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线性组合与线性相关.ppt

17页
  • 卖家[上传人]:cl****1
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  • 上传时间:2025-05-23
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    • 单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1.,n,元线性方程组,Ax,=,b,有解,.,且:,无穷多解一、线性方程组解的判定定理,有唯一解,;,2.,n,元齐次线性方程组,Ax,=,0,有非零解只有零解;,特别地:,(,1,)方程个数,未知数个数时,(,2,)方程数,=,未知个数时:,有非零解只有零解;,,有非零解二、向量组的线性组合,1.,线性表示:,如果,=,k,1,1,+,k,2,2,+,+,k,s,s,,,则称,可由,1,2,s,线性表示,,或称,是,1,2,s,的线性组合2.,能由,1,2,s,线性表示的含义是线性方程组,x,1,1,+,x,2,2,+,+,x,s,s,=,有解,,其充要条件是,r,(,A,)=,r,(,A,|,),注:,判断,能不能由,1,2,s,线性表示的方法:,把矩阵,(,1,2,s,),变换为行阶梯形矩阵,并从中观察,r,(,1,2,s,),和,r,(,1,2,s,),,进行比较即,r,(,1,2,s,),=,r,(,1,2,s,),例:,设有向量组,1,=,(1,0,2),T,2,=,(1,2,0),T,3,=,(2,1,3),T,4,=,(2,5,1),T,,试问,4,是否可由,1,2,3,线性表示?若可以,写出表示式。

      解:,设有数,x,1,x,2,x,3,使得,x,1,1,+,x,2,2,+,x,3,3,=,4,3,所以方程组有无穷多解,,即,4,可由,1,2,3,线性表示,,且,表示方式不唯一对 继续施行初等行变换,,最后一个矩阵对应的线性方程组为:,若取,x,3,=,1,,,所以,:,2,1,+,2,2,+,3,=,4,若取,x,3,=,1,,,所以:,1,+,3,2,3,=,4,有,:,x,1,=,2,有,:,x,1,=,1,x,2,=,2,x,2,=,3,三、向量组的线性相关性,1.,线性相关定义:,存在一组不全为零的数,k,1,k,2,k,s,使得,k,1,1,+,k,2,2,+,+,k,s,s,=,O.,若,k,1,k,2,k,s,必须全为零,则称,1,2,s,线性无关,2.,1,2,s,线性相关的含义是齐次线性方程组,x,1,1,+,x,2,2,+,+,x,s,s,=,O,有非零解,,(即,Ax,=,0,),线性无关的含义是方程组,其充要条件是,r,(,A,),=,s,r,(,A,),s,即,r,(,1,2,s,),s.,只有零解,即,r,(,1,2,s,),=,s.,例:,设有向量组,1,=,(1,0,1,2),T,2,=,(,1,1,2,4),T,3,=,(2,3,5,10),T,试讨论向量组,1,2,3,及向量组,1,2,的线性相关性。

      解:,3,所以,1,2,3,线性相关;,所以,1,2,线性无关例:,如果,可由,1,2,s,线性表示,则表示法唯一的充要条件是,1,2,s,线性无关r,(,1,2,s,),=,r,(,1,2,s,),x,1,1,+,x,2,2,+,+,x,s,s,=,分析:,可由,1,2,s,线性表示,有解,1,2,s,线性无关r,(,1,2,s,),=,r,(,1,2,s,),=,s,在此前提下,x,1,1,+,x,2,2,+,+,x,s,s,=,有唯一解,,表示法唯一,例:,如果,1,2,s,线性无关,,1,2,s,线性相关,,,则,可由,1,2,s,线性表示r,(,1,2,s,),=,s,分析:,1,2,s,线性无关,从而,可由,1,2,s,线性表示1,2,s,线性相关,r,(,1,2,s,),r,(,1,2,s,),r,(,1,2,s,),s,+,1,s,=,所以:,r,(,1,2,s,),=,r,(,1,2,s,),方程组有,唯一解,而且:,x,1,1,+,x,2,2,+,+,x,s,s,=,有解,n,2.,若,s,=,n,当,|,A,|,0,时,当,|,A,|,0,时,3.,若,s,n,当,r,(,1,2,s,),s,时,,,此法也适用于前两种情形。

      向量组线性相关它们所构成矩阵的行列式等于零可先比较向量个数,s,与向量维数,n,的大小:,,则向量组线性相关,无需计算则可计算向量组构成矩阵,A,的行列式,,,向量组线性相关;,,向量组线性无关则计算,r,(,1,2,s,),当,r,(,1,2,s,),=,s,时,,,向量组线性相关;,向量组线性无关练习,:,设向量组,1,=(1,1,1),T,2,=(1,2,3),T,3,=(1,3,t,),T,4,=(3,4,5),T,.,1.,当,t,为何值时,1,2,3,线性相关?线性无关?,2.,当,t,为何值时,1,2,3,4,线性相关?线性无关?,答案:,1.,或,A,所以,,t,=,5,时线性相关,,t,5,时线性无关2.,t,取任何,值,向量组都线性相关4,个,3,维向量),。

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