是{d}和{d},有 (4.8) (4.9) (4.10)所以把(4.8)---(4.10)式代入式(4.7)式便得总体割线刚度矩阵,即 (4.11)其中单元切线刚度矩阵 (4.12) (3)具有初应变理论或初应力的刚度方程 仿照线性弹性有限元法,把形式上相同的(3.101)式代入(2.13)式,并令{}={0}或{}={0},再把(2.13)式代入(1.48)式便得单元刚度方程,即 (4.13)或 (4.14)其中单元刚度矩阵和初应变,初应力节点载荷,{}仍分别如(1.50)和(1.53)、(1.54)式所示。

      但要强调,这里[k]的含义是单元初始切线刚度矩阵;{}中的初应变{}或{}中的初应力{}随迭代过程而变 仿照线性弹性有限元法,同样可得总体刚度方程,即 (4.15)或 (4.16)其中总体刚度矩阵[]和总体初应变、初应力节点载荷{}、{}在形式上均与线性弹性有限元法相同 3. 等效应力、等效应变关系 由(4.11)---(4.16)式可知,要建立并求解非线性弹性(或形变理论弹塑性)有限元方程,关键是要具体知道材料的本构矩阵而由(2.14)和(2.18)式可知,只要(2.15)和(2.19)式中的函数关系是已知的,那么本构矩阵就是显式的 根据单一曲线假设,和的关系与单向拉伸时相同,即 (4.17)再考虑体积不可压缩条件(),则 (4.18)其中取决于所采用的简化模型 理想塑性(见图4-1): (4.19)线性强化塑性(见图4-2): (4.20)幂次强化塑性(见图4-3): , (4.21)4. 迭代公式的具体化 由于非线性弹性(或形变理论弹塑性)有限元方程一般都写成全量形式,所以这里只相应的列出几种迭代类型解法的具体迭代公式。

      1)Newton-Raphson法 由(1.36)、(1.106)和(2.5)式以及(3.17)和(3.18)式,有 (4.22) (4.23) (4.24) (4.25) (4.26) (4.27)(2)初应变迭代法 由(2.10)、(2.13)和(3.99)、(3.101)式可知 (4.28) (4.29) (4.30)所以仿照Newton-Raphson法,并考虑到(3.109)和(3.110)式,有 (4.31) (4.32) (4.33) (4.34) (4.35) (3)初应力迭代法 由(2.10)、(2.13)和(3.118)、(3.120)式可知 (4.36) (4.37) (4.38)所以仿照Newton-Raphson法,并考虑到(3.126)和(3.127)式,有 (4.39) (4.40) (4.41) (4.42) (4.43)4-2 非线性弹性手算例题 为了熟悉非线性弹性(或形变理论弹塑性)有限元法及其非线性方程组的求解过程,这里以图4-4(a)所示的弹塑性拉压超静定问题为例,用Newton-Raphson法、初应变迭代法、初应力迭代法进行手算。

      其中用Newton-Raphson法的求解作较详细的叙述,以便了解非线性弹性(或形变理论弹塑性)有限元分析的全过程,而用其他方法的求解只给出主要计算过程和计算结果在该拉压超静定杆中划分的节点和单元如图4-4(a)中所示单元①和②分别由线性强化材料和线性弹性材料制成,如图4-4(b)和(c)所示两个单元的截面积均为,长度均为,弹性模量均为,单元①的强化模量为节点2所受集中载荷,其中为单元①的屈服极限 1 2 3 ① ② 图4-4(a)1. 用Newton-Raphson法求解(1)非线性有限元方程的形成 首先去掉两固定端约束,用其约束反力和代替,所以 (a)由于 (b) 所以 (c) (d) 设单元内任意一点位移为 而 所以 其中几何矩阵 (e)单元节点位移向量 这里的单元都是单向应力状态,即 。

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